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摘 要:“悟”是学习方法,是独立思考;“悟”是学习品质,是感受体验;“悟”是解除疑难,是开拓创新.本文通过具体的教学案例,从看清问题、绕过障碍、解决问题、回到起点等四个方面说明在解题教学中如何培养学生的悟性。
关键词:解题教学;培养;数学思想;悟性
数学大师波利亚曾说过:“良好的组织使得所提供的知识易于用上,这甚至可能比知识的广泛性更为重要.至少在有些情况下,知识太多可能反而成了累赘,可能会妨碍解题者看出一条简单的途径,而良好的组织则有利而无弊。”现在初三的复习很大程度上是通过解题教学来实现知识巩固,同时题目的综合性较强,需要学生对于题目有一个很好的认识.复习中的重点不是多讲几个题目、多做几个练习,而应通过典型例题理清知识体系,培养学生的悟性,优化知识结构。
“悟”是学习方法,是独立思考;“悟”是学习品质,是感受体验;“悟”是解除疑难,是开拓创新。为了让学生能形成良好的知识结构,教师在问题解决过程中应更多地暴露思维过程,通过问题的合理设置激活学生原有的知识经验,启发他们形成新的理解、新的认识。因此数学课堂教学有效开展离不开教师的合理引导,教学中突出以问题为主线,启迪学生思考,使学生在课堂中深刻地感受如何发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的整个过程,理解和认识发生和发展的必然的因果关系,从而领悟到分析、思考和解决问题的数学思想方法,最终内化为自身知识结构的重要部分。
教学案例
这是我在初三复习课上讲的一道习题。
如图1,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6。沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成?驻AC1D1和?驻BC2D2两个三角形(如图2所示)。将纸片?驻AC1D1沿直线D2B(AB)方向平移(点A,D1D2,B始终在同一直线上),当点D1与点B重合时,停止平移。在平移过程中,C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P。
(1)当?驻AC1D1平移到如图3所示的位置时,猜想图中的D1E与D2F的数量关系,并证明你的猜想;
(2)设平移距离D2D1为x,?驻AC1D1与?驻BC2D2重叠部分面积为y,请写出y与x的函数关系式,以及自变量的取值范围;
■
(3)对于(2)中的结论是否存在这样的x的值;若不存在,请说明理由。
本例的难点是问题(2),很多同学都思路受阻,如何去表示这个阴影面积呢?因此我在教学中设计了以下问题引导学生去分析、解决问题。
一、看清问题
师:不规则图形的面积计算,通常用什么方法?
生1:(有所悟)割补法,转化为规则的图形。
师:这里有没有熟悉可计算的图形?
生2:三角形, y=S?驻BC1D2-S?驻BED2-S?驻FC1P或y=S?驻APB-S?驻AD2F-S?驻BD1E
师:如何用x表示这些三角形的面积?还记得三角形面积的计算的方法吗?
这样的问题,思维指向清晰,有明确的教学目标,确定阴影面积y应该如何表示。当然这里“结果”启发式的问题沿着教师事先设置好的“轨迹”前进,缺少了一定的开放性,但关键要看这样的“问”是否调动学生参与的积极性,是否符合学生的认知水平,同时要注意问题的层次性,由易到难,前两个问题的设置有助于增强学生解题的信心.教师的最后一问在此题解决中起到关键作用,学生刚开始脑海里还没合适的求三角形面积的方法,容易联想到最熟悉的公式S=■ah。
师:这些三角形的底能用x表示吗?高能用x表示吗?
生4:底比较容易,分别是AD2=BD1=5-x,AB=10-x,BD2=5,C1F=x,高比较麻烦。
二、绕过障碍
师:我们不求高可否直接求三角形的面积?你有好方法吗?
生:三角形的面积计算通常用的方法还有S=■·absin?琢,还可以利用相似三角形的性质相似比的平方等于面积比。
此问引起学生认知上冲突而促进他们更深入进行思考,引导他们从知识仓库中提取用的东西,从而产生一个好的思路。把求不规则图形的问题划归为学生熟悉的求三角形问题,有利学生调动头脑中储存的关于这类问题的各种知识。同时概括了三角形面积计算的三种方法,涉及了相似,解直角三角形等有关知识点,把原来相对孤立的知识点有效的串连起来,优化学生的知识体系。
三、解决问题
带参数的问题,通常把给定参数作为已知量运用如本题中的x,表示出所需的未知量,特别注意其中相等的量。引导学生找到对应的相似三角形,尽可能多地表示出相关的线段。对于例题中的难点问题(2),同学们讨论得出两种解法。
解法一:根据题意,易得S?驻BC1D2=■S?驻ABC=12.
∵C1F=x ,?驻C1FP∽ ?驻ABC,∴■=■,S?驻C1FP=■x2。
∵?驻?注D1?抓∽?驻?注D2C1,同理可得:S?驻BD1E=■(5-x)2.
由于y=S?驻BC1D2-S?驻BED1-S?驻FC1P,∴y=■x2+■x(0≥x≥5).
解法二:∵AB=10-x,?驻ABC∽?驻ABP,∴■=■, S?驻ABP=■(10-x)2.
同理可得:S?驻BD1E=■(5-x)2=S?驻AD2F.
由于y=S?驻APB-S?驻AD2F-S?驻AD1E,∴y=■x2+■x(0≤x≤5)。
这一环节学生顺着教师预设的“轨迹”到达了目的地,在这一过程中学生的知识结构得到了完善,使得他们通过对题目的重新认识,有了自己的思考和领悟。
四、回到起点
题目解完后是否真正解决了这个问题呢?首先,在问题解决过程中学生的“疑”和教师假想的“疑”并不一定完全吻合,通过问题的回顾可对教学进行调整和优化。其次,学生的解题过程是在教师的“安排”下进行,思维有很大的直觉性和依赖性,可能顾及不到对自己思维过程进行分析、整理。所以解完后的总结反思就非常的必要。正是对于解题总结的重要性的认识,波利亚指出:“工作中最重要的那部分就是回去看一下完整的解答。通过考察他的工作过程和最后的解答形式,他会发现要观察认识的东西真是千变万化,层出不穷。”
师:解完后你对题目有没有新的发现和想法。
生5:通过上面的解答,我发现利用相似比可求出三角形的高,公式S=■ah也可行。
生6:Rt?驻ABC 的三边之比非常特殊3∶4∶5,因此与它相似的三角形都可以利用这一特性来计算,如Rt?驻ABP,Rt?驻C1FP的面积都可以利用这一特性简化计算。
生7:我发现刚才在计算S?驻BD1E,S?驻AD2F可以把它们拼在一起就是一个Rt (E和F重合),而且它与Rt?驻ABC相似,因此利用相似比和面积比的关系计算出它们的面积。
生5、生6是在回顾解法后进一步理解了相似在求线段和面积的作用提出的一个解法,原先的障碍得到了解决,而生7是打破了原有思路的的束缚有了更为巧妙的解法,抓住不规则图形求面积的“割补”的原理.这是我没有想到的,有了他的启发下面的学生也有了更多的精彩的解答。
生8:(如图3)连结EF,把原多边形分成平行四边形D1D2FE和Rt?驻PFE,通过Rt?驻PFE∽Rt?驻ABC可求出 S?驻PFE,而平行四边形D1D2FE的底是已知的,它的高就是三角形?驻AFD1的高也可以用相似求得,因此平行四边形的面积也可求。
生9:平行四边形D1D2FE面积可以这样求,连接C1C2,S平行四边形C1C2D1D2=x·■(高等于Rt ?驻ABC的高),平行四边形D1D2FE与平行四边形C1C2D1D2的面积比为D2F∶D2C1 =(5-x)∶5,所以S平行四边形D1D2FE= ■x(5-x).
生10:有了他的启发Rt?驻PFE的面积可以这样求,因为SRt?驻AEF=■S平行四边形C1C2EF,用上面的方法可以求出S平行四边形C1C2EF=■·S平行四边形C1C2D1D2=■x2,所以SRt?驻AEF=■x2。
割补方式的不同可以产生不同的方法,目的是把不规则图形转化为规则图形。生8把其转化为平行四边形是一个突破,而生8,生9则充分挖掘了平行四边形的特性,利用等底等高的面积转化方式非常巧妙,计算简便。
这节课虽然我只完成了一道例题,但是,学生给出的很多好的想法和思路是我没想到的,也给了我很多启发。教师在教学中如果能很好地抓住数学本质,以此为问题的载体,调动学生原有的认知,那么学生则会产生更多智慧的火花。教师在教学中不仅应使学生掌握具体的数学知识,而且也应帮助学生学会领会内在的思维方法。
(责任编辑:张华伟)
关键词:解题教学;培养;数学思想;悟性
数学大师波利亚曾说过:“良好的组织使得所提供的知识易于用上,这甚至可能比知识的广泛性更为重要.至少在有些情况下,知识太多可能反而成了累赘,可能会妨碍解题者看出一条简单的途径,而良好的组织则有利而无弊。”现在初三的复习很大程度上是通过解题教学来实现知识巩固,同时题目的综合性较强,需要学生对于题目有一个很好的认识.复习中的重点不是多讲几个题目、多做几个练习,而应通过典型例题理清知识体系,培养学生的悟性,优化知识结构。
“悟”是学习方法,是独立思考;“悟”是学习品质,是感受体验;“悟”是解除疑难,是开拓创新。为了让学生能形成良好的知识结构,教师在问题解决过程中应更多地暴露思维过程,通过问题的合理设置激活学生原有的知识经验,启发他们形成新的理解、新的认识。因此数学课堂教学有效开展离不开教师的合理引导,教学中突出以问题为主线,启迪学生思考,使学生在课堂中深刻地感受如何发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的整个过程,理解和认识发生和发展的必然的因果关系,从而领悟到分析、思考和解决问题的数学思想方法,最终内化为自身知识结构的重要部分。
教学案例
这是我在初三复习课上讲的一道习题。
如图1,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6。沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成?驻AC1D1和?驻BC2D2两个三角形(如图2所示)。将纸片?驻AC1D1沿直线D2B(AB)方向平移(点A,D1D2,B始终在同一直线上),当点D1与点B重合时,停止平移。在平移过程中,C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P。
(1)当?驻AC1D1平移到如图3所示的位置时,猜想图中的D1E与D2F的数量关系,并证明你的猜想;
(2)设平移距离D2D1为x,?驻AC1D1与?驻BC2D2重叠部分面积为y,请写出y与x的函数关系式,以及自变量的取值范围;
■
(3)对于(2)中的结论是否存在这样的x的值;若不存在,请说明理由。
本例的难点是问题(2),很多同学都思路受阻,如何去表示这个阴影面积呢?因此我在教学中设计了以下问题引导学生去分析、解决问题。
一、看清问题
师:不规则图形的面积计算,通常用什么方法?
生1:(有所悟)割补法,转化为规则的图形。
师:这里有没有熟悉可计算的图形?
生2:三角形, y=S?驻BC1D2-S?驻BED2-S?驻FC1P或y=S?驻APB-S?驻AD2F-S?驻BD1E
师:如何用x表示这些三角形的面积?还记得三角形面积的计算的方法吗?
这样的问题,思维指向清晰,有明确的教学目标,确定阴影面积y应该如何表示。当然这里“结果”启发式的问题沿着教师事先设置好的“轨迹”前进,缺少了一定的开放性,但关键要看这样的“问”是否调动学生参与的积极性,是否符合学生的认知水平,同时要注意问题的层次性,由易到难,前两个问题的设置有助于增强学生解题的信心.教师的最后一问在此题解决中起到关键作用,学生刚开始脑海里还没合适的求三角形面积的方法,容易联想到最熟悉的公式S=■ah。
师:这些三角形的底能用x表示吗?高能用x表示吗?
生4:底比较容易,分别是AD2=BD1=5-x,AB=10-x,BD2=5,C1F=x,高比较麻烦。
二、绕过障碍
师:我们不求高可否直接求三角形的面积?你有好方法吗?
生:三角形的面积计算通常用的方法还有S=■·absin?琢,还可以利用相似三角形的性质相似比的平方等于面积比。
此问引起学生认知上冲突而促进他们更深入进行思考,引导他们从知识仓库中提取用的东西,从而产生一个好的思路。把求不规则图形的问题划归为学生熟悉的求三角形问题,有利学生调动头脑中储存的关于这类问题的各种知识。同时概括了三角形面积计算的三种方法,涉及了相似,解直角三角形等有关知识点,把原来相对孤立的知识点有效的串连起来,优化学生的知识体系。
三、解决问题
带参数的问题,通常把给定参数作为已知量运用如本题中的x,表示出所需的未知量,特别注意其中相等的量。引导学生找到对应的相似三角形,尽可能多地表示出相关的线段。对于例题中的难点问题(2),同学们讨论得出两种解法。
解法一:根据题意,易得S?驻BC1D2=■S?驻ABC=12.
∵C1F=x ,?驻C1FP∽ ?驻ABC,∴■=■,S?驻C1FP=■x2。
∵?驻?注D1?抓∽?驻?注D2C1,同理可得:S?驻BD1E=■(5-x)2.
由于y=S?驻BC1D2-S?驻BED1-S?驻FC1P,∴y=■x2+■x(0≥x≥5).
解法二:∵AB=10-x,?驻ABC∽?驻ABP,∴■=■, S?驻ABP=■(10-x)2.
同理可得:S?驻BD1E=■(5-x)2=S?驻AD2F.
由于y=S?驻APB-S?驻AD2F-S?驻AD1E,∴y=■x2+■x(0≤x≤5)。
这一环节学生顺着教师预设的“轨迹”到达了目的地,在这一过程中学生的知识结构得到了完善,使得他们通过对题目的重新认识,有了自己的思考和领悟。
四、回到起点
题目解完后是否真正解决了这个问题呢?首先,在问题解决过程中学生的“疑”和教师假想的“疑”并不一定完全吻合,通过问题的回顾可对教学进行调整和优化。其次,学生的解题过程是在教师的“安排”下进行,思维有很大的直觉性和依赖性,可能顾及不到对自己思维过程进行分析、整理。所以解完后的总结反思就非常的必要。正是对于解题总结的重要性的认识,波利亚指出:“工作中最重要的那部分就是回去看一下完整的解答。通过考察他的工作过程和最后的解答形式,他会发现要观察认识的东西真是千变万化,层出不穷。”
师:解完后你对题目有没有新的发现和想法。
生5:通过上面的解答,我发现利用相似比可求出三角形的高,公式S=■ah也可行。
生6:Rt?驻ABC 的三边之比非常特殊3∶4∶5,因此与它相似的三角形都可以利用这一特性来计算,如Rt?驻ABP,Rt?驻C1FP的面积都可以利用这一特性简化计算。
生7:我发现刚才在计算S?驻BD1E,S?驻AD2F可以把它们拼在一起就是一个Rt (E和F重合),而且它与Rt?驻ABC相似,因此利用相似比和面积比的关系计算出它们的面积。
生5、生6是在回顾解法后进一步理解了相似在求线段和面积的作用提出的一个解法,原先的障碍得到了解决,而生7是打破了原有思路的的束缚有了更为巧妙的解法,抓住不规则图形求面积的“割补”的原理.这是我没有想到的,有了他的启发下面的学生也有了更多的精彩的解答。
生8:(如图3)连结EF,把原多边形分成平行四边形D1D2FE和Rt?驻PFE,通过Rt?驻PFE∽Rt?驻ABC可求出 S?驻PFE,而平行四边形D1D2FE的底是已知的,它的高就是三角形?驻AFD1的高也可以用相似求得,因此平行四边形的面积也可求。
生9:平行四边形D1D2FE面积可以这样求,连接C1C2,S平行四边形C1C2D1D2=x·■(高等于Rt ?驻ABC的高),平行四边形D1D2FE与平行四边形C1C2D1D2的面积比为D2F∶D2C1 =(5-x)∶5,所以S平行四边形D1D2FE= ■x(5-x).
生10:有了他的启发Rt?驻PFE的面积可以这样求,因为SRt?驻AEF=■S平行四边形C1C2EF,用上面的方法可以求出S平行四边形C1C2EF=■·S平行四边形C1C2D1D2=■x2,所以SRt?驻AEF=■x2。
割补方式的不同可以产生不同的方法,目的是把不规则图形转化为规则图形。生8把其转化为平行四边形是一个突破,而生8,生9则充分挖掘了平行四边形的特性,利用等底等高的面积转化方式非常巧妙,计算简便。
这节课虽然我只完成了一道例题,但是,学生给出的很多好的想法和思路是我没想到的,也给了我很多启发。教师在教学中如果能很好地抓住数学本质,以此为问题的载体,调动学生原有的认知,那么学生则会产生更多智慧的火花。教师在教学中不仅应使学生掌握具体的数学知识,而且也应帮助学生学会领会内在的思维方法。
(责任编辑:张华伟)