论文部分内容阅读
一、 空间向量的综合运用
空间向量的综合运用是附加部分的一个重要考点,主要集中于研究空间几何中的平行、垂直的证明,以及对于空间角的计算,主要涉及到法向量这一概念,其实质为平面法线(即线面垂直的直线)所表示的向量；特别是对于线面角的正弦值为直线的方向向量与法向量所成角余弦值的绝对值,二面角则是两个平面法向量所成角的问题,要注意所成角的范围(锐角还是钝角)的问题。
【例1】 如图所示,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别是B1A,CC1,BC的中点.现设AA1=2a.
(1) 求证：DE∥平面ABC；
(2) 求证：B1F⊥平面AEF；
(3) 求二面角B1AEF的正切值．
错解 (1) 证明:∵D,E分别为B1A,CC1的中点,
∴DE∥AC,又DE面ABC,
∴DE∥平面ABC．
(2) 证明B(2a,0,0),C(0,2a,0),F(a,a,0),E(0,2a,a),B1(2a,0,2a)，
B1F•EF=0,B1F•AF=0,∴B1F⊥EF,B1F⊥AF,又EF∩AF=F，∴B1F⊥面AEF.
(3) 面AEF的法向量为B1F=(-a,a,-2a)，
设面AEB1的法向量为n=(x,y,1),
又AB1=(2a,0,2a),AE=(0,2a,a)，
∴n•AB1=0，
n•AE=0，∴n=(-1,-12,1)，
∴cos〈n,B1F〉=n•B1F|n|•|B1F|=-16，
∴sin〈n,B1F〉=1-cos2〈n,B1F〉=56，
∴tan〈n,B1F〉=-5,∴二面角B1AEF的正切值为-5.
错因分析 该生在第(1)问审题中将条件理想化,DE根本不是中位线,在(2)问中缺少文字说明,应交待建系,求出向量的坐标,最后把向量转化成直线,在(3)问中没注意隐含条件,二面角B1AEF的平面角为锐角.审题时要审条件、审结论、审关系、审图形,解题过程中必要的文字说明不可少。
正确解法 (1) 证明：如图建立空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),A1(0,0,2a),B1(2a,0,2a),C1(0,2a,2a),
取AB的中点H,连接DH,CH，
∵E(0,2a,a),D(a,0,a),H(a,0,0),
∴CH=(a,-2a,0),ED=(a,-2a,0),
∴CH∥DE．
∵CH平面ABC,而DE平面ABC,
∴DE∥平面ABC．
(2) 证明：∵B(2a,0,0),C(0,2a,0),∴F(a,a,0),
∴B1F=(-a,a,-2a),EF=(a,-a,-a),AF=(a,a,0),
∴B1F•EF=0,B1F•AF=0,∴B1F⊥EF,B1F⊥AF,又EF∩AF=F，∴B1F⊥面AEF.
（3) 设平面AEB1的一个法向量为m=(x,y,z),
∵AB1=(2a,0,2a),AE=(0,2a,a),∴m•AB1=2ax+2az=0,m•AE=2ay+az=0,
x=-z，
y=-12z，令z=a,则m=-a,-12a,a.
由(2)知平面AEF的一个法向量为B1F=(-a,a,-2a),设B1F与m所成的角为θ.
则cos θ=B1F•m|B1F| •|m|=a2-12a2-2a26a•32a
=-16=-66.
∵平面AEB1与平面AEF所成的二面角为锐二面角,∴二面角B1AEF的平面角的余弦值为66.∴二面角B1AEF的正切值为5.
防错机制 解题过程中对定理的使用一定要能够交待清楚条件,不能囫囵吞枣式交待,也不能自以为是的想当然的书写,要能够在平时中对书上的定理加强背诵和理解。在建立空间直角坐标系时,一要指明原点位置；二要指明坐标轴位置；三要符合右手法则。在原图中,如果缺少相互垂直的三条直线和原点位置,则应先作出具有公共交点的三条垂线，再描述坐标系的建立过程。
【例2】 如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=AA1=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.
(1) 证明：直线EE1∥平面FCC1；
(2) 求二面角BFC1C的余弦值.
错解 建立如图所示的坐标系（注：解答过程略）
错因分析 在解本题时,由于没有指明坐标原点和坐标轴,所以建系过程不规范,故而丢分。
正确解法 (1) 因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,
所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以∠BAD=∠ABC=60°,取AF的中点M,
连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,
以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(3,-1,0),F(3,1,0),C(0,2,0),
C1(0,2,2),E32,-12,0,E1(3,-1,1),所以EE1=32,-12,1,CF=(3,-1,0),CC1=(0,0,2),FC1=(-3,1,2),设平面CC1F的法向量为n=(x,y,z),则n•CF=0，
n•CC1=0，所以3x-y=0,
z=0,取n=(1,3,0),则n•EE1=32×1-12×3+1×0=0,
所以n⊥EE1,所以直线EE1∥平面FCC1.
(2) FB=(0,2,0),设平面BFC1的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n•FB=0，
n1•FC1=0，
所以y1=0,
-3x1+y1+2z1=0,取n1=(2,0,3),则n•n1=2×1+3×0+0×3=2,
|n|=1+(3)2=2,
|n1|=22+0+(3)2=7,
所以cos〈n，n1〉=n•n1|n||n1|=22×7=77,
由图可知二面角BFC1C为锐角,所以二面角BFC1C的余弦值为77.
防错机制 在建立空间直角坐标系时,一要指明原点位置；二要指明坐标轴位置；三要符合右手法则。在原图中,如果缺少相互垂直的三条直线和原点位置,则应先作出具有公共交点的三条垂线,再描述坐标系的建立过程。
牛刀小试
1. 如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1,且∠BAD=60°的菱形,侧棱长为2,P是侧棱CC1上的一点,CP=m.
(1) 试确定m,使直线AP与平面BDD1B1所成角为60°;
(2) 在线段A1C1上是否存在一个定点Q,使得对任意的m,D1Q⊥AP,并证明你的结论.
空间向量的综合运用是附加部分的一个重要考点,主要集中于研究空间几何中的平行、垂直的证明,以及对于空间角的计算,主要涉及到法向量这一概念,其实质为平面法线(即线面垂直的直线)所表示的向量；特别是对于线面角的正弦值为直线的方向向量与法向量所成角余弦值的绝对值,二面角则是两个平面法向量所成角的问题,要注意所成角的范围(锐角还是钝角)的问题。
【例1】 如图所示,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ΔABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别是B1A,CC1,BC的中点.现设AA1=2a.
(1) 求证：DE∥平面ABC；
(2) 求证：B1F⊥平面AEF；
(3) 求二面角B1AEF的正切值．
错解 (1) 证明:∵D,E分别为B1A,CC1的中点,
∴DE∥AC,又DE面ABC,
∴DE∥平面ABC．
(2) 证明B(2a,0,0),C(0,2a,0),F(a,a,0),E(0,2a,a),B1(2a,0,2a)，
B1F•EF=0,B1F•AF=0,∴B1F⊥EF,B1F⊥AF,又EF∩AF=F，∴B1F⊥面AEF.
(3) 面AEF的法向量为B1F=(-a,a,-2a)，
设面AEB1的法向量为n=(x,y,1),
又AB1=(2a,0,2a),AE=(0,2a,a)，
∴n•AB1=0，
n•AE=0，∴n=(-1,-12,1)，
∴cos〈n,B1F〉=n•B1F|n|•|B1F|=-16，
∴sin〈n,B1F〉=1-cos2〈n,B1F〉=56，
∴tan〈n,B1F〉=-5,∴二面角B1AEF的正切值为-5.
错因分析 该生在第(1)问审题中将条件理想化,DE根本不是中位线,在(2)问中缺少文字说明,应交待建系,求出向量的坐标,最后把向量转化成直线,在(3)问中没注意隐含条件,二面角B1AEF的平面角为锐角.审题时要审条件、审结论、审关系、审图形,解题过程中必要的文字说明不可少。
正确解法 (1) 证明：如图建立空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),A1(0,0,2a),B1(2a,0,2a),C1(0,2a,2a),
取AB的中点H,连接DH,CH，
∵E(0,2a,a),D(a,0,a),H(a,0,0),
∴CH=(a,-2a,0),ED=(a,-2a,0),
∴CH∥DE．
∵CH平面ABC,而DE平面ABC,
∴DE∥平面ABC．
(2) 证明：∵B(2a,0,0),C(0,2a,0),∴F(a,a,0),
∴B1F=(-a,a,-2a),EF=(a,-a,-a),AF=(a,a,0),
∴B1F•EF=0,B1F•AF=0,∴B1F⊥EF,B1F⊥AF,又EF∩AF=F，∴B1F⊥面AEF.
（3) 设平面AEB1的一个法向量为m=(x,y,z),
∵AB1=(2a,0,2a),AE=(0,2a,a),∴m•AB1=2ax+2az=0,m•AE=2ay+az=0,
x=-z，
y=-12z，令z=a,则m=-a,-12a,a.
由(2)知平面AEF的一个法向量为B1F=(-a,a,-2a),设B1F与m所成的角为θ.
则cos θ=B1F•m|B1F| •|m|=a2-12a2-2a26a•32a
=-16=-66.
∵平面AEB1与平面AEF所成的二面角为锐二面角,∴二面角B1AEF的平面角的余弦值为66.∴二面角B1AEF的正切值为5.
防错机制 解题过程中对定理的使用一定要能够交待清楚条件,不能囫囵吞枣式交待,也不能自以为是的想当然的书写,要能够在平时中对书上的定理加强背诵和理解。在建立空间直角坐标系时,一要指明原点位置；二要指明坐标轴位置；三要符合右手法则。在原图中,如果缺少相互垂直的三条直线和原点位置,则应先作出具有公共交点的三条垂线，再描述坐标系的建立过程。
【例2】 如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=AA1=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.
(1) 证明：直线EE1∥平面FCC1；
(2) 求二面角BFC1C的余弦值.
错解 建立如图所示的坐标系（注：解答过程略）
错因分析 在解本题时,由于没有指明坐标原点和坐标轴,所以建系过程不规范,故而丢分。
正确解法 (1) 因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,
所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为等腰梯形,所以∠BAD=∠ABC=60°,取AF的中点M,
连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,
以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(3,-1,0),F(3,1,0),C(0,2,0),
C1(0,2,2),E32,-12,0,E1(3,-1,1),所以EE1=32,-12,1,CF=(3,-1,0),CC1=(0,0,2),FC1=(-3,1,2),设平面CC1F的法向量为n=(x,y,z),则n•CF=0，
n•CC1=0，所以3x-y=0,
z=0,取n=(1,3,0),则n•EE1=32×1-12×3+1×0=0,
所以n⊥EE1,所以直线EE1∥平面FCC1.
(2) FB=(0,2,0),设平面BFC1的法向量为n1=(x1,y1,z1),则n•FB=0，
n1•FC1=0，
所以y1=0,
-3x1+y1+2z1=0,取n1=(2,0,3),则n•n1=2×1+3×0+0×3=2,
|n|=1+(3)2=2,
|n1|=22+0+(3)2=7,
所以cos〈n，n1〉=n•n1|n||n1|=22×7=77,
由图可知二面角BFC1C为锐角,所以二面角BFC1C的余弦值为77.
防错机制 在建立空间直角坐标系时,一要指明原点位置；二要指明坐标轴位置；三要符合右手法则。在原图中,如果缺少相互垂直的三条直线和原点位置,则应先作出具有公共交点的三条垂线,再描述坐标系的建立过程。
牛刀小试
1. 如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1,且∠BAD=60°的菱形,侧棱长为2,P是侧棱CC1上的一点,CP=m.
(1) 试确定m,使直线AP与平面BDD1B1所成角为60°;
(2) 在线段A1C1上是否存在一个定点Q,使得对任意的m,D1Q⊥AP,并证明你的结论.