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多过程问题是指物体参与了两个及两个以上相互连续的物理过程，这些过程可以是匀变速直线运动过程、平抛运动过程或圆周运动过程等，由于其运动过程的复杂性，求解时往往需要用到能量观点和动量观点。能量观点中的动能定理一般只涉及物体运动的始、末状态，在使用的过程中没有太多的限制条件，因此被广泛地应用于解决比较复杂的物理问题。下面通过两道例题具体分析动能定理在多过程问题中的应用。
例1 上海热带风暴水上乐园有个项目叫“音速飞龙”。如图1甲所示，两条高速滑道，人可以仰卧下滑，下滑起伏共有3层。图乙为其轨道侧视图，质量为70kg的人从A处由静止下滑，经BCDEF，最终停在G处。已知AB、BC、CD、DE、EF均是半径为14m的圆弧，其对应的圆心角均为60°， FG段水平。设人滑到F点时的速度为20m/s，取g=10m/s2，求：
（1）人刚滑到圆弧末端F点时，滑道对人竖直向上的作用力F，的大小。
（2）在AF段上滑动过程中，人克服阻力所做的功Wf。
（3）若一光滑小球在该滑道无水时自A处由静止释放，且不计空气阻力，则小球能否沿ABCDEF滑道运动？若能，请说明理由;若不能，请求出小球脱离滑道的位置及落回滑道时所在的圆弧部分。
解析：（1）人刚滑到圆弧末端F点时，根
点评：（1）求解多过程问题需要弄清物理过程。人或小球在AF段运动的过程中，若一直沿滑道不脱离，则每段均为竖直面内圆周运动的一部分;若脱离滑道，则会在脱离滑道后做抛体运动。（2）求解多过程问题还必须善于挖掘隐含条件。人滑到F点时的速度为20m/s，说明已知人在运动过程中的初、末速度，借助向心力公式可求解人在F点受到的作用力，利用动能定理可求解整个运动过程中的摩擦力做功;小球能否脱离滑道，取决于人滑动B点、D点时的速度与的关系。（3）本题涉及的物理过程比较复杂，且涉及竖直面内的圆周运动，若利用牛顿运动定律和运动学公式解决，则无法求解，而应用动能定理可简单解决。
变式：由相同材料的木板搭成的轨道如图2所示，其中木板AB、BC、CD、DE、…、HI的长度均为L=1.5m，木板OA、AB、BC、…、HI与水平地面间的夹角都为α=37°。一个可看成质点的物体在木板OA上从离地高度h=1.8m处由静止释放，物体与木板间的动摩擦因数都为μ=0.2，在两木板交接处都用小曲面相连，使物体能顺利地经过，既不损失动能，也不会脱离轨道。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2。求：
（1）物体能否静止在木板上？请说明理由。
（2）物体运动的总路程是多少？
（3）物体最终停在何处？并作出解释。
解析：（1）物体在木板上时，重力沿木板的分力为mgsinα=0.6mg，最大静摩擦力fmax=μmgcosα=0.16mg。因为mgsinα>umgcosα，所以物体不会静止在木板卜。
（2）从物体开始运动到最终停下，由动能定理得mgh-μmgxcosα=0，解得x=11.25m。
例2 如图3所示，AB和CDO都是处于竖直平面内的光滑圆弧形轨道，OA连线处于水平位置，AB是半径R=2m的1/4圆弧形轨道，CDO是半径r=1m的半圆形轨道，最高点O处固，定一个竖直弹性挡板。D为CDO轨道的中点，BC段是水平粗糙轨道，与两圆弧形轨道平滑连接。已知BC段水平轨道的长度L=2m，与小球之间的动摩擦因数μ=0.4。现让一个质量m=1kg的小球P从A点的正上方距水平线OA高H处自由落下，取g=10m/s2。
（1）当H=1.4m时，求小球第一次到达D点时对轨道的压力大小。
（2）当H=1.4m时，试通过计算判断小球是否会脱离CDO轨道。如果会脱离轨道，求脱离前小球在水平轨道上经过的路程。如果不会脱离轨道，求静止前小球在水平轨道上经过的路程。
（3）为使小球仅与弹性挡板碰撞两次，且小球不会脱离CDO轨道，求H的取值范围。挡板碰撞两次，且小球不会脱离CDO轨道，则需满足条件mg（H r）-5μmgL≤0，解得H≤3m。因此2.9m≤H≤3.0m。
点评：（1）小球在整个运动过程中，经历自由落体运动，竖直面内的圆周运动，以及水平面上的直线运动。（2）小球能否在O点脱离执道，取决于小球到达O点时的速度与的关系;若小球不能到达O点，则是否脱离执道取决于小球到达D时是否具有速度。（3）本题通过小球在竖直面内的圆周运动和水平面上的直线运动的多个过程，重点考查动能定理在多过程问题中的基本应用。
变式：仅将例2中的问题（2）改为当H=8.55m时，试通过计算判断小球是否会脱离CDO轨道。如果会脱离轨道，求脱离位置距C点的竖直高度。如果不会脱离轨道，求静止前小球在水平轨道上经过的路程。
方法与总结
在应用动能定理解决向题时，基本的解题思路：（1）明确研究对象，一般选取单一的物体作为研究对象;（2）明确初、末位置，对物体进行过程分析，进而确定物体的初、末动能;（3）对物体进行受力分析，求物体所受各个力的功，进而求出力对物体所做的总功;（4）根据动能定理列出方程。求解多过程问题时，可以分段考虑，也可以全程考虑，若能巧用动能定理，则可使问题的解答更为简洁。
跟踪训练
1.质量m=1kg的物体静止在高度h=4m的水平桌面上，物体与水平桌面间的动摩擦因数μ=0.2。现对物体施加一个水平推力F=20N，在物体位移s1=4m时撤去力F，物体又滑行s=1m飞出桌面，取g=10m/s2。求：
（1）物體落在水平地面上时的速度大小。
（2）物体抛出桌面时的速度。
2.如图4所示装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD是光滑的，水平轨道BC的长度s=5m，轨道CD足够长且倾角θ=37°，E是轨道CD上的一点，A、E两点离轨道BC的竖直高度分别为h1=4.3m，h2=1.35m。现让质量为m的小滑块自A点由静止释放。已知滑块与轨道BC间的动摩擦因数μ=0.5，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos 37°=0.8。求：
（1）滑块第一次到达E点时的速度大小。
（2）滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔。
（3）滑块最终停止的位置到B点的距离。
（责任编辑 张巧）
例1 上海热带风暴水上乐园有个项目叫“音速飞龙”。如图1甲所示，两条高速滑道，人可以仰卧下滑，下滑起伏共有3层。图乙为其轨道侧视图，质量为70kg的人从A处由静止下滑，经BCDEF，最终停在G处。已知AB、BC、CD、DE、EF均是半径为14m的圆弧，其对应的圆心角均为60°， FG段水平。设人滑到F点时的速度为20m/s，取g=10m/s2，求：
（1）人刚滑到圆弧末端F点时，滑道对人竖直向上的作用力F，的大小。
（2）在AF段上滑动过程中，人克服阻力所做的功Wf。
（3）若一光滑小球在该滑道无水时自A处由静止释放，且不计空气阻力，则小球能否沿ABCDEF滑道运动？若能，请说明理由;若不能，请求出小球脱离滑道的位置及落回滑道时所在的圆弧部分。
解析：（1）人刚滑到圆弧末端F点时，根
点评：（1）求解多过程问题需要弄清物理过程。人或小球在AF段运动的过程中，若一直沿滑道不脱离，则每段均为竖直面内圆周运动的一部分;若脱离滑道，则会在脱离滑道后做抛体运动。（2）求解多过程问题还必须善于挖掘隐含条件。人滑到F点时的速度为20m/s，说明已知人在运动过程中的初、末速度，借助向心力公式可求解人在F点受到的作用力，利用动能定理可求解整个运动过程中的摩擦力做功;小球能否脱离滑道，取决于人滑动B点、D点时的速度与的关系。（3）本题涉及的物理过程比较复杂，且涉及竖直面内的圆周运动，若利用牛顿运动定律和运动学公式解决，则无法求解，而应用动能定理可简单解决。
变式：由相同材料的木板搭成的轨道如图2所示，其中木板AB、BC、CD、DE、…、HI的长度均为L=1.5m，木板OA、AB、BC、…、HI与水平地面间的夹角都为α=37°。一个可看成质点的物体在木板OA上从离地高度h=1.8m处由静止释放，物体与木板间的动摩擦因数都为μ=0.2，在两木板交接处都用小曲面相连，使物体能顺利地经过，既不损失动能，也不会脱离轨道。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2。求：
（1）物体能否静止在木板上？请说明理由。
（2）物体运动的总路程是多少？
（3）物体最终停在何处？并作出解释。
解析：（1）物体在木板上时，重力沿木板的分力为mgsinα=0.6mg，最大静摩擦力fmax=μmgcosα=0.16mg。因为mgsinα>umgcosα，所以物体不会静止在木板卜。
（2）从物体开始运动到最终停下，由动能定理得mgh-μmgxcosα=0，解得x=11.25m。
例2 如图3所示，AB和CDO都是处于竖直平面内的光滑圆弧形轨道，OA连线处于水平位置，AB是半径R=2m的1/4圆弧形轨道，CDO是半径r=1m的半圆形轨道，最高点O处固，定一个竖直弹性挡板。D为CDO轨道的中点，BC段是水平粗糙轨道，与两圆弧形轨道平滑连接。已知BC段水平轨道的长度L=2m，与小球之间的动摩擦因数μ=0.4。现让一个质量m=1kg的小球P从A点的正上方距水平线OA高H处自由落下，取g=10m/s2。
（1）当H=1.4m时，求小球第一次到达D点时对轨道的压力大小。
（2）当H=1.4m时，试通过计算判断小球是否会脱离CDO轨道。如果会脱离轨道，求脱离前小球在水平轨道上经过的路程。如果不会脱离轨道，求静止前小球在水平轨道上经过的路程。
（3）为使小球仅与弹性挡板碰撞两次，且小球不会脱离CDO轨道，求H的取值范围。挡板碰撞两次，且小球不会脱离CDO轨道，则需满足条件mg（H r）-5μmgL≤0，解得H≤3m。因此2.9m≤H≤3.0m。
点评：（1）小球在整个运动过程中，经历自由落体运动，竖直面内的圆周运动，以及水平面上的直线运动。（2）小球能否在O点脱离执道，取决于小球到达O点时的速度与的关系;若小球不能到达O点，则是否脱离执道取决于小球到达D时是否具有速度。（3）本题通过小球在竖直面内的圆周运动和水平面上的直线运动的多个过程，重点考查动能定理在多过程问题中的基本应用。
变式：仅将例2中的问题（2）改为当H=8.55m时，试通过计算判断小球是否会脱离CDO轨道。如果会脱离轨道，求脱离位置距C点的竖直高度。如果不会脱离轨道，求静止前小球在水平轨道上经过的路程。
方法与总结
在应用动能定理解决向题时，基本的解题思路：（1）明确研究对象，一般选取单一的物体作为研究对象;（2）明确初、末位置，对物体进行过程分析，进而确定物体的初、末动能;（3）对物体进行受力分析，求物体所受各个力的功，进而求出力对物体所做的总功;（4）根据动能定理列出方程。求解多过程问题时，可以分段考虑，也可以全程考虑，若能巧用动能定理，则可使问题的解答更为简洁。
跟踪训练
1.质量m=1kg的物体静止在高度h=4m的水平桌面上，物体与水平桌面间的动摩擦因数μ=0.2。现对物体施加一个水平推力F=20N，在物体位移s1=4m时撤去力F，物体又滑行s=1m飞出桌面，取g=10m/s2。求：
（1）物體落在水平地面上时的速度大小。
（2）物体抛出桌面时的速度。
2.如图4所示装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD是光滑的，水平轨道BC的长度s=5m，轨道CD足够长且倾角θ=37°，E是轨道CD上的一点，A、E两点离轨道BC的竖直高度分别为h1=4.3m，h2=1.35m。现让质量为m的小滑块自A点由静止释放。已知滑块与轨道BC间的动摩擦因数μ=0.5，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos 37°=0.8。求：
（1）滑块第一次到达E点时的速度大小。
（2）滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔。
（3）滑块最终停止的位置到B点的距离。
（责任编辑 张巧）