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【摘要】 “活动的数学”能激发学生的学习热情和智慧潜能。组织“活动的数学”，要增强组织活动的意识，创新组织方式，围绕一个中心开展专题活动，让学生在活动中产生认知失衡，在真实情境的活动中承担任务、扮演角色，让“活动的数学”始终有一条思维的主线引领，有一个反思的总结与提升。
【关键词】活动 认知失衡 任务 角色
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）34-0163-02
数学课程标准倡导四种学习方式：接受学习、动手实践、自主探索与合作交流。我们把其中的“动手实践”突出出来，做强做大，便形成了“活动的数学”。具体讲有两层含义：（1）以学生的动手活动为形式，包括操作、测算、实验、制作、调查、游戏、表演、绘制图表等单一的活动，也包括以问题为载体的综合性实践活动。（2）以数学知识的探索为内容，通过活动，经由数学化过程，习得知识，感悟思想，积累经验，丰富情感体验。
从学习角度看，“活动的数学”切合小学生好动的天性，能最大限度地激发学生的学习热情和智慧潜能，特别有利于中下程度学生学习能力的培养，为其走上良性发展之路创造机会。从数学角度看，“活动的数学”能展示数学开放、多姿多彩的一面，提高学生的学习兴趣。荷兰数学教育家弗赖登塔尔说过：“数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的。”這句话，是我们强调“活动的数学”最有力的论据。著名数学教育家余元希先生说过，可以直接应用于日常生活的数学，不过是“扩大了的算术”，说的正是我们的小学数学。小学数学知识是数学金字塔的底座，它起源于人类发展的初期活动，跟现实世界有最直接的联系。这就使数学的知识探索过程有可能，也有必要编制成学生的以实物为对象的动手活动情境，使学生在获得知识的同时，提高实践能力和创新力。
怎样组织“活动的数学”呢？
一、创造性组织活动，让活动从无到有，从有到精
一是对传统数学活动的扬弃。纯粹的大数目的繁难计算，其重要性越来越受到科技发展的冲击，学生在将来的生活中大量运用的还是估算。要组织各种不同情境中的大数目估算活动，实践多样化解决问题的方法。如在饭店吃饭时，参与核对菜名和相应的价格，并估算总价，最后根据服务台提供的账单，比较估算的精确度；如估算某份报纸版面的字数，估算一次家庭秋游的总费用，估算0.5kg黄豆有多少粒……
二是对常态活动的拓展。如在图形与几何的学习过程中，大家经常组织图形的测算，其实可以更进一步测算实物。操作活动也要根据操作目的作些灵活的变通。如指一指、摸一摸的活动，平时也是经常有的。为了让学生感受形体的特征，培养空间观念，指一指，就要关注是否是有序的，比较比较。摸一摸，有时就可以改成“闭上眼睛”的摸一摸，更能入脑，让表象清晰起来。数学制作包括教具、学具制作、几何模型制作、综合实践活动成果制作等，制作活动的范围在不断扩大，连“绳结”也是与数学相关联的，这恐怕很让老师们意外吧！
三是引入生动有趣的游戏和实验。如学习6的乘法口诀，可让6位学生围坐一圈做报数游戏，一圈一圈延伸下去，看第6位学生报的是什么数，编成乘法口诀。更进一步，可以问：第4位同学报的是什么数？怎样得到这些数？
实验是自然科学最重要的研究方法，现在成功移植到数学园地中，成为“发现真理的重要手段”。通过组织实验可以探索规律、建立模型，如通过不同形状轮子的对比实验发现圆的特征；通过小方块堆垒实验，推导长方体的体积公式；通过围小棒实验，发现三角形三边关系等。通过组织实验还可以验证猜想、习得方法，如统计与概率中掷硬币的实验，长方体展开图实验，行程问题的模拟实验等。
四是将“纯数学”的学习，创编成活动情境。首先可以根据知识间的联系，寻找应用问题，创编活动情境。如倒数的认识，可以结合反比例的应用，组织测量活动：不同的交通方式，走1km需要多少时间，列成表格，在坐标图上标出各点，画出曲线，感悟互为倒数的两个数，一个数越大，另一个数则越小的规律。其次，可以根据概念的不同应用，组织多种活动。如平均数的教学，教师可组织四个活动：（1）同桌平分一本作业本，看各得几页；（2）两堆不同数目的石子，怎样平分？（3）在数轴上找出两个数的中间数，比如12和46；（4）使三根不同长度的毛线变成同样长。这样，让学生在丰富的活动中，采用多种方法解决问题，如“逐渐瓜分”、“总分”、“移多补少”，体会平均数意义的不同侧面，抽象出平均数的概念，学会自己的“求法”。
二、围绕一个中心开展专题活动
“范例教学论”认为：要避免使学生“脑子里充满一大堆杂乱的材料而无一种能够统帅全局的概括性观念和方法论观念”，就必须“重视重构教学内容，选择学科材料中最典型的材料，形成认识的‘稠密区’，学生通过对这个稠密区的探究、思考，形成一个整体的认识结构。”基于此，我们要从数学知识系统中，精选若干有利于形成良性迁移，提纲挈领式的一般性知识，设计若干专题活动，让学生在活动中完成对知识的建构，获得一种统帅全局的方法论观念。如周长测算就是一个很典型的专题材料，可组织如下系列活动让学生探究。
（1）从字面理解，说说周长的含义。
（2）找出身边的物体，指出其周长。
（3）画出各种图形：三角形（包括等腰三角形、等边三角形）、长方形、正方形、平行四边形、梯形（包括等腰梯形）、正五边形、正六边形、正八边形、圆形、扇形……测算出周长。
（4）找出代表性物体，如镜框、车轮、操场、树干、鞋底、树叶等，测算周长。
（5）用几根不同长度的木棍，摆不同的图形，说出周长。
（6）用长度相等的若干丝线，围成不同的图形，测算面积，体会周长相等的情况下，面积的差别。 （7）观察、测算不同路径的周长。
（8）自选单位测量周长和估测周长活动。
专题性活动也可以是成人研究活动的简缩或模拟，它由六个步骤构成：①提出问题或课题；②有目的地运用记数、测量、实验、记录等手段收集信息；③运用数学符号、图表对数据、信息做出描绘，并用排列、分类、比较、分析方法对数据做出整理；④建立模型，探寻规律；⑤解决问题，交流信息；⑥反思过程，做出总结。
三、让学生在活动中，产生认知失衡
数学教学中不断预设和生成“不平衡”的问题情境，使学生产生认知失衡的状态，是学生学习数学动力强劲的“发动机”和牢固的“脚手架”，也是启发学生思维的有效手段。古人云“学贵知疑”、“不愤不启，不悱不发”便是此理。在活动中预设“不平衡”的思维情境，有两种思路。
一是增大数值，制造操作困难，让学生产生认知失衡。组织数学活動时，如果数值小，操作容易，那么数学建模方法和直观动手操作解决问题的方法，在效率上差别不大，数学方法的优越性不能体现，数学的力量不能凸显，一些学生的解决问题的方法就会停留在操作的低水平层面上，学生的数学化过程就不能完成。只有增大数值，制造操作困难，促使学生陷入困局，停止操作，转而改变策略，从观察中发现规律，找到解决问题的途径，建立数学模型，实现由较低层次的动作思维、图形思维向较高层次的符号思维过渡，经历完整的数学化过程。
二是利用差异资源，分析探讨，制造认知失衡状态。学生有个体差异，操作的效果就可能不同。教师要有一颗包容的心，要有一种课程意识：学生的差异就是一种资源。我们甚至可以根据操作的要求，故意设置障碍，以获得差异资源。如用小棒搭建长方体框架，我们给学生的小棒可以有第13根、第14根，长度和长、宽、高都不相同，让学生挑选。甚至还可以故意给其中的某一组学生提供不够根数的小棒，让学生不知所措，或搭出的是歪斜的长方体，让全班学生找原因、出主意，讨论、辨析。
四、让活动在真实的情境中展开，设置好任务和角色
让活动在真实的情境中展开，并在活动中置入任务，学生就能知道为什么要学这些东西，并且学以致用。另一方面，真实情境中的任务，能再现现实世界的各种挑战，具有劣构的特点，需要学生灵活运用知识才能完成任务，让学生有更大的自主和挑战的空间来促进学习的展开。为增加任务的真实性和趣味性，任务驱动还需要结合“角色扮演”。学生很乐意当童话（或神话）世界中的小动物或小精灵、孙悟空之类；也很喜欢当电视媒体中的角色，如主持人等。让学生承担一项任务，担当一个角色，情绪和思维会很活跃。
如关于半径和圆心的本质问题，就可以转换成任务，让学生扮演一个设计师的角色：在圆形花圃中设置一个自动喷头，如果你是设计人员，喷头放在哪里？喷水距离应满足什么条件？为什么？再如：如果没有圆的形状，世界将会是怎样的？假如你是超人，有神奇的魔力，把世界上的所有东西都变成圆形，世界将会发生什么变化？有一篇科学童话《圆圆和方方》，用通俗的语言讲述了圆与方形的关系和各自的用途，假如你是“方方”，你想怎样争辩？这个活动就很生动，把问题和任务、角色都统一在一起了。
组织“活动的数学”能较好地改变数学课堂的面貌，让数学呈现生动活泼的风采。如果我们能在组织活动前设计指向明确、有思维张力的数学问题，让学生在活动时，边做边想；在活动结束后，设计包含分析与综合、应用与评价、洞察与自知等多侧面的问题，则能让我们的“活动数学”始终有一条思维的主线引领，有一个反思的总结与提升。
参考文献：
[1]宋宁娜.活动教学论[M].南京：江苏教育出版社，1999.
【关键词】活动 认知失衡 任务 角色
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）34-0163-02
数学课程标准倡导四种学习方式：接受学习、动手实践、自主探索与合作交流。我们把其中的“动手实践”突出出来，做强做大，便形成了“活动的数学”。具体讲有两层含义：（1）以学生的动手活动为形式，包括操作、测算、实验、制作、调查、游戏、表演、绘制图表等单一的活动，也包括以问题为载体的综合性实践活动。（2）以数学知识的探索为内容，通过活动，经由数学化过程，习得知识，感悟思想，积累经验，丰富情感体验。
从学习角度看，“活动的数学”切合小学生好动的天性，能最大限度地激发学生的学习热情和智慧潜能，特别有利于中下程度学生学习能力的培养，为其走上良性发展之路创造机会。从数学角度看，“活动的数学”能展示数学开放、多姿多彩的一面，提高学生的学习兴趣。荷兰数学教育家弗赖登塔尔说过：“数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的。”這句话，是我们强调“活动的数学”最有力的论据。著名数学教育家余元希先生说过，可以直接应用于日常生活的数学，不过是“扩大了的算术”，说的正是我们的小学数学。小学数学知识是数学金字塔的底座，它起源于人类发展的初期活动，跟现实世界有最直接的联系。这就使数学的知识探索过程有可能，也有必要编制成学生的以实物为对象的动手活动情境，使学生在获得知识的同时，提高实践能力和创新力。
怎样组织“活动的数学”呢？
一、创造性组织活动，让活动从无到有，从有到精
一是对传统数学活动的扬弃。纯粹的大数目的繁难计算，其重要性越来越受到科技发展的冲击，学生在将来的生活中大量运用的还是估算。要组织各种不同情境中的大数目估算活动，实践多样化解决问题的方法。如在饭店吃饭时，参与核对菜名和相应的价格，并估算总价，最后根据服务台提供的账单，比较估算的精确度；如估算某份报纸版面的字数，估算一次家庭秋游的总费用，估算0.5kg黄豆有多少粒……
二是对常态活动的拓展。如在图形与几何的学习过程中，大家经常组织图形的测算，其实可以更进一步测算实物。操作活动也要根据操作目的作些灵活的变通。如指一指、摸一摸的活动，平时也是经常有的。为了让学生感受形体的特征，培养空间观念，指一指，就要关注是否是有序的，比较比较。摸一摸，有时就可以改成“闭上眼睛”的摸一摸，更能入脑，让表象清晰起来。数学制作包括教具、学具制作、几何模型制作、综合实践活动成果制作等，制作活动的范围在不断扩大，连“绳结”也是与数学相关联的，这恐怕很让老师们意外吧！
三是引入生动有趣的游戏和实验。如学习6的乘法口诀，可让6位学生围坐一圈做报数游戏，一圈一圈延伸下去，看第6位学生报的是什么数，编成乘法口诀。更进一步，可以问：第4位同学报的是什么数？怎样得到这些数？
实验是自然科学最重要的研究方法，现在成功移植到数学园地中，成为“发现真理的重要手段”。通过组织实验可以探索规律、建立模型，如通过不同形状轮子的对比实验发现圆的特征；通过小方块堆垒实验，推导长方体的体积公式；通过围小棒实验，发现三角形三边关系等。通过组织实验还可以验证猜想、习得方法，如统计与概率中掷硬币的实验，长方体展开图实验，行程问题的模拟实验等。
四是将“纯数学”的学习，创编成活动情境。首先可以根据知识间的联系，寻找应用问题，创编活动情境。如倒数的认识，可以结合反比例的应用，组织测量活动：不同的交通方式，走1km需要多少时间，列成表格，在坐标图上标出各点，画出曲线，感悟互为倒数的两个数，一个数越大，另一个数则越小的规律。其次，可以根据概念的不同应用，组织多种活动。如平均数的教学，教师可组织四个活动：（1）同桌平分一本作业本，看各得几页；（2）两堆不同数目的石子，怎样平分？（3）在数轴上找出两个数的中间数，比如12和46；（4）使三根不同长度的毛线变成同样长。这样，让学生在丰富的活动中，采用多种方法解决问题，如“逐渐瓜分”、“总分”、“移多补少”，体会平均数意义的不同侧面，抽象出平均数的概念，学会自己的“求法”。
二、围绕一个中心开展专题活动
“范例教学论”认为：要避免使学生“脑子里充满一大堆杂乱的材料而无一种能够统帅全局的概括性观念和方法论观念”，就必须“重视重构教学内容，选择学科材料中最典型的材料，形成认识的‘稠密区’，学生通过对这个稠密区的探究、思考，形成一个整体的认识结构。”基于此，我们要从数学知识系统中，精选若干有利于形成良性迁移，提纲挈领式的一般性知识，设计若干专题活动，让学生在活动中完成对知识的建构，获得一种统帅全局的方法论观念。如周长测算就是一个很典型的专题材料，可组织如下系列活动让学生探究。
（1）从字面理解，说说周长的含义。
（2）找出身边的物体，指出其周长。
（3）画出各种图形：三角形（包括等腰三角形、等边三角形）、长方形、正方形、平行四边形、梯形（包括等腰梯形）、正五边形、正六边形、正八边形、圆形、扇形……测算出周长。
（4）找出代表性物体，如镜框、车轮、操场、树干、鞋底、树叶等，测算周长。
（5）用几根不同长度的木棍，摆不同的图形，说出周长。
（6）用长度相等的若干丝线，围成不同的图形，测算面积，体会周长相等的情况下，面积的差别。 （7）观察、测算不同路径的周长。
（8）自选单位测量周长和估测周长活动。
专题性活动也可以是成人研究活动的简缩或模拟，它由六个步骤构成：①提出问题或课题；②有目的地运用记数、测量、实验、记录等手段收集信息；③运用数学符号、图表对数据、信息做出描绘，并用排列、分类、比较、分析方法对数据做出整理；④建立模型，探寻规律；⑤解决问题，交流信息；⑥反思过程，做出总结。
三、让学生在活动中，产生认知失衡
数学教学中不断预设和生成“不平衡”的问题情境，使学生产生认知失衡的状态，是学生学习数学动力强劲的“发动机”和牢固的“脚手架”，也是启发学生思维的有效手段。古人云“学贵知疑”、“不愤不启，不悱不发”便是此理。在活动中预设“不平衡”的思维情境，有两种思路。
一是增大数值，制造操作困难，让学生产生认知失衡。组织数学活動时，如果数值小，操作容易，那么数学建模方法和直观动手操作解决问题的方法，在效率上差别不大，数学方法的优越性不能体现，数学的力量不能凸显，一些学生的解决问题的方法就会停留在操作的低水平层面上，学生的数学化过程就不能完成。只有增大数值，制造操作困难，促使学生陷入困局，停止操作，转而改变策略，从观察中发现规律，找到解决问题的途径，建立数学模型，实现由较低层次的动作思维、图形思维向较高层次的符号思维过渡，经历完整的数学化过程。
二是利用差异资源，分析探讨，制造认知失衡状态。学生有个体差异，操作的效果就可能不同。教师要有一颗包容的心，要有一种课程意识：学生的差异就是一种资源。我们甚至可以根据操作的要求，故意设置障碍，以获得差异资源。如用小棒搭建长方体框架，我们给学生的小棒可以有第13根、第14根，长度和长、宽、高都不相同，让学生挑选。甚至还可以故意给其中的某一组学生提供不够根数的小棒，让学生不知所措，或搭出的是歪斜的长方体，让全班学生找原因、出主意，讨论、辨析。
四、让活动在真实的情境中展开，设置好任务和角色
让活动在真实的情境中展开，并在活动中置入任务，学生就能知道为什么要学这些东西，并且学以致用。另一方面，真实情境中的任务，能再现现实世界的各种挑战，具有劣构的特点，需要学生灵活运用知识才能完成任务，让学生有更大的自主和挑战的空间来促进学习的展开。为增加任务的真实性和趣味性，任务驱动还需要结合“角色扮演”。学生很乐意当童话（或神话）世界中的小动物或小精灵、孙悟空之类；也很喜欢当电视媒体中的角色，如主持人等。让学生承担一项任务，担当一个角色，情绪和思维会很活跃。
如关于半径和圆心的本质问题，就可以转换成任务，让学生扮演一个设计师的角色：在圆形花圃中设置一个自动喷头，如果你是设计人员，喷头放在哪里？喷水距离应满足什么条件？为什么？再如：如果没有圆的形状，世界将会是怎样的？假如你是超人，有神奇的魔力，把世界上的所有东西都变成圆形，世界将会发生什么变化？有一篇科学童话《圆圆和方方》，用通俗的语言讲述了圆与方形的关系和各自的用途，假如你是“方方”，你想怎样争辩？这个活动就很生动，把问题和任务、角色都统一在一起了。
组织“活动的数学”能较好地改变数学课堂的面貌，让数学呈现生动活泼的风采。如果我们能在组织活动前设计指向明确、有思维张力的数学问题，让学生在活动时，边做边想；在活动结束后，设计包含分析与综合、应用与评价、洞察与自知等多侧面的问题，则能让我们的“活动数学”始终有一条思维的主线引领，有一个反思的总结与提升。
参考文献：
[1]宋宁娜.活动教学论[M].南京：江苏教育出版社，1999.