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数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“造形助数”或“以数解形”“数”和“形”结合即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.从初中学习数轴开始，我们就建立起了有理数与数轴上点的对应关系.这可以算是数与形结合的开端.进而，学习实数之后，把这种对应转变为实数与数轴上点的一一对应.八年级学习的一次函数、反比例函数，九年级学习的二次函数、三角函数、图表问题无不是数形结合思想的重要体现.因而数形结合通常是与数轴、平面直角坐标系或几何图形相联系的.新一轮课程改革中的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、和谐、持续的发展，它要求学生通过学习数学知识、技能和方法，逐渐形成自己的数学思想和方法，让学生学会用数学的眼光看待生活中的人和事物，学会用数学的方法解决生活中的实际问题，那么，作为最基本的数学思想之一的数形结合思想在新课程中又是怎样体现的呢？
在中学数学的解题中，主要有三种类型来体现的：造“形”助“数”、以“数”解“形”、 “数”和 “形”结合.
一、 造“形”助“数”
1. 求最值
例1 已知m、n均为正数，且m+n=12, 求 +的最小值.
解 如图，作线段AB=3， 线段BC⊥AB，且BC=12，在线段BC上截取BE=m，CE=n，过C作DC⊥CB，且DC=2， 由勾股定理：AE=，ED= ，原题即求AE+ED的最小值.
当E点在线段AD上时，AE+ED有最小值为线段AD的长.
过D点作DG⊥AB交AB的延长线于G点，则四边形BCDG是矩形，BG=2在直角△AGD中AD===13
即+的最小值为13.
点评：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题.
2. 求代数式值
例2 计算+++...+的值
解 如图：在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为，，，…，的长方形彩色纸片（n为大于1的整数），则贴图 面积就等于原正方形面积减去未贴图的面积即+++...+=1－.
想一想还可以怎样构造图形来解决这个问题.
3. 解决实际问题
例3 甲、乙、丙三人共解出100道数学题．每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫难题，三人都解出的题叫容易题．试问：难题多还是容易题多？（多的比少的）多几道？
解 设三人都解出的容易题为x个，只有一人解出的难题分别为y1，y2，y3个则难题总数为y=y+y+y个构造如图可得
x+y+a+c=60x+y+a+b=6x+y+b+c=60x+y+（a+b+c）=100
④×2-①-②-③得y-x=20
所以难题比容易题多20道.
点评：本题涉及因素较多，直接建立方程困难较大，因此利用数形结合思想“造形助数”，从而使问题得以解决.
4. 求方程的根
例4 已知方程3（x－t）2=m的根是x=1，x=2 . 则方程3（x－t-1）2=m的根是多少？
解 构造如图所示平面直角坐标系，设 y=3（x－t）2，y=m，x=1，x=2 是两个函数交点的横坐标，把函数y=3（x－t）2图像向右平移一个单位之后与y=m的交点横坐标就是方程3（x－t-1）2=m的根，为x=2，x=3.
点评 本题利用造“形”助“数”起到事半功倍的效果，堪称神来之笔.
二以“数”解“形”
例1 如图，在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F.若DE ⊥BC，EF⊥AC，FD ⊥AB同时成立，求点D在AB上的位置.
解 设AB=1，AD=x
因为△ABC为正三角形，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，故AF=2x，CF=1－2x，CE=2CF=2－4x
BE=1－CE=4x－1，BD=2BE=8x－2
而AD+BD=1，即 x+（8x－2）=1
解得：x=即点D位于AB边上分点处.
点评 先假设符合条件的点D、E、F已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解.
例2 如图所示，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠A= 90°，AB=2，BC=3，AD=4，E为AD的中点，F为CD的中点，P为BC上的动点（不与B、C重合）设 BP=x，四边形PEFC的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
解 过F点作FG⊥DE于G点因为F是CD中点，所以FG=1，E是AD中点，所以DE=2，所以y=S梯形CDEP －S△DEF =－= 4-x?摇（0＜x＜3）
例3 某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，下图 已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：
（1） 求y与y的函数解析式；
（2） 解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？
（3） 果你是推销员，应如何选择付费方案？
解 （1） y=20x，y=10x+300．
（2） y是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y是保底工资300元，每推销 10件产品再提成100元．
（3） 若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y的付费方案；否则，选择y的付费方案．
点评 利用图象的特征求出函数解析式，借助图象的直观性，就可以解答（2）、（3）两问.
例4 某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3司所示的条形统计图：
（1） 请写出从条形统计图中获得的一条信息； （2） 请根据条形统计图中的数据补全如图 所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻人并说明这两幅统计图各有什么特点？
（3） 请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议.
解 （1） 参加调查的人数为5000人；
（2） 如右图 所示：
条形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数．扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数占所调查的总人数的百分比．
（3） 如：建议改进第二版的内容，提高文章质量，内容更贴近生活，形式更活泼些．
点评 统计分布图在中考中出现的越来越多，而统计图又分为：条形.扇形、折线，从统计图中获得的信息是我们必须掌握的．
小结：几何中存在着这样两类问题，一类是几何图形中的某些点的位置或线段的长度或角度的大小不能依题意画出来，只有根据已知条件求出某一些量时，图形才能画出.而求那些量的方法，常常是通过列方程（组），转化为代数问题求解.另一类是函数图象或图表已给出要求利用图象或图表解决一些代数问题.
三、 “数”和“形”结合
例1 图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1） 图②中的阴影部分的面积为 ；
（2） 观察图②请你写出三个代数式（m＋n）2、（m－n）2、mn之间的等量关系是 ；
（3） 实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了 ；
（4） 试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m＋n）（m＋3n）＝m2＋4mn＋3n2．
解：（1） 阴影部分的面积为（m－n）2
（2） 等量关系为（m＋n）2 =（m－n）2+4mn
（3） （m＋n）（2m＋n）=2m2+3mn+n2
（4） 如图所示
点评 本题通过观察图形的特征列出代数式以及通过代数恒等式画出相应的几何图形，从而把代数问题和几何问题有机的结合起来.?摇
我国著名的数学家华罗庚曾写下这样一首诗,形象生动的阐述了数形结合的意义.“数形本是相倚依,焉能分作两边飞.数缺形时少直觉,形缺数时难入微.数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数缺形时少直觉,形缺数时难入微.细细咀嚼这句话，真如醍醐灌顶的感觉， 掌握这个思想及解决方法对于我们解决最值问题、函数问题、统计问题、概率问题等等都会带来事半功倍的效果.
在中学数学的解题中，主要有三种类型来体现的：造“形”助“数”、以“数”解“形”、 “数”和 “形”结合.
一、 造“形”助“数”
1. 求最值
例1 已知m、n均为正数，且m+n=12, 求 +的最小值.
解 如图，作线段AB=3， 线段BC⊥AB，且BC=12，在线段BC上截取BE=m，CE=n，过C作DC⊥CB，且DC=2， 由勾股定理：AE=，ED= ，原题即求AE+ED的最小值.
当E点在线段AD上时，AE+ED有最小值为线段AD的长.
过D点作DG⊥AB交AB的延长线于G点，则四边形BCDG是矩形，BG=2在直角△AGD中AD===13
即+的最小值为13.
点评：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题.
2. 求代数式值
例2 计算+++...+的值
解 如图：在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为，，，…，的长方形彩色纸片（n为大于1的整数），则贴图 面积就等于原正方形面积减去未贴图的面积即+++...+=1－.
想一想还可以怎样构造图形来解决这个问题.
3. 解决实际问题
例3 甲、乙、丙三人共解出100道数学题．每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫难题，三人都解出的题叫容易题．试问：难题多还是容易题多？（多的比少的）多几道？
解 设三人都解出的容易题为x个，只有一人解出的难题分别为y1，y2，y3个则难题总数为y=y+y+y个构造如图可得
x+y+a+c=60x+y+a+b=6x+y+b+c=60x+y+（a+b+c）=100
④×2-①-②-③得y-x=20
所以难题比容易题多20道.
点评：本题涉及因素较多，直接建立方程困难较大，因此利用数形结合思想“造形助数”，从而使问题得以解决.
4. 求方程的根
例4 已知方程3（x－t）2=m的根是x=1，x=2 . 则方程3（x－t-1）2=m的根是多少？
解 构造如图所示平面直角坐标系，设 y=3（x－t）2，y=m，x=1，x=2 是两个函数交点的横坐标，把函数y=3（x－t）2图像向右平移一个单位之后与y=m的交点横坐标就是方程3（x－t-1）2=m的根，为x=2，x=3.
点评 本题利用造“形”助“数”起到事半功倍的效果，堪称神来之笔.
二以“数”解“形”
例1 如图，在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F.若DE ⊥BC，EF⊥AC，FD ⊥AB同时成立，求点D在AB上的位置.
解 设AB=1，AD=x
因为△ABC为正三角形，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，故AF=2x，CF=1－2x，CE=2CF=2－4x
BE=1－CE=4x－1，BD=2BE=8x－2
而AD+BD=1，即 x+（8x－2）=1
解得：x=即点D位于AB边上分点处.
点评 先假设符合条件的点D、E、F已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解.
例2 如图所示，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠A= 90°，AB=2，BC=3，AD=4，E为AD的中点，F为CD的中点，P为BC上的动点（不与B、C重合）设 BP=x，四边形PEFC的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
解 过F点作FG⊥DE于G点因为F是CD中点，所以FG=1，E是AD中点，所以DE=2，所以y=S梯形CDEP －S△DEF =－= 4-x?摇（0＜x＜3）
例3 某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，下图 已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：
（1） 求y与y的函数解析式；
（2） 解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？
（3） 果你是推销员，应如何选择付费方案？
解 （1） y=20x，y=10x+300．
（2） y是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y是保底工资300元，每推销 10件产品再提成100元．
（3） 若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y的付费方案；否则，选择y的付费方案．
点评 利用图象的特征求出函数解析式，借助图象的直观性，就可以解答（2）、（3）两问.
例4 某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3司所示的条形统计图：
（1） 请写出从条形统计图中获得的一条信息； （2） 请根据条形统计图中的数据补全如图 所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻人并说明这两幅统计图各有什么特点？
（3） 请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议.
解 （1） 参加调查的人数为5000人；
（2） 如右图 所示：
条形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数．扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数占所调查的总人数的百分比．
（3） 如：建议改进第二版的内容，提高文章质量，内容更贴近生活，形式更活泼些．
点评 统计分布图在中考中出现的越来越多，而统计图又分为：条形.扇形、折线，从统计图中获得的信息是我们必须掌握的．
小结：几何中存在着这样两类问题，一类是几何图形中的某些点的位置或线段的长度或角度的大小不能依题意画出来，只有根据已知条件求出某一些量时，图形才能画出.而求那些量的方法，常常是通过列方程（组），转化为代数问题求解.另一类是函数图象或图表已给出要求利用图象或图表解决一些代数问题.
三、 “数”和“形”结合
例1 图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1） 图②中的阴影部分的面积为 ；
（2） 观察图②请你写出三个代数式（m＋n）2、（m－n）2、mn之间的等量关系是 ；
（3） 实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了 ；
（4） 试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m＋n）（m＋3n）＝m2＋4mn＋3n2．
解：（1） 阴影部分的面积为（m－n）2
（2） 等量关系为（m＋n）2 =（m－n）2+4mn
（3） （m＋n）（2m＋n）=2m2+3mn+n2
（4） 如图所示
点评 本题通过观察图形的特征列出代数式以及通过代数恒等式画出相应的几何图形，从而把代数问题和几何问题有机的结合起来.?摇
我国著名的数学家华罗庚曾写下这样一首诗,形象生动的阐述了数形结合的意义.“数形本是相倚依,焉能分作两边飞.数缺形时少直觉,形缺数时难入微.数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数缺形时少直觉,形缺数时难入微.细细咀嚼这句话，真如醍醐灌顶的感觉， 掌握这个思想及解决方法对于我们解决最值问题、函数问题、统计问题、概率问题等等都会带来事半功倍的效果.