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法国教育家保罗·弗莱雷说过：“没有对话，就没有了交流，也就没有了真正的教育。”古希腊哲学家苏格拉底更是以“苏格拉底方法”成为启发式教学的先驱：他在与学生谈话的过程中，并不直截了当地告诉学生所应知道的知识，而是通过问答、讨论甚至辩论的方式来揭露学生认识中的矛盾，逐步引导学生自己得出正确答案。教学实践表明，“对话”不仅是一种调动学生的教学手段，更是一种尊重学生的教育思想；不仅是教师和学生通过语言进行的交流与讨论，更是学生之间观点与想法的碰撞与争鸣。
数学教学本质上是数学思维的教学，而思维最直接、最基本的体现就是语言。因此，数学教学必须通过深度“对话”，在思维的自然建构中实现知识的深入理解。下面，以《简单的逻辑联结词》一课为例，谈谈笔者的实践与思考。
一、课堂实录
（一）创设问题情境
师 请大家欣赏一个侦探故事。A、B、C、D四位小朋友在李大爷家院内踢足球。只听见“啪”的一声，足球飞向了李大爷家的窗户，顿时玻璃碎了一地。李大爷赶紧出来问他们：“谁踢坏了玻璃？”小朋友A说：“是B踢的。”小朋友B说：“是A踢的。”小朋友C说：“A没有说实话且B也没有说实话。”小朋友D说：“反正不是我踢的。”如果四位小朋友中只有一個人说了实话，那么你能告诉李大爷是谁踢坏了玻璃吗？
生 答案是C。
师 你能解释一下吗？
生 我猜的。
师 有没有不同答案？
生 答案是D。
师 为什么呢？
生 首先可以排除A和B；如果是C，那么就有C和D两个人说了实话，与条件不符；而如果是D的话，那么就只有C一个人说了实话。
师 解释得很明白吧！接下来，请同学们再思考：这个实例中用到了我们以前学过的哪些知识呀？
生 命题、命题真假的判断。
师 还有我们没学过的内容吗？
生 “A没有说实话且B也没有说实话”和“反正不是我踢的”不是以前学过的命题形式。
师 观察得很仔细！这些命题中涉及一些逻辑联结词。我们今天就来研究由这些逻辑联结词构成的复杂命题。
（教师板书课题。）
（二）组织学生活动
师 观察以下三个命题，并回答问题：（同步出示）①6是2的倍数或6是3的倍数；②6是2的倍数且6是3的倍数；③π不是无理数。
（教师出示问题1：命题①、②、③是否与某些命题有关联？你能说出这些关联的命题吗？）
生 命题①是用“或”将命题“6是2的倍数”与“6是3的倍数”联结而成的新命题；命题②是用“且”将命题“6是2的倍数”与“6是3的倍数”联结而成的新命题；命题③是命题“π是无理数”的否定。
师 回答得非常好！在逻辑上对一个命题的否定是用哪个字来表示的？哪位同学知道？
生 非。
师 很好！
（教师出示问题2：你还能举出一些具有上述结构特点的命题吗？）
生 △ABC是等腰三角形或△ABC是直角三角形。
生 2是偶数且2是质数。
生 2不是无理数。
生 3≤5。
师 “3≤5”是用哪个词联结的呀？
生 是“或”：“3≤5”表示“3<5或3=5”。
生 不对。应该是“且”：3≤5表示“3<5且3=5”。
师 请大家讨论一下，你赞同谁的观点？
生 还应该是“或”。
生 是的。
师 这样的观点碰撞很有意义，因为真理愈辩愈明！
（三）建构数学概念
师 你知道这里的“或”“且”“非”在数学上称作什么吗？
生 应该称为“逻辑词”。
师 稍微改一下：称为“逻辑联结词”。如果用小写拉丁字母p、q、r表示命题，则以上各命题的构成形式分别是“p或q”“p且q”“非r”。（同步板书数学符号）其中“p或q”可记作“p∨q”，“p且q”可记作“p∧q”，“非r”可记作“r”。
（教师出示问题3：你能从集合运算的角度，分别描述“p∨q”“p∧q”及“r”这三种形式的命题吗？）
生 “p∨q”对应于并集，“p∧q”对应于交集，“r”对应于补集。
（教师出示问题4：对于逻辑联结词“或”“且”“非”，你能用开关电路图表示它们的“联结”关系吗？一位学生在黑板上依次画出图1、图2、图3，并指出它们分别与逻辑联结词“或”“且”“非”对应。）
（四）建立数学理论
（教师出示问题5：说出下列命题的形式以及相应的命题p、q。（1）8≥7；（2）2是偶数且2是11的约数；（3）π不是整数。三位学生分别口答。）
师 （追问回答最后一小题的学生）你认为一个命题的否定与这个命题的否命题有区别吗？
生 命题的否定只否定命题的结论；否命题是命题的条件和结论都否定。
师 请大家注意，他的观点是正确的。也就是说，原命题是真命题，则它的否定一定是假命题，而否命题真假不确定。
（教师出示问题6：问题5中的几个命题真假性如何？它们的真假性与命题p、q的真假性有关系吗？你能猜想出怎样的结论？）
生 8≥7是假命题。
师 有没有不同意见呢？
生 我认为“8≥7”是真命题，其中命题“p：8>7”是真命题，“q：8=7”是假命题。我猜想“p∨q”形式复合命题是“一真则真”。
师 大家认可谁的观点？
生 （众）后者。
师 确实，他说得很有道理，对我们的常识“8≥7”从逻辑的角度给出了合理的解释；而且猜想了“p∨q”形式复合命题的真假性，总结的四个字言简意赅。掌声祝贺！ 生 “2是偶数且2是11的约数”是假命题，其中“p：2是偶数”是真命题，“q：2是11的约数”是假命题。猜想：“p∧q”形式复合命题是“一假则假”。
师 类比学习，很棒！
生 “π不是整数”是真命题，其中“r：π是整数”是假命题。猜想：“r”形式复合命题是“真假相反”。
师 刚才几位同学猜想的结论都是正确的。这是我们判断由逻辑联结词“或”“且”“非”构成的复合命题的真假性的重要依据。
（五）展示数学运用
（教师出示问题7：写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”以及“非p（q）”形式的命题，并判断它们的真假。（1）p：3是质数，q：3是偶数；（2）p：5<5，q：5=5；（3）p：方程x2+x-2=0的解是x=-2，q：方程x2+x-2=0的解是x=1。三位学生分别板演。）
师 请看最后一小题的板演。这位同学认为，命题“p或q”应该是“方程x2+x-2=0的解是x=-2或x=1”，这是一个真命题。你们同意吗？
生 我不同意。我认为，应该是“方程x2+x-2=0的解是x=-2或方程x2+x-2=0的解是x=1”，这是一个假命题。
师 请各位同学发表不同意见。
（通过激烈争辩，大家最终都同意后一位学生的观点。）
（六）学会回顾反思
师 本节课我们学习了哪些简单的逻辑联结词？各自的含义是什么？（学生回答。）
师 如何判断含有逻辑联结词的复合命题的真假性？
生 利用复合命题的真值表。
师 在得出含有逻辑联结词的复合命题真假性的过程中，我们运用了哪些数学思想方法？
生 由特殊到一般的归纳猜想方法以及类比方法。
师 课后作业：课本第11页习题1、2、3。
二、教学评析
本节课的教学目标主要是了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，学会利用它们表达相关的复合命题，并能够正确判断含有逻辑联结词的复合命题的真假性，进一步认识命题之间的逻辑关系。学生在初中阶段已经学习了“简单命题及其关系”，能够判断命题的真假性，这为学习本节课打下了很好的基础。但是，含有逻辑联结词的复合命题的构成要素以及真假性辨别还是学生的易错点，加之语言表达能力要求较高，学习本节课也是有困难的。基于教材内容与学情分析，笔者认为通过设置高质量的问题串，采取师生与生生对话的方式演绎教学过程，才能够达到预期的教学目标。
（一）对话：基于生活情境，充分发挥先行组织者的作用
奥苏伯尔认为，有意义学习发生和保持的最有效策略就是利用适当的引导性材料对当前所学习的新内容加以定向与引导，唯有如此才能确保新旧知识之间建立实质性的、非人为的联系，把这种引导性材料称为“先行组织者”。
本节课中，教师通过一个侦探故事创设问题情境，既符合学生的认知心理与年龄特点，激发了学生的好奇心与求知欲，又拉近了现实生活与数学内容的距离，为学习新知识抛锚。
其中“A没有说实话且B也没有说实话”以及“反正不是我踢的”等语句不是学生以前学过的命题形式，又刚好涉及逻辑联结词“且”“非”，可以水到渠成地引出本节课的课题。
因此，问题情境起到了先行组织者的作用。而基于问题情境的对话让学生真切地体验到，知识来源于生活又高于生活，生活中的一切都充满知识、蕴含知识，从而让生活走进课堂，将课堂引向生活，使得生活的一切时间和空间都是学习的课堂。
（二）对话：基于问题串，把静态的内容变成探究性活动
问题是数学教学的心脏，是引发学生思维与探究活动的向导。有了问题，学生的好奇心与求知欲才能激发；有了问题，学生的思维闸门才能开启；有了问题，学生的探究活动才有载体。同时，“孤立的问题对学生思维的发展几乎没有什么作用，只有让问题以问题串的形式出现，让学生进行系列的、连续的思维活动，学生的思维才能不断攀升到新的高度”。教师只有通过设计恰当的问题串，展开师生之间流畅的对话，才能使知识的逻辑结构转化为学生的认知结构，才能把冰冷的知识转化为火热的思考，才能把教材中静态的知识转化为课堂上动态的活动，让学生获得思维的经历与实践的经验，让数学思想在课堂中流淌。
本节课中，教师为了让学生真正理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，连续抛出了问题3和问题4。通过这两个问题的研讨与解决，学生对于“或”“且”“非”的内涵既有了集合知识的同化作用，又有了物理学上电路图的直观模型，实现了“感受意义、形成表象、自我表征”的有效建构。此外，在学生完成问题5中的简单练习后，教师提出了一个辨析性追问，并抛出了具有探究性和概括性的问题6。由此，让学生在解决具体数学问题后，通过归纳概括，自主地总结出复合命题的真值表，形成理性思维。纵观整节课，教师始终通过不断地追问，促发师生之间自然的对话，让学生的认知活动从感性走向理性，数学思维也从肤浅走向深刻。
（三）对话：基于困惑思辨，实现数学思维的碰撞与提升
课堂教学的艺术性主要体现在悬念丛生，高潮迭起，不断地产生创新的火花与智慧的接力。
这节课在某些复合命题的选取上可谓独具匠心，让学生之间形成争议，通过交锋与争辩，最终达成对真理的共识与共享，让课堂充满了智趣。譬如，对于问题5中的命题“8≥7”的真假性辨析，从乍看时的假命题到细致分解后的真命题，学生不但做到了以理服人，而且学会了处理复合命题真假性的辨析方法。又如，对于问题7中由命题“p：方程x2+x-2=0的解是x=-2”和命题“q：方程x2+x-2=0的解是x=1”构成的“p或q”形式的复合命题怎么写、真假性如何的争论更是形成了本节课的高潮，也正是在激烈的争论、说服、接纳过程中，学生对于逻辑联结词“或”“且”“非”的含义以及复合命题真值表的归纳才留下了深刻的体验感悟與经验积累，并借助同化与顺应的过程把新知识牢固地建立到已有的认知结构中。
当然，课堂教学永远是一门遗憾的艺术。这节课也有一点瑕疵。譬如，对于由命题“p：方程x2+x-2=0的解是x=-2”和命题“q：方程x2+x-2=0的解是x=1”构成的“p或q”形式的复合命题怎么写、真假性如何这个教学难点的处理，一方面教师应该指出，命题“方程x2+x-2=0的解是x=-2或方程x2+x-2=0的解是x=1”不能够简写成“方程x2+x-2=0的解是x=-2或x=1”，因为这两个命题不一样；另一方面教师还要讲清楚，命题“方程x2+x-2=0的解是x=-2或x=1”中的“或”不是逻辑联结词，因此这一命题不是“p或q”形式的复合命题。
参考文献：
[1] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学（第二版）[M].北京：北京师范大学出版社，2007.
[2] 卓斌.例谈数学教学中问题串的设计与使用[J].数学通报，2013（6）.
数学教学本质上是数学思维的教学，而思维最直接、最基本的体现就是语言。因此，数学教学必须通过深度“对话”，在思维的自然建构中实现知识的深入理解。下面，以《简单的逻辑联结词》一课为例，谈谈笔者的实践与思考。
一、课堂实录
（一）创设问题情境
师 请大家欣赏一个侦探故事。A、B、C、D四位小朋友在李大爷家院内踢足球。只听见“啪”的一声，足球飞向了李大爷家的窗户，顿时玻璃碎了一地。李大爷赶紧出来问他们：“谁踢坏了玻璃？”小朋友A说：“是B踢的。”小朋友B说：“是A踢的。”小朋友C说：“A没有说实话且B也没有说实话。”小朋友D说：“反正不是我踢的。”如果四位小朋友中只有一個人说了实话，那么你能告诉李大爷是谁踢坏了玻璃吗？
生 答案是C。
师 你能解释一下吗？
生 我猜的。
师 有没有不同答案？
生 答案是D。
师 为什么呢？
生 首先可以排除A和B；如果是C，那么就有C和D两个人说了实话，与条件不符；而如果是D的话，那么就只有C一个人说了实话。
师 解释得很明白吧！接下来，请同学们再思考：这个实例中用到了我们以前学过的哪些知识呀？
生 命题、命题真假的判断。
师 还有我们没学过的内容吗？
生 “A没有说实话且B也没有说实话”和“反正不是我踢的”不是以前学过的命题形式。
师 观察得很仔细！这些命题中涉及一些逻辑联结词。我们今天就来研究由这些逻辑联结词构成的复杂命题。
（教师板书课题。）
（二）组织学生活动
师 观察以下三个命题，并回答问题：（同步出示）①6是2的倍数或6是3的倍数；②6是2的倍数且6是3的倍数；③π不是无理数。
（教师出示问题1：命题①、②、③是否与某些命题有关联？你能说出这些关联的命题吗？）
生 命题①是用“或”将命题“6是2的倍数”与“6是3的倍数”联结而成的新命题；命题②是用“且”将命题“6是2的倍数”与“6是3的倍数”联结而成的新命题；命题③是命题“π是无理数”的否定。
师 回答得非常好！在逻辑上对一个命题的否定是用哪个字来表示的？哪位同学知道？
生 非。
师 很好！
（教师出示问题2：你还能举出一些具有上述结构特点的命题吗？）
生 △ABC是等腰三角形或△ABC是直角三角形。
生 2是偶数且2是质数。
生 2不是无理数。
生 3≤5。
师 “3≤5”是用哪个词联结的呀？
生 是“或”：“3≤5”表示“3<5或3=5”。
生 不对。应该是“且”：3≤5表示“3<5且3=5”。
师 请大家讨论一下，你赞同谁的观点？
生 还应该是“或”。
生 是的。
师 这样的观点碰撞很有意义，因为真理愈辩愈明！
（三）建构数学概念
师 你知道这里的“或”“且”“非”在数学上称作什么吗？
生 应该称为“逻辑词”。
师 稍微改一下：称为“逻辑联结词”。如果用小写拉丁字母p、q、r表示命题，则以上各命题的构成形式分别是“p或q”“p且q”“非r”。（同步板书数学符号）其中“p或q”可记作“p∨q”，“p且q”可记作“p∧q”，“非r”可记作“r”。
（教师出示问题3：你能从集合运算的角度，分别描述“p∨q”“p∧q”及“r”这三种形式的命题吗？）
生 “p∨q”对应于并集，“p∧q”对应于交集，“r”对应于补集。
（教师出示问题4：对于逻辑联结词“或”“且”“非”，你能用开关电路图表示它们的“联结”关系吗？一位学生在黑板上依次画出图1、图2、图3，并指出它们分别与逻辑联结词“或”“且”“非”对应。）
（四）建立数学理论
（教师出示问题5：说出下列命题的形式以及相应的命题p、q。（1）8≥7；（2）2是偶数且2是11的约数；（3）π不是整数。三位学生分别口答。）
师 （追问回答最后一小题的学生）你认为一个命题的否定与这个命题的否命题有区别吗？
生 命题的否定只否定命题的结论；否命题是命题的条件和结论都否定。
师 请大家注意，他的观点是正确的。也就是说，原命题是真命题，则它的否定一定是假命题，而否命题真假不确定。
（教师出示问题6：问题5中的几个命题真假性如何？它们的真假性与命题p、q的真假性有关系吗？你能猜想出怎样的结论？）
生 8≥7是假命题。
师 有没有不同意见呢？
生 我认为“8≥7”是真命题，其中命题“p：8>7”是真命题，“q：8=7”是假命题。我猜想“p∨q”形式复合命题是“一真则真”。
师 大家认可谁的观点？
生 （众）后者。
师 确实，他说得很有道理，对我们的常识“8≥7”从逻辑的角度给出了合理的解释；而且猜想了“p∨q”形式复合命题的真假性，总结的四个字言简意赅。掌声祝贺！ 生 “2是偶数且2是11的约数”是假命题，其中“p：2是偶数”是真命题，“q：2是11的约数”是假命题。猜想：“p∧q”形式复合命题是“一假则假”。
师 类比学习，很棒！
生 “π不是整数”是真命题，其中“r：π是整数”是假命题。猜想：“r”形式复合命题是“真假相反”。
师 刚才几位同学猜想的结论都是正确的。这是我们判断由逻辑联结词“或”“且”“非”构成的复合命题的真假性的重要依据。
（五）展示数学运用
（教师出示问题7：写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”以及“非p（q）”形式的命题，并判断它们的真假。（1）p：3是质数，q：3是偶数；（2）p：5<5，q：5=5；（3）p：方程x2+x-2=0的解是x=-2，q：方程x2+x-2=0的解是x=1。三位学生分别板演。）
师 请看最后一小题的板演。这位同学认为，命题“p或q”应该是“方程x2+x-2=0的解是x=-2或x=1”，这是一个真命题。你们同意吗？
生 我不同意。我认为，应该是“方程x2+x-2=0的解是x=-2或方程x2+x-2=0的解是x=1”，这是一个假命题。
师 请各位同学发表不同意见。
（通过激烈争辩，大家最终都同意后一位学生的观点。）
（六）学会回顾反思
师 本节课我们学习了哪些简单的逻辑联结词？各自的含义是什么？（学生回答。）
师 如何判断含有逻辑联结词的复合命题的真假性？
生 利用复合命题的真值表。
师 在得出含有逻辑联结词的复合命题真假性的过程中，我们运用了哪些数学思想方法？
生 由特殊到一般的归纳猜想方法以及类比方法。
师 课后作业：课本第11页习题1、2、3。
二、教学评析
本节课的教学目标主要是了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，学会利用它们表达相关的复合命题，并能够正确判断含有逻辑联结词的复合命题的真假性，进一步认识命题之间的逻辑关系。学生在初中阶段已经学习了“简单命题及其关系”，能够判断命题的真假性，这为学习本节课打下了很好的基础。但是，含有逻辑联结词的复合命题的构成要素以及真假性辨别还是学生的易错点，加之语言表达能力要求较高，学习本节课也是有困难的。基于教材内容与学情分析，笔者认为通过设置高质量的问题串，采取师生与生生对话的方式演绎教学过程，才能够达到预期的教学目标。
（一）对话：基于生活情境，充分发挥先行组织者的作用
奥苏伯尔认为，有意义学习发生和保持的最有效策略就是利用适当的引导性材料对当前所学习的新内容加以定向与引导，唯有如此才能确保新旧知识之间建立实质性的、非人为的联系，把这种引导性材料称为“先行组织者”。
本节课中，教师通过一个侦探故事创设问题情境，既符合学生的认知心理与年龄特点，激发了学生的好奇心与求知欲，又拉近了现实生活与数学内容的距离，为学习新知识抛锚。
其中“A没有说实话且B也没有说实话”以及“反正不是我踢的”等语句不是学生以前学过的命题形式，又刚好涉及逻辑联结词“且”“非”，可以水到渠成地引出本节课的课题。
因此，问题情境起到了先行组织者的作用。而基于问题情境的对话让学生真切地体验到，知识来源于生活又高于生活，生活中的一切都充满知识、蕴含知识，从而让生活走进课堂，将课堂引向生活，使得生活的一切时间和空间都是学习的课堂。
（二）对话：基于问题串，把静态的内容变成探究性活动
问题是数学教学的心脏，是引发学生思维与探究活动的向导。有了问题，学生的好奇心与求知欲才能激发；有了问题，学生的思维闸门才能开启；有了问题，学生的探究活动才有载体。同时，“孤立的问题对学生思维的发展几乎没有什么作用，只有让问题以问题串的形式出现，让学生进行系列的、连续的思维活动，学生的思维才能不断攀升到新的高度”。教师只有通过设计恰当的问题串，展开师生之间流畅的对话，才能使知识的逻辑结构转化为学生的认知结构，才能把冰冷的知识转化为火热的思考，才能把教材中静态的知识转化为课堂上动态的活动，让学生获得思维的经历与实践的经验，让数学思想在课堂中流淌。
本节课中，教师为了让学生真正理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，连续抛出了问题3和问题4。通过这两个问题的研讨与解决，学生对于“或”“且”“非”的内涵既有了集合知识的同化作用，又有了物理学上电路图的直观模型，实现了“感受意义、形成表象、自我表征”的有效建构。此外，在学生完成问题5中的简单练习后，教师提出了一个辨析性追问，并抛出了具有探究性和概括性的问题6。由此，让学生在解决具体数学问题后，通过归纳概括，自主地总结出复合命题的真值表，形成理性思维。纵观整节课，教师始终通过不断地追问，促发师生之间自然的对话，让学生的认知活动从感性走向理性，数学思维也从肤浅走向深刻。
（三）对话：基于困惑思辨，实现数学思维的碰撞与提升
课堂教学的艺术性主要体现在悬念丛生，高潮迭起，不断地产生创新的火花与智慧的接力。
这节课在某些复合命题的选取上可谓独具匠心，让学生之间形成争议，通过交锋与争辩，最终达成对真理的共识与共享，让课堂充满了智趣。譬如，对于问题5中的命题“8≥7”的真假性辨析，从乍看时的假命题到细致分解后的真命题，学生不但做到了以理服人，而且学会了处理复合命题真假性的辨析方法。又如，对于问题7中由命题“p：方程x2+x-2=0的解是x=-2”和命题“q：方程x2+x-2=0的解是x=1”构成的“p或q”形式的复合命题怎么写、真假性如何的争论更是形成了本节课的高潮，也正是在激烈的争论、说服、接纳过程中，学生对于逻辑联结词“或”“且”“非”的含义以及复合命题真值表的归纳才留下了深刻的体验感悟與经验积累，并借助同化与顺应的过程把新知识牢固地建立到已有的认知结构中。
当然，课堂教学永远是一门遗憾的艺术。这节课也有一点瑕疵。譬如，对于由命题“p：方程x2+x-2=0的解是x=-2”和命题“q：方程x2+x-2=0的解是x=1”构成的“p或q”形式的复合命题怎么写、真假性如何这个教学难点的处理，一方面教师应该指出，命题“方程x2+x-2=0的解是x=-2或方程x2+x-2=0的解是x=1”不能够简写成“方程x2+x-2=0的解是x=-2或x=1”，因为这两个命题不一样；另一方面教师还要讲清楚，命题“方程x2+x-2=0的解是x=-2或x=1”中的“或”不是逻辑联结词，因此这一命题不是“p或q”形式的复合命题。
参考文献：
[1] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学（第二版）[M].北京：北京师范大学出版社，2007.
[2] 卓斌.例谈数学教学中问题串的设计与使用[J].数学通报，2013（6）.