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[摘 要] 《工程力学》是机械专业的专业基础课,它在机械专业中的地位不容忽视,可学生的普遍反应是难学、枯燥。为此,我们在进行精品专业建设的过程中发现了这个问题并提出了自己的解决方案,在本文中以梁弯曲变形时内力(剪力和弯矩)的求解为例演示了我们的方案。方案的总体思路是通过数形结合的方式提高学生的感观认识,并引导学生编写程序,提高学生的学习热情。最终目标是编写出可视化图形界面,在该界面里完成本次内容的教学。
[关键词] 梁 剪力 弯矩MATLAB
引言
《工程力学》是机械专业的专业基础课,材料力学是工程力学的重要内容。材料力学主要研究机械中各种构件的四种基本变形,掌握好这四种变形时构件的内力、应力和强度条件对于学生学好后续的专业课特别是《机械设计》有很好的帮助。如何让学生比较容易的理解并接受构件在各种变形时的变形特点,提高学生学习这门比较枯燥课程的兴趣和积极性就成了《工程力学》教师必须解决的问题。在这方面我校教师是这么做的,首先,讲解解决问题的基本原理和方法;其次,演示这种方法在具体问题中的应用;再次,提供练习的机会,让学生掌握解决这类问题的步骤和关键;最后,由特殊得到一般,引导学生在MATLAB软件中编写解决这类问题的通用程序,使学生对所学内容的理解得到升华。
一、问题的提出
材料力学中构件的四种基本变形在机械中式非常常见的,正确的认识各种变形对机械的影响是特别重要的,包括强度、刚度和稳定性。要研究各种构件的这三个基本特性,必须要了解构件的内力,那么内力的研究就至关重要。求解内力的原理是比较简单的,但它却是求解问题的关键,梁弯曲变形时内力的求解具有代表性,在这里就以该问题的解决为例说明此中教学法的具体过程。
我们的学生是数控专业大一年级,他们在第一学期已经接触过数学软件MATLAB,并且有一定的编程基础。
二、分析问题
梁的弯曲变形本身比较复杂,这是因为现实中梁和载荷的形式很复杂,即使在工程力学中利用简化模型,梁和载荷都分别有三种形式:简支梁、外伸梁、悬臂梁和集中力、集中力偶、分布载荷。
每一种梁在不同的载荷作用下的变形不同,那所要求得内力也是不同的,如果一个梁只受一种载荷作用下,那也要分析九次。如果载荷的位置和大小有所改变,那也要重新分析计算,这在教学和机械设计中都是非常不科学。
我们可以设计一个小程序,无论作用在梁上载荷的位置和大小如何改变,都可以很快得到梁任意一个横截面上的内力——剪力和弯矩,即剪力图和弯矩图。
作用在梁上载荷的类型和位置都是不确定的,如果整体分析将会非常复杂,编出的程序运行效率也不高。如果把梁的各种载荷分开分析,得到只有一种载荷作用情况下梁的剪力图和弯矩图,然后把各种载荷作用时的剪力图和弯矩图相加,就可以得到梁任意情况下的剪力图和弯矩图。
三、解决问题
三种梁的剪力图和弯矩图的计算方法和步骤都是一样的,在这里以简支梁为例说明关于梁的剪力图和弯矩图的解法,具体步骤如下:
(一)求解简支梁在载荷作用下某一横截面的剪力和弯矩
1.简支梁在集中力作用下
梁的总长为l,集中力F的作用点距A端的距离为a
(1)根据梁的平衡方程得到支座的约束反力
得到:
(2)运用界面法,根据梁部分平衡方程得到梁的剪力方程和弯矩方程
研究该梁要分成集中力F左边和右边,左边的剪力方程为:
得到:
右边的剪力方程为:
得到:
2.简支梁在集中力偶作用的剪力和弯矩——学生练习
梁的总长为l,集中力F的作用点距A端的距离为a
(1)根据梁的平衡方程得到支座的约束反力
得到:
(2)运用界面法,根据梁部分平衡方程得到梁的剪力方程和弯矩方程
研究该梁要分成集中力偶M左边和右边,左边的剪力方程为:
得到:
右边的剪力方程为:
得到:
3.简支梁在均布载荷作用的剪力和弯矩——学生作业
梁的总长为l,均布载荷q的起始位置距A端的距离为a,
结束位置距A端的距离为b
(1)根据梁的平衡方程得到支座的约束反力
得到:
(2)运用界面法,根据梁部分平衡方程得到梁的剪力方程和弯矩方程
研究该梁要考虑截面在均布载荷左边、右边和在载荷上三种情况。
截面在均布载荷左边:
得到:
截面在均布载荷上:
得到:
截面在均布载荷的右边:
得到:
前面介绍了求解简支梁上仅有一种载荷作用时梁的剪力图和弯矩图的方法,实际中的梁仅有一种载荷的情况是非常少的,下面我们就引导学生掌握在复杂载荷下计算梁的剪力和弯矩的方法。
要明确的一点是整体是由部分构成的,研究梁的内力也要从这里入手。梁在多种载荷作用时,可以把它看做受几个相互独立的载荷作用,分别求出梁在这几种载荷作用下的剪力和弯矩,再把任意界面的这些剪力和弯矩相加,就得到梁在该界面的总剪力和弯矩,得到了任意界面的剪力和弯矩,那弯矩图也很好画出。
4.以简支梁为例演示受多个载荷作用时梁的剪力图和弯矩图
已知:简支梁总长为l=10,集中力F=40KN的作用点a=2,集中力偶M=3KNM的作用点b=5,均布载荷q=2KN/M的起始位置c=3,终点位置d=8。该梁的剪力图和弯矩图。
由剪力方程和弯矩方程可以得到:
仅有集中力F作用时梁的剪力图和弯矩图为:
图(1a) 图(1b)
图(1a)为简支梁在集中力F作用时的剪力图,图(1b)为简支梁在集中力F作用时的弯矩图。
仅有集中力偶M作用时梁的剪力图和弯矩图为:
图(2a) 图(2b)
图(2a)为简支梁在集中力偶M作用时的剪力图,图(2b)为简支梁在集中力偶M作用时的弯矩图。
仅有均布载荷q作用时梁的剪力图和弯矩图为:
图(3a) 图(3b)
图(3a)为简支梁在均布载荷q作用时的剪力图,图(3b)为简支梁在均布载荷q作用时的弯矩图。
根据前面讲述的求解梁的剪力方程和弯矩方程的方法可以很容易得到该简支梁的剪力图和弯矩图:
图(4a) 图(4b)
图(4a)为梁在这三种载荷作用下的剪力图,图(4b)为梁在这三种载荷作用下的弯矩图。
分析上图可以得到,图(4a)是图(1a)、图(2a)和图(3a)相加的结果,图(4b)是图(1b)、图(2b)和图(3b)相加的结果。
(二)外伸梁和悬臂梁的剪力图和弯矩图
外伸梁总长为l=10,B支座的位置k=8,集中力F=40KN的作用点a=2,集中力偶M=3KNM的作用点b=5,均布载荷q=2KN/M的起始位置c=3,终点位置d=8。该梁的剪力图和弯矩图。
图(5a) 图(5 b)
图(5a)为外伸梁在这三种载荷作用下的剪力图,图(5b)为外伸梁在这三种载荷作用下的弯矩图。
悬臂梁总长为l=10,集中力F=40KN的作用点a=2,集中力偶M=3KNM的作用点b=5,均布载荷q=2KN/M的起始位置c=3,终点位置d=8。该梁的剪力图和弯矩图。
图(6a) 图(6b)
图(6a)为悬臂梁在这三种载荷作用下的剪力图,图(6b)为悬臂梁在这三种载荷作用下的弯矩图。
四、结论
这种方法可以比较方便的在课堂上向学生演示各种梁在手不同载荷是的剪力图和弯矩图,既节省时间又能提高课堂的效率。而且可以给工程实际、机械设计提供一种教简单的计算方法。
通过可视化的图形演示,可以清晰的看出梁的哪个部位内力最大,对后续梁的应力分析提供很好的帮助。通过剪力图和弯矩图的同时展示,可以引导学生观察总结梁的弯矩、剪力和载荷极度之间的关系。
参考文献:
[1]工程力学简明教程,机械工业出版社。
[2]MATLAB基础教程,电子工业出版社。
[3]材料力学,高等教育出版社。
[关键词] 梁 剪力 弯矩MATLAB
引言
《工程力学》是机械专业的专业基础课,材料力学是工程力学的重要内容。材料力学主要研究机械中各种构件的四种基本变形,掌握好这四种变形时构件的内力、应力和强度条件对于学生学好后续的专业课特别是《机械设计》有很好的帮助。如何让学生比较容易的理解并接受构件在各种变形时的变形特点,提高学生学习这门比较枯燥课程的兴趣和积极性就成了《工程力学》教师必须解决的问题。在这方面我校教师是这么做的,首先,讲解解决问题的基本原理和方法;其次,演示这种方法在具体问题中的应用;再次,提供练习的机会,让学生掌握解决这类问题的步骤和关键;最后,由特殊得到一般,引导学生在MATLAB软件中编写解决这类问题的通用程序,使学生对所学内容的理解得到升华。
一、问题的提出
材料力学中构件的四种基本变形在机械中式非常常见的,正确的认识各种变形对机械的影响是特别重要的,包括强度、刚度和稳定性。要研究各种构件的这三个基本特性,必须要了解构件的内力,那么内力的研究就至关重要。求解内力的原理是比较简单的,但它却是求解问题的关键,梁弯曲变形时内力的求解具有代表性,在这里就以该问题的解决为例说明此中教学法的具体过程。
我们的学生是数控专业大一年级,他们在第一学期已经接触过数学软件MATLAB,并且有一定的编程基础。
二、分析问题
梁的弯曲变形本身比较复杂,这是因为现实中梁和载荷的形式很复杂,即使在工程力学中利用简化模型,梁和载荷都分别有三种形式:简支梁、外伸梁、悬臂梁和集中力、集中力偶、分布载荷。
每一种梁在不同的载荷作用下的变形不同,那所要求得内力也是不同的,如果一个梁只受一种载荷作用下,那也要分析九次。如果载荷的位置和大小有所改变,那也要重新分析计算,这在教学和机械设计中都是非常不科学。
我们可以设计一个小程序,无论作用在梁上载荷的位置和大小如何改变,都可以很快得到梁任意一个横截面上的内力——剪力和弯矩,即剪力图和弯矩图。
作用在梁上载荷的类型和位置都是不确定的,如果整体分析将会非常复杂,编出的程序运行效率也不高。如果把梁的各种载荷分开分析,得到只有一种载荷作用情况下梁的剪力图和弯矩图,然后把各种载荷作用时的剪力图和弯矩图相加,就可以得到梁任意情况下的剪力图和弯矩图。
三、解决问题
三种梁的剪力图和弯矩图的计算方法和步骤都是一样的,在这里以简支梁为例说明关于梁的剪力图和弯矩图的解法,具体步骤如下:
(一)求解简支梁在载荷作用下某一横截面的剪力和弯矩
1.简支梁在集中力作用下
梁的总长为l,集中力F的作用点距A端的距离为a
(1)根据梁的平衡方程得到支座的约束反力
得到:
(2)运用界面法,根据梁部分平衡方程得到梁的剪力方程和弯矩方程
研究该梁要分成集中力F左边和右边,左边的剪力方程为:
得到:
右边的剪力方程为:
得到:
2.简支梁在集中力偶作用的剪力和弯矩——学生练习
梁的总长为l,集中力F的作用点距A端的距离为a
(1)根据梁的平衡方程得到支座的约束反力
得到:
(2)运用界面法,根据梁部分平衡方程得到梁的剪力方程和弯矩方程
研究该梁要分成集中力偶M左边和右边,左边的剪力方程为:
得到:
右边的剪力方程为:
得到:
3.简支梁在均布载荷作用的剪力和弯矩——学生作业
梁的总长为l,均布载荷q的起始位置距A端的距离为a,
结束位置距A端的距离为b
(1)根据梁的平衡方程得到支座的约束反力
得到:
(2)运用界面法,根据梁部分平衡方程得到梁的剪力方程和弯矩方程
研究该梁要考虑截面在均布载荷左边、右边和在载荷上三种情况。
截面在均布载荷左边:
得到:
截面在均布载荷上:
得到:
截面在均布载荷的右边:
得到:
前面介绍了求解简支梁上仅有一种载荷作用时梁的剪力图和弯矩图的方法,实际中的梁仅有一种载荷的情况是非常少的,下面我们就引导学生掌握在复杂载荷下计算梁的剪力和弯矩的方法。
要明确的一点是整体是由部分构成的,研究梁的内力也要从这里入手。梁在多种载荷作用时,可以把它看做受几个相互独立的载荷作用,分别求出梁在这几种载荷作用下的剪力和弯矩,再把任意界面的这些剪力和弯矩相加,就得到梁在该界面的总剪力和弯矩,得到了任意界面的剪力和弯矩,那弯矩图也很好画出。
4.以简支梁为例演示受多个载荷作用时梁的剪力图和弯矩图
已知:简支梁总长为l=10,集中力F=40KN的作用点a=2,集中力偶M=3KNM的作用点b=5,均布载荷q=2KN/M的起始位置c=3,终点位置d=8。该梁的剪力图和弯矩图。
由剪力方程和弯矩方程可以得到:
仅有集中力F作用时梁的剪力图和弯矩图为:
图(1a) 图(1b)
图(1a)为简支梁在集中力F作用时的剪力图,图(1b)为简支梁在集中力F作用时的弯矩图。
仅有集中力偶M作用时梁的剪力图和弯矩图为:
图(2a) 图(2b)
图(2a)为简支梁在集中力偶M作用时的剪力图,图(2b)为简支梁在集中力偶M作用时的弯矩图。
仅有均布载荷q作用时梁的剪力图和弯矩图为:
图(3a) 图(3b)
图(3a)为简支梁在均布载荷q作用时的剪力图,图(3b)为简支梁在均布载荷q作用时的弯矩图。
根据前面讲述的求解梁的剪力方程和弯矩方程的方法可以很容易得到该简支梁的剪力图和弯矩图:
图(4a) 图(4b)
图(4a)为梁在这三种载荷作用下的剪力图,图(4b)为梁在这三种载荷作用下的弯矩图。
分析上图可以得到,图(4a)是图(1a)、图(2a)和图(3a)相加的结果,图(4b)是图(1b)、图(2b)和图(3b)相加的结果。
(二)外伸梁和悬臂梁的剪力图和弯矩图
外伸梁总长为l=10,B支座的位置k=8,集中力F=40KN的作用点a=2,集中力偶M=3KNM的作用点b=5,均布载荷q=2KN/M的起始位置c=3,终点位置d=8。该梁的剪力图和弯矩图。
图(5a) 图(5 b)
图(5a)为外伸梁在这三种载荷作用下的剪力图,图(5b)为外伸梁在这三种载荷作用下的弯矩图。
悬臂梁总长为l=10,集中力F=40KN的作用点a=2,集中力偶M=3KNM的作用点b=5,均布载荷q=2KN/M的起始位置c=3,终点位置d=8。该梁的剪力图和弯矩图。
图(6a) 图(6b)
图(6a)为悬臂梁在这三种载荷作用下的剪力图,图(6b)为悬臂梁在这三种载荷作用下的弯矩图。
四、结论
这种方法可以比较方便的在课堂上向学生演示各种梁在手不同载荷是的剪力图和弯矩图,既节省时间又能提高课堂的效率。而且可以给工程实际、机械设计提供一种教简单的计算方法。
通过可视化的图形演示,可以清晰的看出梁的哪个部位内力最大,对后续梁的应力分析提供很好的帮助。通过剪力图和弯矩图的同时展示,可以引导学生观察总结梁的弯矩、剪力和载荷极度之间的关系。
参考文献:
[1]工程力学简明教程,机械工业出版社。
[2]MATLAB基础教程,电子工业出版社。
[3]材料力学,高等教育出版社。