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摘 要:风险管理中理赔次数的分布一直是学者研究的课题,但由于理赔次数数据量不大,对分布的研究造成了一定的阻碍,因此现实研究中我们有必要找到一个合适的模型来进行拟合,负二项分布能够比较理想的拟合这种分布,本文主要研究这种分布特性,以便在风险管理中很好的运用他们。
关键词:负二项分布;风险管理;建议
负二项分布有一个很重要的性质即方差大于均值,依据这一性质,学者就可以把负二项分布运用的风险管理中,如果利用负二项分布计算出的值中方差越大,均值越小,那么,风险集合中存在的非同质性越严重,反之,非同质性比较平稳。
例如,如果我们设某次风险的索赔次数服从参数为λ的泊松分布即Pk=λke-λk!(k=1,2,L),而风险集Θ的结构函数服H(λ)从参数为(α,β)的Γ分布,则其密度函数为:
那么,从风险集合Θ中随机抽取的风险其索赔次数的分布为
从上边可以看出,上述分布p(x=k)=∫∞0λke-θk!·β(α)e-βλθα-1Γ(α)dλ的参数为α,1β+1,均值和方差分别为αβ和αβα,1β+1,依据负二项分布的定义上述分布不服从负二项分布,因此对于初始投保人,其索赔频率可以初步估计为αβ,假如得到该投保人n年索赔次数的观察值(k1,k2,L,kn),求取调整后的后验估计,由Bayes公式可知的后验密度函数为
根据Γ分布的密度函数,λ的后验概率分布为f(λ|k1,k2,L,kn)服从Γ分布,其参数为(k+α,n+β),均值和方差分别为k+αn+β,k+α(n+β)2.因此.当知道投保人n年的索赔次数观察值(k1,k2,L,kn),其索赔概率估计值可以调整为k+αn+β,当观察时间n→∞时,索赔频率k+αn+β趋近于投保人的真试索赔频率kn,其方差k+α(n+β)2也趋近于零.
索赔次数之间是存在正向传染性的,即每当发生一次索赔下次发生索赔的概率是增加且是线性的,也可以说未来的索赔次数是依赖以前的索赔次数的.用符号表示就是λn=a+b(n-1)(b>0),其中(n-1)为已经发生的索赔频率强度次数,相应的,λn表示第n次索赔频率强度次数。.
我们知道,当λn和以前的索赔概率存在线性关系,则转移机率
pn,n+k(h)=e-λn+k-1k·λn+1Lλn+kb·(2b)L(kb)·(ebh-1)k
其中pn,n+k(h)表示当已经发生n次索赔时,经过一定时间h发生k次索赔的概率,令p(h)=e-bhαn=λn+1b
则有pn,n+k(h)=e-λn+1k·e-kbh·
λn+1(λn+1+b)L[λn+1+(k-1)b]bk·k!·ekbh[1-p(n)]k
=λn+1b·λn+1b+1Lλn+1b+(k-1)k!·e-λn+2h[1-p(n)]k
=αn+k-1k[p(h)]2n[1-p(h)]k
由此可知,在时间长度h为的区间内发生k次索赔的概率服从参数为(αk,p(h))的负二项分布.
得出这一结论是符合我们期望的,它进一步说明了附二项分布在拟合风险管理索赔次数中的合理性,根据负二项分布,如果某一个观察值即投保人发生了索赔,那么我们有理由认为其再一次发生索赔的概率增大,相应的我们就应当适当的调整资费,这就是某些险资机构调整资费的依据,在这一制度下,如果当年投保人有保费需求后,我们可以适当的调整其保费来维持风险管理公司的正常运转,从结论可以看出,投保人索賠次数越多,那么其保费也相应的提高,这就为险资机构或者是保险公司提供了依据,为维护公司利益打下基础。
关键词:负二项分布;风险管理;建议
负二项分布有一个很重要的性质即方差大于均值,依据这一性质,学者就可以把负二项分布运用的风险管理中,如果利用负二项分布计算出的值中方差越大,均值越小,那么,风险集合中存在的非同质性越严重,反之,非同质性比较平稳。
例如,如果我们设某次风险的索赔次数服从参数为λ的泊松分布即Pk=λke-λk!(k=1,2,L),而风险集Θ的结构函数服H(λ)从参数为(α,β)的Γ分布,则其密度函数为:
那么,从风险集合Θ中随机抽取的风险其索赔次数的分布为
从上边可以看出,上述分布p(x=k)=∫∞0λke-θk!·β(α)e-βλθα-1Γ(α)dλ的参数为α,1β+1,均值和方差分别为αβ和αβα,1β+1,依据负二项分布的定义上述分布不服从负二项分布,因此对于初始投保人,其索赔频率可以初步估计为αβ,假如得到该投保人n年索赔次数的观察值(k1,k2,L,kn),求取调整后的后验估计,由Bayes公式可知的后验密度函数为
根据Γ分布的密度函数,λ的后验概率分布为f(λ|k1,k2,L,kn)服从Γ分布,其参数为(k+α,n+β),均值和方差分别为k+αn+β,k+α(n+β)2.因此.当知道投保人n年的索赔次数观察值(k1,k2,L,kn),其索赔概率估计值可以调整为k+αn+β,当观察时间n→∞时,索赔频率k+αn+β趋近于投保人的真试索赔频率kn,其方差k+α(n+β)2也趋近于零.
索赔次数之间是存在正向传染性的,即每当发生一次索赔下次发生索赔的概率是增加且是线性的,也可以说未来的索赔次数是依赖以前的索赔次数的.用符号表示就是λn=a+b(n-1)(b>0),其中(n-1)为已经发生的索赔频率强度次数,相应的,λn表示第n次索赔频率强度次数。.
我们知道,当λn和以前的索赔概率存在线性关系,则转移机率
pn,n+k(h)=e-λn+k-1k·λn+1Lλn+kb·(2b)L(kb)·(ebh-1)k
其中pn,n+k(h)表示当已经发生n次索赔时,经过一定时间h发生k次索赔的概率,令p(h)=e-bhαn=λn+1b
则有pn,n+k(h)=e-λn+1k·e-kbh·
λn+1(λn+1+b)L[λn+1+(k-1)b]bk·k!·ekbh[1-p(n)]k
=λn+1b·λn+1b+1Lλn+1b+(k-1)k!·e-λn+2h[1-p(n)]k
=αn+k-1k[p(h)]2n[1-p(h)]k
由此可知,在时间长度h为的区间内发生k次索赔的概率服从参数为(αk,p(h))的负二项分布.
得出这一结论是符合我们期望的,它进一步说明了附二项分布在拟合风险管理索赔次数中的合理性,根据负二项分布,如果某一个观察值即投保人发生了索赔,那么我们有理由认为其再一次发生索赔的概率增大,相应的我们就应当适当的调整资费,这就是某些险资机构调整资费的依据,在这一制度下,如果当年投保人有保费需求后,我们可以适当的调整其保费来维持风险管理公司的正常运转,从结论可以看出,投保人索賠次数越多,那么其保费也相应的提高,这就为险资机构或者是保险公司提供了依据,为维护公司利益打下基础。