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【摘要】 自中国数学会于１９８０年恢复全国高中数学联赛后，１９８４年又恢复了全国初中数学联合竞赛. 之后全国各省市、各级别大大小小的数学竞赛风靡校园. 虽然赛事频繁、赛题万千，但无论是杯赛、联赛还是奥赛，其命题指导思想都相同，都离不开考查学生从事数学学习与研究必备的各种能力和方法，顺应新课标的要求——让不同的人在数学上得到不同的发展.
【关键词】 奥赛 思维 规律 方法 效率
随着社会的发展、时代的进步，为选拔数学尖子，各种数学竞赛风靡校园.
虽然赛事频繁、赛题万千，但无论是杯赛、联赛还是奥赛，其命题指导思想都相同，都离不开考查学生从事数学研究必备的各种能力和方法. 笔者在辅导中发现许多赛题，表面毫不相干，可解题思想、策略甚至连思维过程和方法都完全相同，把握这些题目的相通点，有利于学生举一反三，触类旁通，能大大提高辅导效率. 现举几例与同行商讨.
一、同为４５°，一题内折，一题外翻
例1 如图１，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ ＞ ＡＤ，∠Ｄ ＝ ∠Ｃ ＝ ９０°，ＢＣ ＝ ＣＤ ＝ １２，∠ＡＢＥ ＝ ４５°，若ＡＥ ＝ １０，则ＣＥ的长为 .
例2 如图２，△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ ＝ ４５°，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ，ＢＤ ＝ ２，ＣＤ ＝ ３，则△ＡＢＣ的面积为.
例１是２００４年全国初中数学竞赛试题，例2是湘南区19９３年初二竞赛试题. 表面看来，这两道题没什么联系，可作了辅助线后这两题的图形是完全一样的. 例１通过作ＢＦ⊥ＤＡ于Ｆ得四边形ＢＣＤＦ为正方形，由∠ＡＢＥ ＝ ４５°知△ＡＢＦ、△ＥＢＣ分别沿ＡＢ，ＥＢ向内翻折后点Ｃ，Ｆ重合于Ｇ，故ＡＥ ＝ ＣＥ ＋ ＡＦ. 再设ＣＥ为x，得ＡＦ ＝ １０ － x，ＤＥ ＝ １２ － x，ＡＤ ＝ １２ － （１０ － x） ＝ x ＋ ２. 在Ｒt△ＡＤＥ中，由勾股定理，解得x ＝ ４或x ＝ ６，经检验都符合题意. 例２则通过将△ＡＢＤ、△ＡＣＤ分别沿ＡＢ，ＡＣ向外翻折得正方形ＡＥＦＧ，设ＡＤ为x，则ＢＦ ＝ x － ２，ＣＦ ＝ x － ３，再用勾股定理求得x ＝ ６（x ＝ －１不符题意），从而求得Ｓ△ＡＢＣ ＝ １５，方法与例１如出一辙.
二、同在变化，一题是草边被吃边长，一题是水边被抽边涌
例３ 羊城菜牛公司利用草场放牧菜牛代替圈养，公司有两处草场，甲草场面积３公顷，乙草场面积４公顷，草长得一样高一样密，生长速度也相同，如果甲草场可供９０头牛吃３６天，乙草场可供１６０头牛吃２４天（草刚好吃完），那么两处草场合起来可供２５０头牛吃天.（１９９９年五羊杯数学竞赛初二试题）
解 设每公顷草原有草数为ａ，每公顷每天长草数为ｂ，每头牛每天吃草数为ｃ，两处草场合起来可供２５０头牛吃ｘ天，依题意可得：
例４ 江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，４０分钟可抽完；如果用４台抽水机抽水，１６分钟可抽完，如果要在１０分钟内抽完水，那么至少要抽水机 台. （１９９９年全国初中数学竞赛试题）
解 设抽水前已有水量为ａ，每分钟涌水量为ｂ，每台抽水机每分钟抽水量为ｃ，至少需ｘ台抽水机，依题意可得：
例３与例４题目表面似不相干，可解题的策略（设参数）及所列方程却惊人的相似，都是考查学生理解应用题及列方程的能力.
三、同是应用韦达定理，一题是顺用，一题是逆用
例５ 实数ｓ，ｔ分别满足19s2 + 99s + 1 = 0，t2 + 99t + 19 = 0，并且st ≠ 1，求 的值.（１
例５是构造方程后再利用韦达定理；例６是利用韦达定理来构造方程，一正一反堪称用韦达定理解决赛题的典范.
四、同是利用中点，一题是已知角相等求证线段相等，一题是已知线段相等求证角相等
例７ 如图３，以△ＡＢＣ的ＡＢ，ＡＣ为斜边向外作Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＡＣＥ，∠ＡＤＢ ＝ ∠ＡＥＣ ＝ ９０°，且使∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＣＥ，Ｍ是ＢＣ中点，求证：ＤＭ ＝ ＥＭ.（１９９８年“祖冲之杯”邀请赛试题）
分析 由中点和直角三角形可联想到构造中位线和斜边上的中线.
证明 分别取两三角形斜边ＡＢ，ＡＣ的中点Ｆ，Ｇ，连接ＦＤ，ＦＭ，ＧＭ，ＧＥ，则ＤＦ ＝ GM = AB .
例８ 如图４，△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ的中点，分别延长ＣＡ，ＣＢ到Ｅ，Ｆ，使ＤＥ ＝ ＤＦ，过Ｅ，Ｆ分别作ＣＡ，ＣＢ的垂线相交于Ｐ，求证：∠ＰＡＥ ＝ ∠ＰＢＦ. （２００３年全国初中数学联赛第二试（Ｂ）试题）
分析 与上题一样有中点和直角三角形，自然想到构造中位线和斜边上的中线.
证明 分别取ＡＰ，ＢＰ的中点Ｍ，Ｎ，连接ＭＥ，ＭＤ，ＤＮ，ＮＦ，则ME =PA，ND =PA，
例７是已知∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＣＥ（角相等），求证ＤＭ ＝ ＥＭ（线段相等）；例８是已知ＤＥ ＝ ＤＦ（线段相等），求证∠ＰＡＥ ＝ ∠ＰＢＦ（角相等）.表面上两题互不相干，图形也相差甚远，但解题策略、构造方法却如出一辙，作出辅助线后两题图形又惊人的相似，这两题都是中点在竞赛中巧妙运用的经典之作．
本文所例举的四组赛题，题面上或毫不相干，或貌似神离，或阴阳相斥，但每组题的命题思想、解题策略，甚至连思维过程和方法都完全相同. 通过对比训练，让学生发现并掌握一些奥赛试题的命题思想、解题规律，既有利于学生举一反三，触类旁通，也有助于提高学生学习数学的能力，避免了传统竞赛辅导的题海战术，轻而易举地实现了思维训练的目的，大大提高了辅导效率.
【参考文献】
１. 南秀全. 初中数学奥林匹克竞赛全真试题（全国联赛卷）.武汉:湖北教育出版社，２００３（６）
２. 徐流，吴江媛，田一鹏，杨宝新. 国际奥林匹克竞赛精彩试题汇编.北京：奥林匹克出版社， ２００１（１）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】 奥赛 思维 规律 方法 效率
随着社会的发展、时代的进步，为选拔数学尖子，各种数学竞赛风靡校园.
虽然赛事频繁、赛题万千，但无论是杯赛、联赛还是奥赛，其命题指导思想都相同，都离不开考查学生从事数学研究必备的各种能力和方法. 笔者在辅导中发现许多赛题，表面毫不相干，可解题思想、策略甚至连思维过程和方法都完全相同，把握这些题目的相通点，有利于学生举一反三，触类旁通，能大大提高辅导效率. 现举几例与同行商讨.
一、同为４５°，一题内折，一题外翻
例1 如图１，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ ＞ ＡＤ，∠Ｄ ＝ ∠Ｃ ＝ ９０°，ＢＣ ＝ ＣＤ ＝ １２，∠ＡＢＥ ＝ ４５°，若ＡＥ ＝ １０，则ＣＥ的长为 .
例2 如图２，△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ ＝ ４５°，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ，ＢＤ ＝ ２，ＣＤ ＝ ３，则△ＡＢＣ的面积为.
例１是２００４年全国初中数学竞赛试题，例2是湘南区19９３年初二竞赛试题. 表面看来，这两道题没什么联系，可作了辅助线后这两题的图形是完全一样的. 例１通过作ＢＦ⊥ＤＡ于Ｆ得四边形ＢＣＤＦ为正方形，由∠ＡＢＥ ＝ ４５°知△ＡＢＦ、△ＥＢＣ分别沿ＡＢ，ＥＢ向内翻折后点Ｃ，Ｆ重合于Ｇ，故ＡＥ ＝ ＣＥ ＋ ＡＦ. 再设ＣＥ为x，得ＡＦ ＝ １０ － x，ＤＥ ＝ １２ － x，ＡＤ ＝ １２ － （１０ － x） ＝ x ＋ ２. 在Ｒt△ＡＤＥ中，由勾股定理，解得x ＝ ４或x ＝ ６，经检验都符合题意. 例２则通过将△ＡＢＤ、△ＡＣＤ分别沿ＡＢ，ＡＣ向外翻折得正方形ＡＥＦＧ，设ＡＤ为x，则ＢＦ ＝ x － ２，ＣＦ ＝ x － ３，再用勾股定理求得x ＝ ６（x ＝ －１不符题意），从而求得Ｓ△ＡＢＣ ＝ １５，方法与例１如出一辙.
二、同在变化，一题是草边被吃边长，一题是水边被抽边涌
例３ 羊城菜牛公司利用草场放牧菜牛代替圈养，公司有两处草场，甲草场面积３公顷，乙草场面积４公顷，草长得一样高一样密，生长速度也相同，如果甲草场可供９０头牛吃３６天，乙草场可供１６０头牛吃２４天（草刚好吃完），那么两处草场合起来可供２５０头牛吃天.（１９９９年五羊杯数学竞赛初二试题）
解 设每公顷草原有草数为ａ，每公顷每天长草数为ｂ，每头牛每天吃草数为ｃ，两处草场合起来可供２５０头牛吃ｘ天，依题意可得：
例４ 江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，４０分钟可抽完；如果用４台抽水机抽水，１６分钟可抽完，如果要在１０分钟内抽完水，那么至少要抽水机 台. （１９９９年全国初中数学竞赛试题）
解 设抽水前已有水量为ａ，每分钟涌水量为ｂ，每台抽水机每分钟抽水量为ｃ，至少需ｘ台抽水机，依题意可得：
例３与例４题目表面似不相干，可解题的策略（设参数）及所列方程却惊人的相似，都是考查学生理解应用题及列方程的能力.
三、同是应用韦达定理，一题是顺用，一题是逆用
例５ 实数ｓ，ｔ分别满足19s2 + 99s + 1 = 0，t2 + 99t + 19 = 0，并且st ≠ 1，求 的值.（１
例５是构造方程后再利用韦达定理；例６是利用韦达定理来构造方程，一正一反堪称用韦达定理解决赛题的典范.
四、同是利用中点，一题是已知角相等求证线段相等，一题是已知线段相等求证角相等
例７ 如图３，以△ＡＢＣ的ＡＢ，ＡＣ为斜边向外作Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＡＣＥ，∠ＡＤＢ ＝ ∠ＡＥＣ ＝ ９０°，且使∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＣＥ，Ｍ是ＢＣ中点，求证：ＤＭ ＝ ＥＭ.（１９９８年“祖冲之杯”邀请赛试题）
分析 由中点和直角三角形可联想到构造中位线和斜边上的中线.
证明 分别取两三角形斜边ＡＢ，ＡＣ的中点Ｆ，Ｇ，连接ＦＤ，ＦＭ，ＧＭ，ＧＥ，则ＤＦ ＝ GM = AB .
例８ 如图４，△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ的中点，分别延长ＣＡ，ＣＢ到Ｅ，Ｆ，使ＤＥ ＝ ＤＦ，过Ｅ，Ｆ分别作ＣＡ，ＣＢ的垂线相交于Ｐ，求证：∠ＰＡＥ ＝ ∠ＰＢＦ. （２００３年全国初中数学联赛第二试（Ｂ）试题）
分析 与上题一样有中点和直角三角形，自然想到构造中位线和斜边上的中线.
证明 分别取ＡＰ，ＢＰ的中点Ｍ，Ｎ，连接ＭＥ，ＭＤ，ＤＮ，ＮＦ，则ME =PA，ND =PA，
例７是已知∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＣＥ（角相等），求证ＤＭ ＝ ＥＭ（线段相等）；例８是已知ＤＥ ＝ ＤＦ（线段相等），求证∠ＰＡＥ ＝ ∠ＰＢＦ（角相等）.表面上两题互不相干，图形也相差甚远，但解题策略、构造方法却如出一辙，作出辅助线后两题图形又惊人的相似，这两题都是中点在竞赛中巧妙运用的经典之作．
本文所例举的四组赛题，题面上或毫不相干，或貌似神离，或阴阳相斥，但每组题的命题思想、解题策略，甚至连思维过程和方法都完全相同. 通过对比训练，让学生发现并掌握一些奥赛试题的命题思想、解题规律，既有利于学生举一反三，触类旁通，也有助于提高学生学习数学的能力，避免了传统竞赛辅导的题海战术，轻而易举地实现了思维训练的目的，大大提高了辅导效率.
【参考文献】
１. 南秀全. 初中数学奥林匹克竞赛全真试题（全国联赛卷）.武汉:湖北教育出版社，２００３（６）
２. 徐流，吴江媛，田一鹏，杨宝新. 国际奥林匹克竞赛精彩试题汇编.北京：奥林匹克出版社， ２００１（１）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”