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北师大版小学数学教材四年级上册“乘法结合律和交换律”一课主题图是一个由许多小正方体搭成的长方体，以前多次教学没有重视，都忽略掉了。但参与了一位同事的磨课过程后（教学内容是“乘法结合律和交换律”），这让我对这一课的主题图引起了重视：为什么要在这里安排使用一个大的长方体？教材编写者的目的是什么？
在参与这次磨课过程中，我也认真思考钻研了教材，细细研究这一长方体，发现它其实就是乘法结合律和交换律的立体模型，每个面的小正方体个数体现了乘法交换律，而整个长方体的小正方体个数体现了乘法结合律和乘法交换律。后来教学中就有意识地充分发挥长方体的作用，探究乘法结合律和乘法交换律，体现数与形的完美结合。下面，谈谈我的体会。
第一次教学设计：
环节一：尝试，分析与汇报
出示42×125×、25×38×4、25×125×8×4三道算式，然后请学生独立尝试计算，分析方法，并汇报方法。板书如下：
42×125×8=42×（125×8）
25×38×4=25×4×38
25×125×8×4=（25×4）×（125×8）
师：你认为这样改变可以吗？为什么可以？
环节二：揭题，探索与发现
分析42×125×8=42×（125×8），你有什么发现？（乘数位置不变，运算顺序变了，积不变）
师：是否所有的乘法算式都有这样的规律呢？（学生举例略）
师：能否用自己的方式表达这种规律呢？（总结概括乘法结合律的字母公式）
环节三：探究乘法交换律（过程同第二环节）
环节四：指导学生阅读教材，熟悉、知道这两个规律叫做乘法结合律和乘法交换律，然后师生共同小结规律特点。
乘法结合律：在乘法中，改变运算顺序，积不变。
乘法交换律：在乘法中，交换因数位置，积不变。
环节五：课堂练习（利用发现的规律进行计算）
按照“尝试——发现——举例——结论——运用”的步骤教学，一切都顺理成章、水到渠成，但是细细思考，这样的教学是建立在学生认识乘法定律的基础之上，这样的探究与发现是在学生已经认识到乘法定律客观存在的前提下进行的。那么，课堂教学中的探究与发现就变成了举例和运用，所谓的举例其实就是迎合、验证，结论早已定形，运用也是机械应用。如果了解学生的认知起点，就会发现学生对运算定律的认识是模糊的、不全面的。既然是模糊的，那么怎样才能通过课堂教学让学生找到对乘法定律的清晰的认识，建立简洁的模型？显然，不能从第一次教学设计中找到答案。仔细分析教材，教材在安排本课的内容时，有一个指导思想，就是把乘法结合律的引出作为学生探索活动的题材，所以其活动的名称叫“探索与发现”。本活动开展的重点是指导学生探索乘法的结合律，教材呈现探索过程：发现问题——提出假设——举例验证——建立模型。
第二次教学设计：
环节一：发现问题
1．观察长方体
师：这里有几个小正方体？
生：60个。
师：你是数出来的，还是算出来的？（生列算式，师引导学生从不同角度计算正方体的个数）
2．研究算法的异同
相同点：都是通过3、4、5这三个数连乘得来。
不同点：先算的部分不同。
根据先算部分的不同得到三个算式：3×4×5、3×（4×5）、（3×5）×4。
3．研究算式特征，体会变化
不变：数字，运算符号，结果。
变化：运算形式，因数位置。
环节二：提出假设（构建研究素材，提出猜想）
表示改变运算顺序的两个算式：3×4×5、3×（4×5）。
表示改变因数位置的两个算式：3×4×5、（3×5）×4。
师：这样的发现是不是有科学性呢？那么，这个规律对其他的算式也正确吗？
环节三：举例验证（学生举例，反馈）
环节四：建立模型
师：这样的算式从数量上能不能举完？你能否用其他方式表示出来？［揭示乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）］
师：你知道乘法结合律告诉我们什么？
环节五：回顾方法
师：请大家想一想，我们是怎样发现乘法结合律的呢？
环节六：乘法交换律的探究
环节七：应用深化，完善认识
思考：
教师根据教材的编写意图，通过组织学生活动，使他们不知不觉地进行数学规律的探索。纵观整个教学流程，有以下几个特点：
1.通过数正方体，引出乘法算式
虽然学生对三个数相乘的乘法运算是熟悉的，也会计算，但教师在设计时仍让学生自己数正方体，这样做可能要花费一些时间。然而，正是由于经历了自己数正方体的活动，使学生在后面讨论、发现问题时有了一个直观的题材，而这个题材既可以使学生借助形象模型进行直观思考，又可以帮助学习有困难的学生理解算式的意义。
2.经历猜想和验证，概括出乘法的结合律
学生发现不同的算式其结果是相同的——这是在计算小正方体的个数时的一个十分特殊的情况，因为不同的数法实际上都是在数同一个长方体，个数当然不变。当学生有了这一发现后，教师问学生“这样的发现是不是有科学性呢？那么，这个规律对其他的算式也正确吗”，从而引导学生进一步扩大验证的范围。经历猜想和验证对学生来说特别重要。学生通过数直观的正方体提出猜想，在学生获得感性认识的基础上，教师又启发学生用抽象的算式来举例验证，从而为发现、概括乘法结合律奠定了基础。
3.及时梳理思路，掌握探索规律的基本步骤
探索数学的规律是有一个过程的，对这个过程的认识并不是教师传授的，而是需要学生自己体验、感受的。对学生已有的体验与感受及时地进行梳理，是提高探索能力的重要一环。在本案例的最后，当学生已经概括出乘法的结合律后，教师并没有立即组织学生进行相关内容的练习，而是询问学生：“请大家想一想，我们是怎样发现乘法结合律的呢？”通过学生对方方面面的反思，引出教师最后的概括。虽然，学生要真正理解教师所做的概括还需要大量的体验，但相信经历多次这样的过程，学生就能体会到探索的基本步骤。但是也凸显其中的弱点：没有充分发挥长方体的作用。主要表现在研究素材的三个算式上，3×4×5 、3×（4×5）、（3×5）×4出现的较牵强，出现之后没有联系长方体。如果教师仅仅是为了构建研究素材而把长方体作为素材来源的话，那么就不能很好地发挥长方体的作用。细细罗列，计算有几个小正方体一共有12个算式，分三大类。第一类从上面看：3×5×4、5×3×4、4×（3×5）、4×（5×3）；第二类从右侧面看：3×4×5、4×3×5、5×（3×4）、5×（4×3）；第三类从正面看： 4×5×3、5×4×3、3×（4×5）、3×（5×4）。这12个算式之间的变化关系有乘法交换律：3×5=5×3、3×4=4×3、4×5=5×4；还有乘法结合律：3×5×4=3×（5×4）、5×3×4=5×（3×4）、3×4×5=3×（4×5）、4×3×5=4×（3×5）、4×5×3=4×（5×3）、5×4×3=5×（4×3）。3×5和5×3都表示上面这一面的小正方体的个数，每个面的小正方体个数体现了乘法交换律，而整个长方体的小正方体个数体现了乘法结合律。我认为没有哪一种方式能够像长方体一样把乘法结合律和乘法交换律体现得这么淋漓尽致，充分体现了数形结合。
如何充分发挥长方体的作用？我一直在思索，恰恰自己教学四年级上册，可以亲自带着问题，按照自己的想法进行试教，我觉得非常不错。主要体现在第一环节和第二环节的改进上。
环节一：两次充分观察长方体
第一次观察，学生独立观察长方体，列出算式，汇报算法。
第二次观察，在学生汇报算法的时候，教师适当引导每个学生从不同角度进行观察：你也是这样观察的吗？如果不是，那请你也从这一角度进行观察，你能想出其他算式吗？得到从一个角度观察的一组算式，进而得到12个不同的算式，分类有序板书。
环节二：从算式的数字本身和意义两个角度自己发现乘法结合律与交换律,提出猜想
师:观察这些算式,你有什么发现？(学生自由发表言论)
师:观察算式，3×4×5和3×（4×5）有什么关系?(学生答略)
师: 是的，3×4×5和3×（4×5）从数字上看没有变化，只是运算顺序变了，积都是60；从意义上看，都表示这一长方体中的小正方体个数，所以3×4×5=3×（4×5）。
师：观察算式， 3×5×4中的3×5表示什么？你还能找到表示这一面小正方体个数的算式吗？
师：3×5和5×3有什么关系？
师：是的，3×5和5×3从数字上看是两个因数交换位置，积都是15；从意义上看，都表示上面这一个面的小正方体的个数，所以3×5=5×3。
师：你还能从这些算式中找到具有上面这两种关系的式子吗？请写下来。
师：这样的发现是不是有科学性呢？那么，这个规律对其他的算式也正确吗？
……
乘法结合律和交换律的发现充分体现数形结合。如果我们进一步思考，每个面的小正方体个数的不变体现的是两个数的交换，积不变，而整个长方体中小正方体个数的不变除了从不同角度观察，体现乘法结合律外，如3×4×5=3×（4×5），其实这还体现了乘法交换律，从同一角度观察，那就是数与算式的交换，如3×4×5=5×（3×4），即（3×4）与5的交换。
充分利用长方体，始终围绕着长方体展开教学，长方体的作用不仅仅只是为了得到一系列供研究的算式，最终又脱离长方体，局限于算式，因为长方体本身就是乘法结合律和交换律最好的数学模型。设想通过教学，如果学生的算式举例在脑袋中也能与长方体模型相结合，那么教学就非常到位，学生对乘法结合律和乘法交换律的认识就不会局限于算式，而是立体地、全面地、深层次地认识乘法结合律和乘法交换律，达到知其然而知其所以然了。
由衷地感叹：多研究教材，正确解读教材对教学真的很有用。
（责编黄桂坚）
在参与这次磨课过程中，我也认真思考钻研了教材，细细研究这一长方体，发现它其实就是乘法结合律和交换律的立体模型，每个面的小正方体个数体现了乘法交换律，而整个长方体的小正方体个数体现了乘法结合律和乘法交换律。后来教学中就有意识地充分发挥长方体的作用，探究乘法结合律和乘法交换律，体现数与形的完美结合。下面，谈谈我的体会。
第一次教学设计：
环节一：尝试，分析与汇报
出示42×125×、25×38×4、25×125×8×4三道算式，然后请学生独立尝试计算，分析方法，并汇报方法。板书如下：
42×125×8=42×（125×8）
25×38×4=25×4×38
25×125×8×4=（25×4）×（125×8）
师：你认为这样改变可以吗？为什么可以？
环节二：揭题，探索与发现
分析42×125×8=42×（125×8），你有什么发现？（乘数位置不变，运算顺序变了，积不变）
师：是否所有的乘法算式都有这样的规律呢？（学生举例略）
师：能否用自己的方式表达这种规律呢？（总结概括乘法结合律的字母公式）
环节三：探究乘法交换律（过程同第二环节）
环节四：指导学生阅读教材，熟悉、知道这两个规律叫做乘法结合律和乘法交换律，然后师生共同小结规律特点。
乘法结合律：在乘法中，改变运算顺序，积不变。
乘法交换律：在乘法中，交换因数位置，积不变。
环节五：课堂练习（利用发现的规律进行计算）
按照“尝试——发现——举例——结论——运用”的步骤教学，一切都顺理成章、水到渠成，但是细细思考，这样的教学是建立在学生认识乘法定律的基础之上，这样的探究与发现是在学生已经认识到乘法定律客观存在的前提下进行的。那么，课堂教学中的探究与发现就变成了举例和运用，所谓的举例其实就是迎合、验证，结论早已定形，运用也是机械应用。如果了解学生的认知起点，就会发现学生对运算定律的认识是模糊的、不全面的。既然是模糊的，那么怎样才能通过课堂教学让学生找到对乘法定律的清晰的认识，建立简洁的模型？显然，不能从第一次教学设计中找到答案。仔细分析教材，教材在安排本课的内容时，有一个指导思想，就是把乘法结合律的引出作为学生探索活动的题材，所以其活动的名称叫“探索与发现”。本活动开展的重点是指导学生探索乘法的结合律，教材呈现探索过程：发现问题——提出假设——举例验证——建立模型。
第二次教学设计：
环节一：发现问题
1．观察长方体
师：这里有几个小正方体？
生：60个。
师：你是数出来的，还是算出来的？（生列算式，师引导学生从不同角度计算正方体的个数）
2．研究算法的异同
相同点：都是通过3、4、5这三个数连乘得来。
不同点：先算的部分不同。
根据先算部分的不同得到三个算式：3×4×5、3×（4×5）、（3×5）×4。
3．研究算式特征，体会变化
不变：数字，运算符号，结果。
变化：运算形式，因数位置。
环节二：提出假设（构建研究素材，提出猜想）
表示改变运算顺序的两个算式：3×4×5、3×（4×5）。
表示改变因数位置的两个算式：3×4×5、（3×5）×4。
师：这样的发现是不是有科学性呢？那么，这个规律对其他的算式也正确吗？
环节三：举例验证（学生举例，反馈）
环节四：建立模型
师：这样的算式从数量上能不能举完？你能否用其他方式表示出来？［揭示乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）］
师：你知道乘法结合律告诉我们什么？
环节五：回顾方法
师：请大家想一想，我们是怎样发现乘法结合律的呢？
环节六：乘法交换律的探究
环节七：应用深化，完善认识
思考：
教师根据教材的编写意图，通过组织学生活动，使他们不知不觉地进行数学规律的探索。纵观整个教学流程，有以下几个特点：
1.通过数正方体，引出乘法算式
虽然学生对三个数相乘的乘法运算是熟悉的，也会计算，但教师在设计时仍让学生自己数正方体，这样做可能要花费一些时间。然而，正是由于经历了自己数正方体的活动，使学生在后面讨论、发现问题时有了一个直观的题材，而这个题材既可以使学生借助形象模型进行直观思考，又可以帮助学习有困难的学生理解算式的意义。
2.经历猜想和验证，概括出乘法的结合律
学生发现不同的算式其结果是相同的——这是在计算小正方体的个数时的一个十分特殊的情况，因为不同的数法实际上都是在数同一个长方体，个数当然不变。当学生有了这一发现后，教师问学生“这样的发现是不是有科学性呢？那么，这个规律对其他的算式也正确吗”，从而引导学生进一步扩大验证的范围。经历猜想和验证对学生来说特别重要。学生通过数直观的正方体提出猜想，在学生获得感性认识的基础上，教师又启发学生用抽象的算式来举例验证，从而为发现、概括乘法结合律奠定了基础。
3.及时梳理思路，掌握探索规律的基本步骤
探索数学的规律是有一个过程的，对这个过程的认识并不是教师传授的，而是需要学生自己体验、感受的。对学生已有的体验与感受及时地进行梳理，是提高探索能力的重要一环。在本案例的最后，当学生已经概括出乘法的结合律后，教师并没有立即组织学生进行相关内容的练习，而是询问学生：“请大家想一想，我们是怎样发现乘法结合律的呢？”通过学生对方方面面的反思，引出教师最后的概括。虽然，学生要真正理解教师所做的概括还需要大量的体验，但相信经历多次这样的过程，学生就能体会到探索的基本步骤。但是也凸显其中的弱点：没有充分发挥长方体的作用。主要表现在研究素材的三个算式上，3×4×5 、3×（4×5）、（3×5）×4出现的较牵强，出现之后没有联系长方体。如果教师仅仅是为了构建研究素材而把长方体作为素材来源的话，那么就不能很好地发挥长方体的作用。细细罗列，计算有几个小正方体一共有12个算式，分三大类。第一类从上面看：3×5×4、5×3×4、4×（3×5）、4×（5×3）；第二类从右侧面看：3×4×5、4×3×5、5×（3×4）、5×（4×3）；第三类从正面看： 4×5×3、5×4×3、3×（4×5）、3×（5×4）。这12个算式之间的变化关系有乘法交换律：3×5=5×3、3×4=4×3、4×5=5×4；还有乘法结合律：3×5×4=3×（5×4）、5×3×4=5×（3×4）、3×4×5=3×（4×5）、4×3×5=4×（3×5）、4×5×3=4×（5×3）、5×4×3=5×（4×3）。3×5和5×3都表示上面这一面的小正方体的个数，每个面的小正方体个数体现了乘法交换律，而整个长方体的小正方体个数体现了乘法结合律。我认为没有哪一种方式能够像长方体一样把乘法结合律和乘法交换律体现得这么淋漓尽致，充分体现了数形结合。
如何充分发挥长方体的作用？我一直在思索，恰恰自己教学四年级上册，可以亲自带着问题，按照自己的想法进行试教，我觉得非常不错。主要体现在第一环节和第二环节的改进上。
环节一：两次充分观察长方体
第一次观察，学生独立观察长方体，列出算式，汇报算法。
第二次观察，在学生汇报算法的时候，教师适当引导每个学生从不同角度进行观察：你也是这样观察的吗？如果不是，那请你也从这一角度进行观察，你能想出其他算式吗？得到从一个角度观察的一组算式，进而得到12个不同的算式，分类有序板书。
环节二：从算式的数字本身和意义两个角度自己发现乘法结合律与交换律,提出猜想
师:观察这些算式,你有什么发现？(学生自由发表言论)
师:观察算式，3×4×5和3×（4×5）有什么关系?(学生答略)
师: 是的，3×4×5和3×（4×5）从数字上看没有变化，只是运算顺序变了，积都是60；从意义上看，都表示这一长方体中的小正方体个数，所以3×4×5=3×（4×5）。
师：观察算式， 3×5×4中的3×5表示什么？你还能找到表示这一面小正方体个数的算式吗？
师：3×5和5×3有什么关系？
师：是的，3×5和5×3从数字上看是两个因数交换位置，积都是15；从意义上看，都表示上面这一个面的小正方体的个数，所以3×5=5×3。
师：你还能从这些算式中找到具有上面这两种关系的式子吗？请写下来。
师：这样的发现是不是有科学性呢？那么，这个规律对其他的算式也正确吗？
……
乘法结合律和交换律的发现充分体现数形结合。如果我们进一步思考，每个面的小正方体个数的不变体现的是两个数的交换，积不变，而整个长方体中小正方体个数的不变除了从不同角度观察，体现乘法结合律外，如3×4×5=3×（4×5），其实这还体现了乘法交换律，从同一角度观察，那就是数与算式的交换，如3×4×5=5×（3×4），即（3×4）与5的交换。
充分利用长方体，始终围绕着长方体展开教学，长方体的作用不仅仅只是为了得到一系列供研究的算式，最终又脱离长方体，局限于算式，因为长方体本身就是乘法结合律和交换律最好的数学模型。设想通过教学，如果学生的算式举例在脑袋中也能与长方体模型相结合，那么教学就非常到位，学生对乘法结合律和乘法交换律的认识就不会局限于算式，而是立体地、全面地、深层次地认识乘法结合律和乘法交换律，达到知其然而知其所以然了。
由衷地感叹：多研究教材，正确解读教材对教学真的很有用。
（责编黄桂坚）