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摘 要:本文基于索赔次数的汽车保险奖惩系统设计原理,以负二项模型为基础,根据当今车险发展的新形势、新特征,特别是我们考虑到酒后驾车已成为当今社会的焦点问题,于是将酒后驾车这一因素纳入车险奖惩系统中,设计了一个以单个投保人为基础,同时考虑酒后驾车因素、索赔次数的最优奖惩系统。
关键词:最优奖惩系统; 索赔次数; 酒后驾车; 负二项模型
一、引言
奖惩系统(Bonus-Malus System),通常简称BMS,多用于非寿险,尤其是机动车保险。文献[1]对BMS的描述是:对于发生了一次或多次索赔的投保人增收保费或给予惩罚(Malus),而对没有任何索赔发生的投保人给予保费的折扣或奖励(Bonus)。BMS的本质是在掌握了每个投保人的索赔次数记录后,用后验变量去调整保费,对于保险公司来说,BMS对投保人的逆选择问题可以起到预测或抑制作用,通过客观地评估每个人的风险,并在此基础上使每个保单持有人缴纳的保费与其风险大小成比例,从而激励投保人提高安全意识,规避风险。
一般设计奖惩系统的总体思路,大致是先选定索赔次数分布,再选择合适的结构函数,这时就可以计算出有关索赔次数的参数以及索赔次数的后验分布,利用恰当的损失函数从而得到有关索赔次数参数的最优估计,再选取适当的保费计算原理,这样就得到了奖惩系统下的风险保费。这是仅基于索赔次数模型的奖惩系统的。然而,随着酒后驾车成为当今社会的焦点问题,酒后驾车因素已经成为汽车保险费率厘定中一个不可忽视的因素。本文通过借鉴前人对于奖惩系统设计方法,结合当今车险发展的新形势,新特征,设计了一个以单个投保人为基础,同时考虑酒后驾车因素、索赔次数的最优奖惩系统。
二、基于索赔次数的奖惩系统模型
(一)负二项模型
我们选择索赔次数作为唯一的奖惩因素,也就是汽车保险奖惩系统的转移规则只与投保人在上一保单年度的索赔次数有关,我们的目的是在一定的目标和约束下,利用贝叶斯方法,构造单因素最优奖惩系统(使用贝叶斯分析计算的BMS被称为最优奖惩系统。
由于保单组合的非同质性,我们引入混合泊松分布(泊松分布参数为随机变量的情形)。当泊松分布的参数服从伽玛分布时,所得的混合泊松分布即为负二项分布。下面我们就选择负二项模型作为奖惩系统概率模型。
设每份保单在一年内发生索赔的次数服从均值为λ的泊松分布,设随机变量表示一年内的索赔次数,则p(N=k)=pk(λ)=\S〗e\+-λλ\+kk!\s,k=0,1,2,L L,其中参数λ又为个人索赔频率的均值,它的大小直接反映了风险的大小。由于参数λ随个人不同而不同,这是一个随机变量。通常可认为λ是服从伽玛分布的。不妨设λ服从参数为(α,β)的伽玛分布,即λ的结构函数为:u(λ)=
\S〗β\+αλ\+α-1e\+-βλ┎ (α)\s, 其中α>0,β>0。则我们可以得出这组同类保单中任意一份保单索赔次数的绝对分布服从参数为是(α,\S〗β1+β\s)负二项分布,即
证明如下:
即命题得证。
该分布的的均值和方差分别为:
我们用K=∑ti=1ki来表示一个被保险人在t年中发生索赔的总次数,其中ki表示他在第i年发生的索赔数,i=1,
2,LLt ,我们利用贝叶斯定理得到索赔记录为k1,L L kt的被保险人的λ后验结构函数,表示为u(λ/k1,L L kt)。用公式表达为:
它是参数为(α+K,t+β)的伽玛分布的概率密度函数。利用二次误差损失函数,索赔记录为k1,……kt的被保险人λt+1的最优估计是后验结构函数的均值。即为 λt+1(k1,L L kt)=\S〗α+Kβ+t\s。
(二)期望值原理构造下的最优奖惩系统
从以上的分析中,我们可以很明显的看出,当在t年中发生了k次事故时,只需要对伽玛的参数进行一下调整,α调整为α+K,β调整为β+t。这是因为伽玛分布一个重要的性质就是结构函数的稳定性。因此,我们可以得出对于保险公司来说的保费计算方法。
一种最简单的保费计算方法,就是要求投保人支付净保费及与净保费成比例的安全附加保费。这就是期望值原理下的保费计算方法。那么我们就可以求得一个索赔记录k1,L L kt的投保人下一年度的续期保费。即
由以上公式定义的奖惩系统有如下重要性质:
1.这一系统是公平的。在每次续保时,每个投保人都支付了与他们频率估计值成比例的保费。这一估计值通过贝叶斯方法利用了所有过去的信息。
2.该系统的财务可以平衡。在这一连续过程的每个阶段,个人索赔频率的均值都等于总的均值\S〗αβ\s。每一年,从所有投保人收取全部保费的平均值都保持在初始水平\S〗αβ\s这一常数上。对于一组固定的保单,保险公司征收的保费总额是稳定的,不会忽而发生赤字,忽而又有盈余。
3.我们得到了关于λ在各个时期的最优估计序列:λ1,λ2,Λ,λt,当时t→∞,这一估计序列趋于随机个体保单的真实索赔频率
即
,因此对个体保单观察的时间越长,对其索赔频率的估计就越准确。
三、用负二项模型来设计汽车保险最优奖惩系统
本节将应用负二项模型来对某保险公司年度机动车辆保险索赔次数的数据,进行理论索赔次数拟和,建立最优奖惩系统。
表4-1是我国一家保险公司的2002年度非营运客车第三者责任险的索赔次数的观察分布,其中nk表示索赔次数为k次的保单份数。
表4-1
knk
0 8781
1900
278
34
41
≥50
合计9764
资料来源:周延礼.机动车辆保险理论与实务[M].中国金融出版社,2001.
表4-1包括n=9764个观察值,索赔次数的均值和方差分别为:
=0.10979,s\+2=0.11740
计算出参数的矩阵估计:
下面我们用负二项分布矩估计法对表4-1的观察值进行拟合。 见下表4-2
表4-2
knknpk
087818780.6
1900901.5
27875.5
345.7
410.4
≥500
合计97649764
表4-2表明用负二项分布所作的拟合是理想的,理论频数与观察频数是很接近的。我们用皮尔逊x\+2检验法进行检验,表明一组同类保单中任意一份保单的索赔次数确实是服从负二项分布的。
下面运用期望值原理对保费进行计算。所谓期望值原理,就是要求投保人支付纯保费及与纯保费成比例的安全附加保费。基于公式(4.3)我们可计算出索赔记录为(k1,…,kt)的投保人,必须在第t+1年支付的保费为:
其中c为安全附加系数,P为初始纯保费。
表4-2中的9764份保单在2001年度平均每份保单的赔付额为P=500元,而在非寿险中安全附加系数一般为:c=20%,把公式(4.4)中的,带入(4.5)中,得到该保险公司对有索赔记录的投保人在第年征收的保费,即后验保费等于:
表4-3 用负二项模型建立的最优BMS
Pt+1(k1,…,kt)
k
0 1 2 3 4 5
t
0600.00
1561.11915.351269.601623.841978.092332.34
2526.95859.631192.311524.991857.672190.35
3496.71810.301123.891437.491751.082064.67
关键词:最优奖惩系统; 索赔次数; 酒后驾车; 负二项模型
一、引言
奖惩系统(Bonus-Malus System),通常简称BMS,多用于非寿险,尤其是机动车保险。文献[1]对BMS的描述是:对于发生了一次或多次索赔的投保人增收保费或给予惩罚(Malus),而对没有任何索赔发生的投保人给予保费的折扣或奖励(Bonus)。BMS的本质是在掌握了每个投保人的索赔次数记录后,用后验变量去调整保费,对于保险公司来说,BMS对投保人的逆选择问题可以起到预测或抑制作用,通过客观地评估每个人的风险,并在此基础上使每个保单持有人缴纳的保费与其风险大小成比例,从而激励投保人提高安全意识,规避风险。
一般设计奖惩系统的总体思路,大致是先选定索赔次数分布,再选择合适的结构函数,这时就可以计算出有关索赔次数的参数以及索赔次数的后验分布,利用恰当的损失函数从而得到有关索赔次数参数的最优估计,再选取适当的保费计算原理,这样就得到了奖惩系统下的风险保费。这是仅基于索赔次数模型的奖惩系统的。然而,随着酒后驾车成为当今社会的焦点问题,酒后驾车因素已经成为汽车保险费率厘定中一个不可忽视的因素。本文通过借鉴前人对于奖惩系统设计方法,结合当今车险发展的新形势,新特征,设计了一个以单个投保人为基础,同时考虑酒后驾车因素、索赔次数的最优奖惩系统。
二、基于索赔次数的奖惩系统模型
(一)负二项模型
我们选择索赔次数作为唯一的奖惩因素,也就是汽车保险奖惩系统的转移规则只与投保人在上一保单年度的索赔次数有关,我们的目的是在一定的目标和约束下,利用贝叶斯方法,构造单因素最优奖惩系统(使用贝叶斯分析计算的BMS被称为最优奖惩系统。
由于保单组合的非同质性,我们引入混合泊松分布(泊松分布参数为随机变量的情形)。当泊松分布的参数服从伽玛分布时,所得的混合泊松分布即为负二项分布。下面我们就选择负二项模型作为奖惩系统概率模型。
设每份保单在一年内发生索赔的次数服从均值为λ的泊松分布,设随机变量表示一年内的索赔次数,则p(N=k)=pk(λ)=\S〗e\+-λλ\+kk!\s,k=0,1,2,L L,其中参数λ又为个人索赔频率的均值,它的大小直接反映了风险的大小。由于参数λ随个人不同而不同,这是一个随机变量。通常可认为λ是服从伽玛分布的。不妨设λ服从参数为(α,β)的伽玛分布,即λ的结构函数为:u(λ)=
\S〗β\+αλ\+α-1e\+-βλ┎ (α)\s, 其中α>0,β>0。则我们可以得出这组同类保单中任意一份保单索赔次数的绝对分布服从参数为是(α,\S〗β1+β\s)负二项分布,即
证明如下:
即命题得证。
该分布的的均值和方差分别为:
我们用K=∑ti=1ki来表示一个被保险人在t年中发生索赔的总次数,其中ki表示他在第i年发生的索赔数,i=1,
2,LLt ,我们利用贝叶斯定理得到索赔记录为k1,L L kt的被保险人的λ后验结构函数,表示为u(λ/k1,L L kt)。用公式表达为:
它是参数为(α+K,t+β)的伽玛分布的概率密度函数。利用二次误差损失函数,索赔记录为k1,……kt的被保险人λt+1的最优估计是后验结构函数的均值。即为 λt+1(k1,L L kt)=\S〗α+Kβ+t\s。
(二)期望值原理构造下的最优奖惩系统
从以上的分析中,我们可以很明显的看出,当在t年中发生了k次事故时,只需要对伽玛的参数进行一下调整,α调整为α+K,β调整为β+t。这是因为伽玛分布一个重要的性质就是结构函数的稳定性。因此,我们可以得出对于保险公司来说的保费计算方法。
一种最简单的保费计算方法,就是要求投保人支付净保费及与净保费成比例的安全附加保费。这就是期望值原理下的保费计算方法。那么我们就可以求得一个索赔记录k1,L L kt的投保人下一年度的续期保费。即
由以上公式定义的奖惩系统有如下重要性质:
1.这一系统是公平的。在每次续保时,每个投保人都支付了与他们频率估计值成比例的保费。这一估计值通过贝叶斯方法利用了所有过去的信息。
2.该系统的财务可以平衡。在这一连续过程的每个阶段,个人索赔频率的均值都等于总的均值\S〗αβ\s。每一年,从所有投保人收取全部保费的平均值都保持在初始水平\S〗αβ\s这一常数上。对于一组固定的保单,保险公司征收的保费总额是稳定的,不会忽而发生赤字,忽而又有盈余。
3.我们得到了关于λ在各个时期的最优估计序列:λ1,λ2,Λ,λt,当时t→∞,这一估计序列趋于随机个体保单的真实索赔频率
即
,因此对个体保单观察的时间越长,对其索赔频率的估计就越准确。
三、用负二项模型来设计汽车保险最优奖惩系统
本节将应用负二项模型来对某保险公司年度机动车辆保险索赔次数的数据,进行理论索赔次数拟和,建立最优奖惩系统。
表4-1是我国一家保险公司的2002年度非营运客车第三者责任险的索赔次数的观察分布,其中nk表示索赔次数为k次的保单份数。
表4-1
knk
0 8781
1900
278
34
41
≥50
合计9764
资料来源:周延礼.机动车辆保险理论与实务[M].中国金融出版社,2001.
表4-1包括n=9764个观察值,索赔次数的均值和方差分别为:
=0.10979,s\+2=0.11740
计算出参数的矩阵估计:
下面我们用负二项分布矩估计法对表4-1的观察值进行拟合。 见下表4-2
表4-2
knknpk
087818780.6
1900901.5
27875.5
345.7
410.4
≥500
合计97649764
表4-2表明用负二项分布所作的拟合是理想的,理论频数与观察频数是很接近的。我们用皮尔逊x\+2检验法进行检验,表明一组同类保单中任意一份保单的索赔次数确实是服从负二项分布的。
下面运用期望值原理对保费进行计算。所谓期望值原理,就是要求投保人支付纯保费及与纯保费成比例的安全附加保费。基于公式(4.3)我们可计算出索赔记录为(k1,…,kt)的投保人,必须在第t+1年支付的保费为:
其中c为安全附加系数,P为初始纯保费。
表4-2中的9764份保单在2001年度平均每份保单的赔付额为P=500元,而在非寿险中安全附加系数一般为:c=20%,把公式(4.4)中的,带入(4.5)中,得到该保险公司对有索赔记录的投保人在第年征收的保费,即后验保费等于:
表4-3 用负二项模型建立的最优BMS
Pt+1(k1,…,kt)
k
0 1 2 3 4 5
t
0600.00
1561.11915.351269.601623.841978.092332.34
2526.95859.631192.311524.991857.672190.35
3496.71810.301123.891437.491751.082064.67