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二次函数的知识是中学数学的重要内容之一,其中“求二次函数的表达式”这类题出现较多,二次函数的图像是一条抛物线,由于抛物线的顶点、对称轴、开口方向及其他不同的条件,决定了抛物线的形状各不相同,所以与之对应的二次函数表达式形式多样,结构复杂。解决这类题目的关键问题——根据抛物线的特点,选设恰当的表达式,使问题快速、准确获解。
一、当二次函数的图像顶点在坐标原点,对称轴是y轴,可设函数表达式为y=ax2(a≠0)
例一:已知抛物线的顶点在原点,且过点(3,-5),求函数表达式。
解:设y=ax2(a≠0)
把x=3,y=-5代入上式得:
-5=a•32求得a=-59
∴函数表达式为y=-59x2
二、当二次函数图像顶点在y轴上(不包括原点),对称轴是y轴,可设函数表达式为y=ax2+c(a≠0)
例二:已知二次函数的顶点在y轴上,且过A(1,-6), B(-1/2,-3)两点,求函数表达式。
解:因为顶点在y轴上,所以可设y=ax2+c(a≠0)
把x=1,y=-6;x=-12,y=-3代入上式
a+c=-614a+c=-3∴a=-4b=-2
二次函数表达式为y=-4x2-2
说明:当y=ax2+c(a≠0),c=0,抛物线过原点,转化为上一种情况y=ax2(a≠0)。
三、当抛物线顶点在x轴上,对称轴是平行于y轴的直线,可设y=a(x-h)2(其中h是顶点的横坐标)
例3. 已知抛物线顶点(7,0),且过(4,3)点,求函数表达式。
解:因为抛物线顶点在x轴上,可设y=a(x-h)2
∵顶点(7,0),∴y=a(x-7)2
再把x=4,y=3,代入上式:3=a(4-7)2,解得a=13
所以函数表达式为y=13(x-7)2
四、抛物线顶点既不在x轴上,也不在y轴上,对称轴是平行于y轴的直线,函数有三种设法
1. 若已知函数图像上任意三点的坐标,可设y=ax2+bx+c,(a≠0,a.b.c为常数),称为一般式。
2. 若已知二次函数的顶点坐标(或对称轴,或最值),可设y=a(x-h)2+k,称为顶点式,顶点(h,k)。
3.若已知二次函数图像与x轴的两交点的坐标(x1,0),(x2,0),则可设y=a(x-x1)(x-x2)称为交点式。
例4. 二次函数的图像经过(0,3),(-2,-5),(1,4)三点,求函数表达式。
解:因为已知图像上的三点(0,3),(-2,-5),(1,4)
所以可设y=ax2+bx+c,(a≠0,a.b.c为常数)
一般式c=34a-2b+c=-5a+b+c=4 ∴a=-1b=2c=-3
二次函数表达式为y=-x2+2x+3
例5. 已知二次函数图像的顶点为(8,9),且经过点(0,1),求函数表达式。
解:因为已知顶点,所以可设y=a(x-h)2+k——顶点式
顶点(8,9),则y=a(x-8)2+9
把x=0,y=1代入上式得:1=a(0-8)2+9
求得:a=-18
所以函数表达式为y=-18(x-8)2+9
化为y=-18x2+2x+1
例6. 一个二次函数,当自变量x=0时,函数值y=-1,当x=-2与1/2时,y=0,求二次函数表达式。
解:根据题意得,图像与x轴两交点(-2,0),(1/2,0)
可设y=a(x+2)(x-12),——交点式
把x=0,y=-1代入上式
-1=a(0+2)(0-12),解得a=1
函数表达式为y=1•(x+2)(x-12),
化为y=x2+1.5x-1
以上三个例题说明了“一般式,顶点式,交点式”的应用方法,但在特殊的情况下,同一题目,三种方法也可以同时应用。
例7. 已知抛物线与x轴交于(-2,0),(4,0),且顶点为(1,-9/2),求函数表达式。
解法一:因为图像过(-2,0),(4,0),(1,-9/2)三点
所以可设y=ax2+bx+c,(a≠0,a.b.c为常数)——一般式
0=4a-2b+c0=16a+4b+c-92=a+b+c∴a=12b=-1c=-4
函数表达式为y=12x2-x-4
解法二:因为图像与x轴交于(-2,0),(4,0)
所以可设y=a(x+2)(x-4),——交点式
把x=1,y=-9/2代入上式
-92=a(x+2)(x-4),解得a=12
所以函数表达式为y=12(x+2)(x-4),
y=12x2-x-4
解法三:因为已知顶点(1,-9/2)
所以可设y=a(x-1)2-92——顶点式
把x=-2,y=0代入上式
0=a(-2-1)2-92,解得a=12
所以函数表达式为y=12(x-1)2-92
化为y=12x2-x-4
通过对以上各题的解法比较说明:解题时要先观察分析二次函数图像的特点,如顶点和对称轴的位置、图像与x轴的焦点、图像上已知几个点等已知条件,再选用适当的函数表达式求解,这样可以提高观察能力、分析问题的能力及正确决策的能力,达到出奇制胜、事半功倍的效果。
一、当二次函数的图像顶点在坐标原点,对称轴是y轴,可设函数表达式为y=ax2(a≠0)
例一:已知抛物线的顶点在原点,且过点(3,-5),求函数表达式。
解:设y=ax2(a≠0)
把x=3,y=-5代入上式得:
-5=a•32求得a=-59
∴函数表达式为y=-59x2
二、当二次函数图像顶点在y轴上(不包括原点),对称轴是y轴,可设函数表达式为y=ax2+c(a≠0)
例二:已知二次函数的顶点在y轴上,且过A(1,-6), B(-1/2,-3)两点,求函数表达式。
解:因为顶点在y轴上,所以可设y=ax2+c(a≠0)
把x=1,y=-6;x=-12,y=-3代入上式
a+c=-614a+c=-3∴a=-4b=-2
二次函数表达式为y=-4x2-2
说明:当y=ax2+c(a≠0),c=0,抛物线过原点,转化为上一种情况y=ax2(a≠0)。
三、当抛物线顶点在x轴上,对称轴是平行于y轴的直线,可设y=a(x-h)2(其中h是顶点的横坐标)
例3. 已知抛物线顶点(7,0),且过(4,3)点,求函数表达式。
解:因为抛物线顶点在x轴上,可设y=a(x-h)2
∵顶点(7,0),∴y=a(x-7)2
再把x=4,y=3,代入上式:3=a(4-7)2,解得a=13
所以函数表达式为y=13(x-7)2
四、抛物线顶点既不在x轴上,也不在y轴上,对称轴是平行于y轴的直线,函数有三种设法
1. 若已知函数图像上任意三点的坐标,可设y=ax2+bx+c,(a≠0,a.b.c为常数),称为一般式。
2. 若已知二次函数的顶点坐标(或对称轴,或最值),可设y=a(x-h)2+k,称为顶点式,顶点(h,k)。
3.若已知二次函数图像与x轴的两交点的坐标(x1,0),(x2,0),则可设y=a(x-x1)(x-x2)称为交点式。
例4. 二次函数的图像经过(0,3),(-2,-5),(1,4)三点,求函数表达式。
解:因为已知图像上的三点(0,3),(-2,-5),(1,4)
所以可设y=ax2+bx+c,(a≠0,a.b.c为常数)
一般式c=34a-2b+c=-5a+b+c=4 ∴a=-1b=2c=-3
二次函数表达式为y=-x2+2x+3
例5. 已知二次函数图像的顶点为(8,9),且经过点(0,1),求函数表达式。
解:因为已知顶点,所以可设y=a(x-h)2+k——顶点式
顶点(8,9),则y=a(x-8)2+9
把x=0,y=1代入上式得:1=a(0-8)2+9
求得:a=-18
所以函数表达式为y=-18(x-8)2+9
化为y=-18x2+2x+1
例6. 一个二次函数,当自变量x=0时,函数值y=-1,当x=-2与1/2时,y=0,求二次函数表达式。
解:根据题意得,图像与x轴两交点(-2,0),(1/2,0)
可设y=a(x+2)(x-12),——交点式
把x=0,y=-1代入上式
-1=a(0+2)(0-12),解得a=1
函数表达式为y=1•(x+2)(x-12),
化为y=x2+1.5x-1
以上三个例题说明了“一般式,顶点式,交点式”的应用方法,但在特殊的情况下,同一题目,三种方法也可以同时应用。
例7. 已知抛物线与x轴交于(-2,0),(4,0),且顶点为(1,-9/2),求函数表达式。
解法一:因为图像过(-2,0),(4,0),(1,-9/2)三点
所以可设y=ax2+bx+c,(a≠0,a.b.c为常数)——一般式
0=4a-2b+c0=16a+4b+c-92=a+b+c∴a=12b=-1c=-4
函数表达式为y=12x2-x-4
解法二:因为图像与x轴交于(-2,0),(4,0)
所以可设y=a(x+2)(x-4),——交点式
把x=1,y=-9/2代入上式
-92=a(x+2)(x-4),解得a=12
所以函数表达式为y=12(x+2)(x-4),
y=12x2-x-4
解法三:因为已知顶点(1,-9/2)
所以可设y=a(x-1)2-92——顶点式
把x=-2,y=0代入上式
0=a(-2-1)2-92,解得a=12
所以函数表达式为y=12(x-1)2-92
化为y=12x2-x-4
通过对以上各题的解法比较说明:解题时要先观察分析二次函数图像的特点,如顶点和对称轴的位置、图像与x轴的焦点、图像上已知几个点等已知条件,再选用适当的函数表达式求解,这样可以提高观察能力、分析问题的能力及正确决策的能力,达到出奇制胜、事半功倍的效果。