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【摘要】通过对线性代数教学改革成果的研究，我们发现线性代数立体化教学模式是以简捷、应用性强、容易理解为目标，应用于教学内容、教学方法、教学手段等方面的教学模式.该模式能够让学生全面掌握所学知识，学会使用数学软件，受到学生欢迎.通过思维导图，学生可以多角度、立体化地理解所学的知识点，从而把零碎的概念及知识点整合起来，这样学习起来更方便，不但减少了烦琐过程，而且能够增强学生学习数学的兴趣，提高其解决实际问题的能力.线性代数立体化教学研究，弥补了单一教学方式的局限性、片面性，为线性代数教学改革提供了新的方向.
【关键词】
教学法;矩阵;MATLAB;思维导图
线性代数在教学改革中取得了一系列成就，如分层教学法、对分课堂、翻转课堂等教学法在课堂教学实践中取得了令人瞩目的成绩.教师利用信息技术，将慕课、微课等教学方式融入线性代数的日常学习，极大地拓宽了同学们的学习视野，激发了学生的学习兴趣，提高了线性代数教学的实效性.
教学有法，教无定法.单一的教学方式有其局限性.在多种教学手段下，线性代数立体化教学弥补了这种片面性，使教学效果更圆满，提高了学生主动学习的积极性.
1 线性代数立体化教学模式
依据线性代数的教学大纲，根据教学内容的不同，利用信息技术，采用不同的教学方法、教学手段，使学生掌握数学基本内容、基本技能，达到教学要求，完成教学任务的方法称为线性代数立体化法.其特点是：
1.目标明确，以简捷、易接受的教学手段、方法，使学生掌握知识.
2.因材施教，方法灵活，不拘一格.
3.充分调动学生学习的主动性，激发学生的学习兴趣.
4.通过学习，使学生掌握MATLAB等数学软件，提高学生掌握信息技术的能力.
5.注重理论与实际相结合，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力.线性代数立体化法的必要条件是教师精通多种教学方法，掌握先进的教学手段，熟悉教学内容;教师热爱教学研究，教学经验丰富.
2 线性代数立体化教学模式应用
2.1 教学内容、教学方法上的立体化教学应用
线性代数矩阵的乘法是很重要也是非常独特的运算方法.教师若正常讲授，学生也很容易掌握，但教师如果采用启发式教学，引导学生主动思考，会得到很多意想不到的结论.教材中介绍矩阵的乘法的定义是Am×s×Bs×n=Cm×n，即第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同时，矩阵乘法成立，新矩阵的行数、列数分别等于第一个矩阵行数、第二个矩阵的列数.
教师启发学生思考如下问题：①As×m×Bn×s=？，如果能运算，怎样定义乘法运算，有什么规律？
②一个下标交叉位置数字不变，即Am×s×Bn×s=？成立，或者As×m×Bs×n=？成立，怎样定义乘法运算，有什么结果，这两个结果之间有什么关系？同学们被这些问题吸引了，找出不同类型的实际例子，阐述自己的想法.
教师在这一基础上，进一步提出矩阵相乘.这种运算规律在其他领域中应用，结果如何，值得同学们进一步思考.
2.2 知识点横向、纵向相关联思维导图
学生由于受各种原因影响，对所学知识掌握得比较片面、零碎，根据这一特点，教师在教学中应注意把知识点横向、纵向及时贯通，利用思维导图，把知识点联系在一起，帮助学生建立系统的、完整的线性代数理论体系.教师通过建立完整的理论体系，帮助学生完成对各个知识点的理解，解决其学习中遇到的各种困惑，协助学生排忧解难，达到融会贯通的目标.
由于学生对线性方程组的解、矩阵的秩、向量组的线性相关性这些概念理解得不全面，因此教师应建立横向思维导图，学生根据图示描述就很快能掌握它们之间的关系，并能根据它们之间的关系解决相应的问题，如图1.
矩阵是贯串于线性代数各章节的概念，在不同的章节，定义了相应的矩阵.因此学生在学习过程中，感觉概念多，知识点分散，掌握难度比较大.教师在教学过程中，应在详细剖析各类矩阵的概念之后，把各类矩阵纵向联系起来，这样可以帮助学生把各类零碎的矩阵概念统一起来，建立完整的矩阵体系，如图2.
2.3 教学手段上立体化教学应用
实对称矩阵可以对角化这个原理，由于解题量大，步骤比较多，学生容易对其产生厌烦心理.在学生掌握概念及解题思想的基础上，教师可以教学生使用数学软件MATLAB，
帮助学生树立使用数学技术及现代工具思想，让计算机技术真正走进我们的教学.学生在学习软件的同时，感受新技术的便捷，领略数学的魅力，这样有利于增强其学习兴趣.
在教学中，教师要求学生用正交矩阵将实对称矩阵对角化.例如，对对称矩阵 进行对角化.在学生全面掌握计算方法，正确求解后，教师可以要求学生在数学软件MATLAB中演示用正交矩阵将实对称矩阵对角化的算法.学生通过以下操作，对实对称矩阵A进行对角化.
解：在MATLAB命令窗口中输入命令
计算结果中，矩阵P的列向量就是正交化向量组，D就是对角化的结果.
学生通过操作，深感计算机强大的计算能力，也为自己掌握一门软件技术感到自豪，增强了学好线性代数的自信心.
3 线性代数立体化教学模式应用效果
通过多年的教学研究，线性代数立体化教学模式应用效果比较明显，表现在如下方面：卷一的通过率由原来的65[WTB3]%[WTBX]提升到78[WTB3]%[WTBX];卷二的通过率由最初的62.5[WTB3]%[WTBX]逐年递增4[WTB3]%[WTBX]，个别好的班级，超过85[WTB3]%[WTBX];课程组平均通过率保持在75[WTB3]%[WTBX]左右;学生在考研中，线性代数的得分率逐年提高.部分学生受到学习线性代数的影响，学习数学的兴趣与热情得到提升，学习成绩提高，自信心增加，在老师的鼓励下，参加MATLAB选修课、数学协会的人数增多，参加数学竞赛的积极性提高.2018年全国数学竞赛，我校学生获得国家级一等奖1名、二等奖3名、三等奖11名，获奖率6.8[WTB3]%[WTBX]，获山东省一等奖6名、二等奖9名、三等奖37名，获奖率23.6[WTB3]%[WTBX].线性代数立体化教学模式，使学生全面掌握了数学基本内容、基本方法，学会使用数学软件，增强了解决实际问题的能力.学生通过思维导图，多角度、立体化理解所学的知识点，把零碎的概念及知识点联系起来.这样学生学习起来既方便又效果好，减少了烦琐过程.这种方式受到了学生的欢迎，增强了学生学习数学的兴趣.
4 结束语
通过对线性代数立体化教学模式的研究，我们取得了一定的成绩，教师的教学方法、教学手段不断提高、完善，学生的学习兴趣得到增强，主动学习的人数不断增多.我们也发现了一些需要进一步提高的方面，如教师在课堂教学方面需不断调整，教学手段需进一步更新，要以简捷、高效、易理解的方式，使学生领会所讲知识.线性代数的数学实验课急需进一步完善，要和教材相结合，形成系统的、操作性强的、配套的统一体.
【参考文献】
[1] 杜燕飞，肖鹏.基于MOOC的线性代数混合式教学模式的研究[J].内江科技，2019 （05）：150-151.
[2] [JP3]房秀芬，黃廷祝，蒲和平.线性代数课程小班化：探究式教学模式的实践与思考[J].大学数学，2018 （06）：41-44.
[3] 高婧.高校线性代数“翻转课堂”教学模式的研究[J]. 武汉工业学院学报，2018 （04）：112-116.
[4] 张艳艳.线性代数双型新教学模式的探索与实践[J].教育现代化，2018 （04）：94-95.
[5] [JP3]薛冬梅，李智.基于移动终端的《线性代数》课程教学模式的研究与实践[J].吉林化工学院学报，2018 （10）：66-69.
[6] 程丽.基于CDIO教育理念的线性代数教学模式研究[J].赤峰学院学报（自然科学版），2017（18）：9-10.
[7] 李敏，陈佑军.基于高等数学教学实效性研究调查分析报告[J].教育教学论坛，2019（12）：120-121.
[8] 邰志艳.“互联网 ”背景下线性代数课程教学模式改革的研究[J].中国校外教育，2016（04）：27-30.
[9] 陶霞，张映辉.《线性代数》课程新型教学模式探讨[J].湖南理工学院学报（自然科学版），2015（02）：90-94.
[10] 杜美华.基于培养卓越应用型人才的线性代数问题驱动与案例任务教学模式改革[J].青海师范大学学报（自然科学版），2015（02）：27-30.
【关键词】
教学法;矩阵;MATLAB;思维导图
线性代数在教学改革中取得了一系列成就，如分层教学法、对分课堂、翻转课堂等教学法在课堂教学实践中取得了令人瞩目的成绩.教师利用信息技术，将慕课、微课等教学方式融入线性代数的日常学习，极大地拓宽了同学们的学习视野，激发了学生的学习兴趣，提高了线性代数教学的实效性.
教学有法，教无定法.单一的教学方式有其局限性.在多种教学手段下，线性代数立体化教学弥补了这种片面性，使教学效果更圆满，提高了学生主动学习的积极性.
1 线性代数立体化教学模式
依据线性代数的教学大纲，根据教学内容的不同，利用信息技术，采用不同的教学方法、教学手段，使学生掌握数学基本内容、基本技能，达到教学要求，完成教学任务的方法称为线性代数立体化法.其特点是：
1.目标明确，以简捷、易接受的教学手段、方法，使学生掌握知识.
2.因材施教，方法灵活，不拘一格.
3.充分调动学生学习的主动性，激发学生的学习兴趣.
4.通过学习，使学生掌握MATLAB等数学软件，提高学生掌握信息技术的能力.
5.注重理论与实际相结合，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力.线性代数立体化法的必要条件是教师精通多种教学方法，掌握先进的教学手段，熟悉教学内容;教师热爱教学研究，教学经验丰富.
2 线性代数立体化教学模式应用
2.1 教学内容、教学方法上的立体化教学应用
线性代数矩阵的乘法是很重要也是非常独特的运算方法.教师若正常讲授，学生也很容易掌握，但教师如果采用启发式教学，引导学生主动思考，会得到很多意想不到的结论.教材中介绍矩阵的乘法的定义是Am×s×Bs×n=Cm×n，即第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同时，矩阵乘法成立，新矩阵的行数、列数分别等于第一个矩阵行数、第二个矩阵的列数.
教师启发学生思考如下问题：①As×m×Bn×s=？，如果能运算，怎样定义乘法运算，有什么规律？
②一个下标交叉位置数字不变，即Am×s×Bn×s=？成立，或者As×m×Bs×n=？成立，怎样定义乘法运算，有什么结果，这两个结果之间有什么关系？同学们被这些问题吸引了，找出不同类型的实际例子，阐述自己的想法.
教师在这一基础上，进一步提出矩阵相乘.这种运算规律在其他领域中应用，结果如何，值得同学们进一步思考.
2.2 知识点横向、纵向相关联思维导图
学生由于受各种原因影响，对所学知识掌握得比较片面、零碎，根据这一特点，教师在教学中应注意把知识点横向、纵向及时贯通，利用思维导图，把知识点联系在一起，帮助学生建立系统的、完整的线性代数理论体系.教师通过建立完整的理论体系，帮助学生完成对各个知识点的理解，解决其学习中遇到的各种困惑，协助学生排忧解难，达到融会贯通的目标.
由于学生对线性方程组的解、矩阵的秩、向量组的线性相关性这些概念理解得不全面，因此教师应建立横向思维导图，学生根据图示描述就很快能掌握它们之间的关系，并能根据它们之间的关系解决相应的问题，如图1.
矩阵是贯串于线性代数各章节的概念，在不同的章节，定义了相应的矩阵.因此学生在学习过程中，感觉概念多，知识点分散，掌握难度比较大.教师在教学过程中，应在详细剖析各类矩阵的概念之后，把各类矩阵纵向联系起来，这样可以帮助学生把各类零碎的矩阵概念统一起来，建立完整的矩阵体系，如图2.
2.3 教学手段上立体化教学应用
实对称矩阵可以对角化这个原理，由于解题量大，步骤比较多，学生容易对其产生厌烦心理.在学生掌握概念及解题思想的基础上，教师可以教学生使用数学软件MATLAB，
帮助学生树立使用数学技术及现代工具思想，让计算机技术真正走进我们的教学.学生在学习软件的同时，感受新技术的便捷，领略数学的魅力，这样有利于增强其学习兴趣.
在教学中，教师要求学生用正交矩阵将实对称矩阵对角化.例如，对对称矩阵 进行对角化.在学生全面掌握计算方法，正确求解后，教师可以要求学生在数学软件MATLAB中演示用正交矩阵将实对称矩阵对角化的算法.学生通过以下操作，对实对称矩阵A进行对角化.
解：在MATLAB命令窗口中输入命令
计算结果中，矩阵P的列向量就是正交化向量组，D就是对角化的结果.
学生通过操作，深感计算机强大的计算能力，也为自己掌握一门软件技术感到自豪，增强了学好线性代数的自信心.
3 线性代数立体化教学模式应用效果
通过多年的教学研究，线性代数立体化教学模式应用效果比较明显，表现在如下方面：卷一的通过率由原来的65[WTB3]%[WTBX]提升到78[WTB3]%[WTBX];卷二的通过率由最初的62.5[WTB3]%[WTBX]逐年递增4[WTB3]%[WTBX]，个别好的班级，超过85[WTB3]%[WTBX];课程组平均通过率保持在75[WTB3]%[WTBX]左右;学生在考研中，线性代数的得分率逐年提高.部分学生受到学习线性代数的影响，学习数学的兴趣与热情得到提升，学习成绩提高，自信心增加，在老师的鼓励下，参加MATLAB选修课、数学协会的人数增多，参加数学竞赛的积极性提高.2018年全国数学竞赛，我校学生获得国家级一等奖1名、二等奖3名、三等奖11名，获奖率6.8[WTB3]%[WTBX]，获山东省一等奖6名、二等奖9名、三等奖37名，获奖率23.6[WTB3]%[WTBX].线性代数立体化教学模式，使学生全面掌握了数学基本内容、基本方法，学会使用数学软件，增强了解决实际问题的能力.学生通过思维导图，多角度、立体化理解所学的知识点，把零碎的概念及知识点联系起来.这样学生学习起来既方便又效果好，减少了烦琐过程.这种方式受到了学生的欢迎，增强了学生学习数学的兴趣.
4 结束语
通过对线性代数立体化教学模式的研究，我们取得了一定的成绩，教师的教学方法、教学手段不断提高、完善，学生的学习兴趣得到增强，主动学习的人数不断增多.我们也发现了一些需要进一步提高的方面，如教师在课堂教学方面需不断调整，教学手段需进一步更新，要以简捷、高效、易理解的方式，使学生领会所讲知识.线性代数的数学实验课急需进一步完善，要和教材相结合，形成系统的、操作性强的、配套的统一体.
【参考文献】
[1] 杜燕飞，肖鹏.基于MOOC的线性代数混合式教学模式的研究[J].内江科技，2019 （05）：150-151.
[2] [JP3]房秀芬，黃廷祝，蒲和平.线性代数课程小班化：探究式教学模式的实践与思考[J].大学数学，2018 （06）：41-44.
[3] 高婧.高校线性代数“翻转课堂”教学模式的研究[J]. 武汉工业学院学报，2018 （04）：112-116.
[4] 张艳艳.线性代数双型新教学模式的探索与实践[J].教育现代化，2018 （04）：94-95.
[5] [JP3]薛冬梅，李智.基于移动终端的《线性代数》课程教学模式的研究与实践[J].吉林化工学院学报，2018 （10）：66-69.
[6] 程丽.基于CDIO教育理念的线性代数教学模式研究[J].赤峰学院学报（自然科学版），2017（18）：9-10.
[7] 李敏，陈佑军.基于高等数学教学实效性研究调查分析报告[J].教育教学论坛，2019（12）：120-121.
[8] 邰志艳.“互联网 ”背景下线性代数课程教学模式改革的研究[J].中国校外教育，2016（04）：27-30.
[9] 陶霞，张映辉.《线性代数》课程新型教学模式探讨[J].湖南理工学院学报（自然科学版），2015（02）：90-94.
[10] 杜美华.基于培养卓越应用型人才的线性代数问题驱动与案例任务教学模式改革[J].青海师范大学学报（自然科学版），2015（02）：27-30.