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二项式定理在新课标教材下相对比较独立，内容不多，但题型较多，解法灵活.高考中的考查多是选择题、填空题，也有可能在应用题中用它进行近似计算. 考查的内容以二项展开式及其通项公式的运用为主的基础题，注重培养目标意识和构造意识以及赋值法思想.
考点1 考查对某项的二项式系数和系数的相关概念的正确理解
例1 （1）[（1+2x）n]的展开式中第[6]项与第[7]项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项；
（2）求[（2x+1x）4]的展开式中各项的二项式系数和及各项系数和.
分析 某项的二项式系数和系数是大家易混淆的两个概念；两者本质差别在：展开式中第[r+1]项的二项式系数是[Crn]（[r=0，1，2，…，n]），而第[r+1]项的系数是指经过化简整理后该项未知数前的最简系数（含正负）.
解 （1）[T6=C5n（2x）5]，[T7=C6n（2x）6]，依题意有[C5n25=C6n26?n=8].
∴[（1+2x）8]的展开式中，二项式系数最大的项为[T5=C48（2x）4=1120x4].
设第[r+1]项系数最大，则有
[Cr8?2rCr-18?2r-1，Cr8?2rCr+18?2r+1，?5r6].
∴[r=5]或[r=6]（∵[r∈0?，?1?，?2?，?…?，?8]）.
∴系数最大的项为：[T6=1792x5]，[T7=1792x6].
（2）该展开式的各项二项式系数和为
[C04]+[C14]+[C24]+[C34]+[C44]=[24]=16.
令二项式中变量[x=1]得各项系数之和为[34=81.]
点拨 二项式的考查注重基本概念，尤其是二项式系数和系数的相关问题. 而解决此类问题的关键是正确认识它们的本质区别.特别提醒：（1）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，[n]为奇数时中间两项的二项式系数最大，[n]为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 求展开式中系数最大的项需先判断各项系数的正、负情况，再列不等式组求解. （2）各项二项式系数和总是[C0n]+[C1n+…]+[Cnn]=[2n]；而各项系数和是令展开式中各变量都为1时所得的值.
考点2 利用通项公式解决特定项问题
例2 （1）二项式[x+12x4n]的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有的有理项；
（2）求[（1-x）3（1+x）10]的展开式中[x5]的系数；
（3）求[（x+1x+2）6]的展开式中的常数项.
分析 本题涉及到某项的系数、有理项及常数项，属典型的特定项问题，可以通过通项公式解决.
解 （1）该二项式的展开式的通项公式为：
[Tr+1=Crn（x）n-r12x4r=Crn12rx2n-3r4]
前三项的[r=0，1，2.] 得系数为：
[T1=1，T2=12C1n=12n，T3=14C2n=18n（n-1）]，
由已知：[2T2=T1+T3， n=1+18n（n-1）]，
∴[n=8].
通项公式为[Tr+1=Cr812rx16-3r4，r=0，1，2，…8，][Tr+1]为有理项，故[16-3r]是4的倍数，
∴[r=0，4，8.] 依次得有理项为
[T1=x4，T5=C48124x=358x，T9=C88128x-2=1256x-2.]
（2）[（1-x）3（1+x）10]展开式中的[x5]可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：
用[（1-x）3]展开式中的常数项乘以[（1+x）10]展开式中的[x5]项，可以得到[C510x5]；用[（1-x）3]展开式中的[x1]项乘以[（1+x）10]展开式中的[x4]项可得到[（-3x）（C410x4）=-3C410x5]；用[（1-x）3]中的[x2]乘以[（1+x）10]展开式中的[x3]可得到[3x2?C310x3=3C310x5]；用 [（1-x）3]中的[x3]项乘以[（1+x）10]展开式中的[x2]项可得到[-3x3?C210x2=-C210x5]，合并同类项得[x5]项为： [（C510-C410+3C310-C210）x5=-63x5].
（3）（法一）由[x+1x+2=x+1x2]得
[（x+1x+2）5=x+1x12].
由[x+1x12]展开式的通项公式[Tr+1=Cr12（2）12-r1xr=Cr12x6-r]，可得展开式的常数项为[C612=924].
（法二）将[x+1x]整体看作一项得展开式的通项为[Tr+1=2rCr6（x+1x）6-r][（r=0，1，…，6）]当r=0，2，4，6时有常数项，依次再展开，合并同类项后得原二项式的常数项为[20C06C36+22C26C24+24C46C12+26=924].
点拨 二项式定理的考查以利用通项公式解决特定项问题居多，大多数难度不大；但也有形如（2）（3）这种多项式展开需要转化成二项式展开的问题. 解决此类问题的关键是：恰当运用因式分解、多项式乘法和合并同类项等代数运算技巧.
考点3 利用赋值思想解决系数和问题
例3 若[（3x-1）7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0]，
求（1）[a1+a2+…+a7]；
（2）[a1+a3+a5+a7]；
（3）[a0+a2+a4+a6].
分析 通过对等式中的字母赋恰当的值，往往会得到此类问题的结果. 经常取的值有0、1、-1等.
解 （1）令[f（x）=（3x-1）7]，
当[x=0]，则[f（0）=][a0=-1]，
令[x=1]， 则[f（1）=27=][a7+a6+…+a1+a0=128]. ①
∴[a1+a2+…+a7=f（1）-f（0）=129].
（2）令[x=-1]，则
[f（-1）=-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=（-4）7]②
由[①-②2]得，
[a1+a3+a5+a7=12[128-（-4）7]=8256.]
（3）由[①+②2]得：
[a0+a2+a4+a6]
[=12[f（1）+f（-1）]][=12[128+（-4）7]=-8128].
点拨 （1）本题根据问题恒等式特点来用“特殊值”法求解. 这是一种重要的方法，它适用于恒等式的证明和代数式的求和. （2）一般地，对于多项式[f（x）=（q+px）n=ao+a1x+…+an-1xn-1+anxn，][f（x）]的各项的系数和为[f（1）]；常数项[a0=f（0）]；[f（x）]的奇数项的系数和为[12[f（1）+f（-1）]]. 偶数项的系数和为[12[f（1）-f（-1）]]. 赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和，对于展开式为多项式的代数式的系数和也能用此方法解决，如：[（1+x）5（1-2x）6]的展开式中各项的系数和仍然是令[x=1]得各项系数和为32.
考点4 利用二项展开式解决整除性问题
例4 （1）利用二项式定理证明：[32n+2-8n-9]是64的倍数；
（2）[230-3]除以[7]的余数 .
分析 （1）64是8的平方，问题相当于证明[32n+2-8n-9]是[82]的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形[32n+2=9n+1=（8+1）n+1]，将其展开后各项含有[8k]，与[82]的倍数联系起来. （2）将[230]分解成含[7]的因数，然后用二项式定理展开，不含[7]的项就是余数.
解 （1）[32n+2-8n-9]
[=9n+1-8n-9=（8+1）n+1-8n-9]
[=8n+1+C1n+1?8n+…+Cn-1n+1?82+Cnn+1?8+1-8n-9]
[=8n+1+C1n+1?8n+…+Cn-1n+1?82+8（n+1）+1-8n-9]
[=8n+1+C1n+1?8n+…+Cn-1n+1?82]
[=（8n+1+C1n+1?8n-2+…+Cn-1n+1）?64]
上式是64的倍数，得证.
（2）[230-3][=（23）10-3][=（8）10-3][=（7+1）10-3]
[=C010710+C11079+…+C9107+C1010-3]
[=7×[C01079+C11078+…+C910]-2.]
又∵余数不能为负数，需转化为正数，
∴[230-3]除以[7]的余数为5.
点拨 证明整除性问题，或求余数问题. 关键是找准指数式中的底数和除数的联系，将指数式分拆成与除数有关联的两个数的和或差，再用二项式定理展开，要注意余数为非负数且不大于除数.
考点5 利用二项展开式证明组合恒等式或不等式问题
例5 （1）证明：[C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn][=2?4n-1][+2n-1]（[n]为偶数，[n∈N*]）
（2）求证：[3n>（n+2）?2n-1（n∈N*，n>2）]
分析 （1）注意分析等式左边式子的结构特征，刚好是某二项展开式的部分项，也要注意到3-1=2，3+1=4正好和指数式的底数吻合，从而构造[（1±3）n]展开. （2）思想同上.
解 （1）∵[n]为偶数，
∴[（1+3）n=C0n+3C1n+32C2n+…+3nCnn]，
[（1-3）n=C0n-3C1n+32C2n-…+3nCnn].
两式相加得
[4n+2n=2（C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn）]，
∴[C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn=2?4n-1+2n-1].
（2）[∵n∈N*且n>2]，
∴[3n=（2+1）n]展开至少有四项，即
[3n=（2+1）n2n+n?2n-1+2n+1>2n+n?2n-1]
[=（n+2）?2n-1]得证.
点拨 构造函数展开式进行赋值法，构造问题双解法、拆项法、倒序相加法、放缩法等都是证明一些组合数恒等式（或求和）、不等式的常用方法.
1. 若[（x+1x）n]的展开式中第3项与第7项的系数的二项式系数相等，则该展开式中[1x2]的系数为 .
2. 已知[（x+3x3）n]展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则[n]等于（ ）
A. 10 B. 5 C. 6 D. 7
3. 已知[（x+ax）（2x-1x）5]的展开式中各项系数和为2，则该展开式中的常数项（ ）
A. -40 B. -20 C. 20 D. 40
4. [（x2+2）（1x2-1）5]的展开式的常数项是（ ）
A. -3 B. -2 C. 2 D. 3
5. [（2+33）100]的展开式中有多少项是有理项的项数为（ ）
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
6. 设[（1+x）8=a0+a1x+…+a8x8]，则[a0， a1， ][a2，…，a8]中奇数的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
1. 56 2. C 3. D 4. B 5. B 6. A
考点1 考查对某项的二项式系数和系数的相关概念的正确理解
例1 （1）[（1+2x）n]的展开式中第[6]项与第[7]项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项；
（2）求[（2x+1x）4]的展开式中各项的二项式系数和及各项系数和.
分析 某项的二项式系数和系数是大家易混淆的两个概念；两者本质差别在：展开式中第[r+1]项的二项式系数是[Crn]（[r=0，1，2，…，n]），而第[r+1]项的系数是指经过化简整理后该项未知数前的最简系数（含正负）.
解 （1）[T6=C5n（2x）5]，[T7=C6n（2x）6]，依题意有[C5n25=C6n26?n=8].
∴[（1+2x）8]的展开式中，二项式系数最大的项为[T5=C48（2x）4=1120x4].
设第[r+1]项系数最大，则有
[Cr8?2rCr-18?2r-1，Cr8?2rCr+18?2r+1，?5r6].
∴[r=5]或[r=6]（∵[r∈0?，?1?，?2?，?…?，?8]）.
∴系数最大的项为：[T6=1792x5]，[T7=1792x6].
（2）该展开式的各项二项式系数和为
[C04]+[C14]+[C24]+[C34]+[C44]=[24]=16.
令二项式中变量[x=1]得各项系数之和为[34=81.]
点拨 二项式的考查注重基本概念，尤其是二项式系数和系数的相关问题. 而解决此类问题的关键是正确认识它们的本质区别.特别提醒：（1）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，[n]为奇数时中间两项的二项式系数最大，[n]为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 求展开式中系数最大的项需先判断各项系数的正、负情况，再列不等式组求解. （2）各项二项式系数和总是[C0n]+[C1n+…]+[Cnn]=[2n]；而各项系数和是令展开式中各变量都为1时所得的值.
考点2 利用通项公式解决特定项问题
例2 （1）二项式[x+12x4n]的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有的有理项；
（2）求[（1-x）3（1+x）10]的展开式中[x5]的系数；
（3）求[（x+1x+2）6]的展开式中的常数项.
分析 本题涉及到某项的系数、有理项及常数项，属典型的特定项问题，可以通过通项公式解决.
解 （1）该二项式的展开式的通项公式为：
[Tr+1=Crn（x）n-r12x4r=Crn12rx2n-3r4]
前三项的[r=0，1，2.] 得系数为：
[T1=1，T2=12C1n=12n，T3=14C2n=18n（n-1）]，
由已知：[2T2=T1+T3， n=1+18n（n-1）]，
∴[n=8].
通项公式为[Tr+1=Cr812rx16-3r4，r=0，1，2，…8，][Tr+1]为有理项，故[16-3r]是4的倍数，
∴[r=0，4，8.] 依次得有理项为
[T1=x4，T5=C48124x=358x，T9=C88128x-2=1256x-2.]
（2）[（1-x）3（1+x）10]展开式中的[x5]可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：
用[（1-x）3]展开式中的常数项乘以[（1+x）10]展开式中的[x5]项，可以得到[C510x5]；用[（1-x）3]展开式中的[x1]项乘以[（1+x）10]展开式中的[x4]项可得到[（-3x）（C410x4）=-3C410x5]；用[（1-x）3]中的[x2]乘以[（1+x）10]展开式中的[x3]可得到[3x2?C310x3=3C310x5]；用 [（1-x）3]中的[x3]项乘以[（1+x）10]展开式中的[x2]项可得到[-3x3?C210x2=-C210x5]，合并同类项得[x5]项为： [（C510-C410+3C310-C210）x5=-63x5].
（3）（法一）由[x+1x+2=x+1x2]得
[（x+1x+2）5=x+1x12].
由[x+1x12]展开式的通项公式[Tr+1=Cr12（2）12-r1xr=Cr12x6-r]，可得展开式的常数项为[C612=924].
（法二）将[x+1x]整体看作一项得展开式的通项为[Tr+1=2rCr6（x+1x）6-r][（r=0，1，…，6）]当r=0，2，4，6时有常数项，依次再展开，合并同类项后得原二项式的常数项为[20C06C36+22C26C24+24C46C12+26=924].
点拨 二项式定理的考查以利用通项公式解决特定项问题居多，大多数难度不大；但也有形如（2）（3）这种多项式展开需要转化成二项式展开的问题. 解决此类问题的关键是：恰当运用因式分解、多项式乘法和合并同类项等代数运算技巧.
考点3 利用赋值思想解决系数和问题
例3 若[（3x-1）7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0]，
求（1）[a1+a2+…+a7]；
（2）[a1+a3+a5+a7]；
（3）[a0+a2+a4+a6].
分析 通过对等式中的字母赋恰当的值，往往会得到此类问题的结果. 经常取的值有0、1、-1等.
解 （1）令[f（x）=（3x-1）7]，
当[x=0]，则[f（0）=][a0=-1]，
令[x=1]， 则[f（1）=27=][a7+a6+…+a1+a0=128]. ①
∴[a1+a2+…+a7=f（1）-f（0）=129].
（2）令[x=-1]，则
[f（-1）=-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=（-4）7]②
由[①-②2]得，
[a1+a3+a5+a7=12[128-（-4）7]=8256.]
（3）由[①+②2]得：
[a0+a2+a4+a6]
[=12[f（1）+f（-1）]][=12[128+（-4）7]=-8128].
点拨 （1）本题根据问题恒等式特点来用“特殊值”法求解. 这是一种重要的方法，它适用于恒等式的证明和代数式的求和. （2）一般地，对于多项式[f（x）=（q+px）n=ao+a1x+…+an-1xn-1+anxn，][f（x）]的各项的系数和为[f（1）]；常数项[a0=f（0）]；[f（x）]的奇数项的系数和为[12[f（1）+f（-1）]]. 偶数项的系数和为[12[f（1）-f（-1）]]. 赋值法不仅可以用来求二项展开式的系数和，对于展开式为多项式的代数式的系数和也能用此方法解决，如：[（1+x）5（1-2x）6]的展开式中各项的系数和仍然是令[x=1]得各项系数和为32.
考点4 利用二项展开式解决整除性问题
例4 （1）利用二项式定理证明：[32n+2-8n-9]是64的倍数；
（2）[230-3]除以[7]的余数 .
分析 （1）64是8的平方，问题相当于证明[32n+2-8n-9]是[82]的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形[32n+2=9n+1=（8+1）n+1]，将其展开后各项含有[8k]，与[82]的倍数联系起来. （2）将[230]分解成含[7]的因数，然后用二项式定理展开，不含[7]的项就是余数.
解 （1）[32n+2-8n-9]
[=9n+1-8n-9=（8+1）n+1-8n-9]
[=8n+1+C1n+1?8n+…+Cn-1n+1?82+Cnn+1?8+1-8n-9]
[=8n+1+C1n+1?8n+…+Cn-1n+1?82+8（n+1）+1-8n-9]
[=8n+1+C1n+1?8n+…+Cn-1n+1?82]
[=（8n+1+C1n+1?8n-2+…+Cn-1n+1）?64]
上式是64的倍数，得证.
（2）[230-3][=（23）10-3][=（8）10-3][=（7+1）10-3]
[=C010710+C11079+…+C9107+C1010-3]
[=7×[C01079+C11078+…+C910]-2.]
又∵余数不能为负数，需转化为正数，
∴[230-3]除以[7]的余数为5.
点拨 证明整除性问题，或求余数问题. 关键是找准指数式中的底数和除数的联系，将指数式分拆成与除数有关联的两个数的和或差，再用二项式定理展开，要注意余数为非负数且不大于除数.
考点5 利用二项展开式证明组合恒等式或不等式问题
例5 （1）证明：[C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn][=2?4n-1][+2n-1]（[n]为偶数，[n∈N*]）
（2）求证：[3n>（n+2）?2n-1（n∈N*，n>2）]
分析 （1）注意分析等式左边式子的结构特征，刚好是某二项展开式的部分项，也要注意到3-1=2，3+1=4正好和指数式的底数吻合，从而构造[（1±3）n]展开. （2）思想同上.
解 （1）∵[n]为偶数，
∴[（1+3）n=C0n+3C1n+32C2n+…+3nCnn]，
[（1-3）n=C0n-3C1n+32C2n-…+3nCnn].
两式相加得
[4n+2n=2（C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn）]，
∴[C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn=2?4n-1+2n-1].
（2）[∵n∈N*且n>2]，
∴[3n=（2+1）n]展开至少有四项，即
[3n=（2+1）n2n+n?2n-1+2n+1>2n+n?2n-1]
[=（n+2）?2n-1]得证.
点拨 构造函数展开式进行赋值法，构造问题双解法、拆项法、倒序相加法、放缩法等都是证明一些组合数恒等式（或求和）、不等式的常用方法.
1. 若[（x+1x）n]的展开式中第3项与第7项的系数的二项式系数相等，则该展开式中[1x2]的系数为 .
2. 已知[（x+3x3）n]展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则[n]等于（ ）
A. 10 B. 5 C. 6 D. 7
3. 已知[（x+ax）（2x-1x）5]的展开式中各项系数和为2，则该展开式中的常数项（ ）
A. -40 B. -20 C. 20 D. 40
4. [（x2+2）（1x2-1）5]的展开式的常数项是（ ）
A. -3 B. -2 C. 2 D. 3
5. [（2+33）100]的展开式中有多少项是有理项的项数为（ ）
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
6. 设[（1+x）8=a0+a1x+…+a8x8]，则[a0， a1， ][a2，…，a8]中奇数的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
1. 56 2. C 3. D 4. B 5. B 6. A