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【摘要】求参数的方法很多，其中用恒成立求法，也是一种思路，其解决的关键是转化与化归思想的运用.
【关键词】恒成立；求参数
近年来，在平时的做题和高考，频频出现求参数范围的题型，含参数不等式的恒成立问题又是如此单纯，无须众多技巧便能获得解决，如何解这类题，现总结几点方法.
一、利用函数的单调性
例1 若4a2-17a 4<0，求使不等式x2 ax 1>2x a恒成立的x的取值范围.
解 由4a2-17a 4<0，得14 不等式x2 ax 1>2x a可化为（x-1）a x2-2x 1>0.
设f（a）=（x-1）a x2-2x 1，
当x-1>0，即x>1时，y=f（a）单调递增，
只需f（a）=f（14）=（x-1）·14 x2-2x 1≥0，解得x>1.
当x-1<0，即x<1时，y=f（a）单调递减，
只需f（a）=f（4）=（x-1）·4 x2-2x 1≥0，解得x≤-3.
综上，x≤-3或x>1.
二、判别式法
任何一个一元二次不等式总可以化成ax2 bx c>0（a>0）或ax2 bx c<0（a>0）的形式，由二次函数f（x）=ax2 bx c（a≠0）的图像和性质，我们不难得出下面的结论：
（1）f（x）>0，对一切x∈R恒成立a>0，Δ=b2-4ac<0；
（2）f（x）<0，对一切x∈R恒成立a<0，Δ=b2-4ac<0；
（3）f（x）>0（a>0）在m≤x≤n上恒成立Δ<0或x=-b2a0，或-b2a>n，f（n）>0；
（4）f（x）<0（a>0）在m≤x≤n上恒成立f（m）<0，f（n）<0.
例2 已知mx2 2mx 3>0恒成立，求m的范围.
解 ①当m=0时，3>0显然成立；
②m>0，Δ<0，m>0，4m2-12m<0，0 由①②知：0≤m<3，即m∈[0，3）.
例3 （2011济南高三模拟）已知x∈（0， ∞）时，不等式9x-m·3x m 1>0恒成立，则m的取值范围是（ ）.
A.2-22 C.m<2 22D.m≥2 22
解 令t=3x（t>1），则由已知得函数f（x）=t2-mt m 1（t∈（1， ∞））的图像恒在x轴的上方，
即Δ=（-m）2-4（m 1）<0或Δ≥0，m2≤1，f（1）=1-m m 1≥0，
解得m<2 22.
答案 C.
例4 （2014高考江苏卷第10题）已知函数f（x）=x2 mx-1，若对于任意的x∈m，m 1都有f（x）<0，则实数m的取值范围为.
解 由题意f（m）=m2 m2-1<0，f（m 1）=（m 1）2 m（m 1）-1<0，解得-22 答案 -22，0.
三、不等式恒成立问题常用到以下结论
①f（x）≥m （f（x）>m）恒成立f（x）min≥m （f（x）min>m）；
②f（x）≤m （f（x） 例5 已知f（x）=x2-2ax 2，当x∈[-1， ∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围.
解 只需f（x）=x2-2ax 2在x∈[-1， ∞）上的最小值大于或等于a，即f（x）min≥a就行.
f（x）=x2-2ax 2=（x-a）2 2-a2，其对称轴为x=a，
①a≤-1，f（x）min=f（-1）=1 2a 2≥a，-3≤a≤-1；
②a>-1，f（x）min=f（a）=a2-2a2 2≥a，-1 综上-3≤a≤1.
例6 （2011烟台调研）已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2 mx-3，对一切x∈（0， ∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围.
解 2xlnx≥-x2 mx-3，则m≤2lnx x 3x，
设h（x）=2lnx x 3x（x>0），则导数h′（x）=（x 3）（x-1）x2，令h′（x）=0，得x=1.
①当x∈（0，1）时，h′（x）<0，h′（x）单调递减；
②当x∈（1， ∞）时，h′（x）>0，h′（x）单调递增.
所以h（x）min=h（1）=4，对一切x∈（0， ∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
所以m≤h（x）min=4，即m≤4.
【关键词】恒成立；求参数
近年来，在平时的做题和高考，频频出现求参数范围的题型，含参数不等式的恒成立问题又是如此单纯，无须众多技巧便能获得解决，如何解这类题，现总结几点方法.
一、利用函数的单调性
例1 若4a2-17a 4<0，求使不等式x2 ax 1>2x a恒成立的x的取值范围.
解 由4a2-17a 4<0，得14
设f（a）=（x-1）a x2-2x 1，
当x-1>0，即x>1时，y=f（a）单调递增，
只需f（a）=f（14）=（x-1）·14 x2-2x 1≥0，解得x>1.
当x-1<0，即x<1时，y=f（a）单调递减，
只需f（a）=f（4）=（x-1）·4 x2-2x 1≥0，解得x≤-3.
综上，x≤-3或x>1.
二、判别式法
任何一个一元二次不等式总可以化成ax2 bx c>0（a>0）或ax2 bx c<0（a>0）的形式，由二次函数f（x）=ax2 bx c（a≠0）的图像和性质，我们不难得出下面的结论：
（1）f（x）>0，对一切x∈R恒成立a>0，Δ=b2-4ac<0；
（2）f（x）<0，对一切x∈R恒成立a<0，Δ=b2-4ac<0；
（3）f（x）>0（a>0）在m≤x≤n上恒成立Δ<0或x=-b2a
（4）f（x）<0（a>0）在m≤x≤n上恒成立f（m）<0，f（n）<0.
例2 已知mx2 2mx 3>0恒成立，求m的范围.
解 ①当m=0时，3>0显然成立；
②m>0，Δ<0，m>0，4m2-12m<0，0
例3 （2011济南高三模拟）已知x∈（0， ∞）时，不等式9x-m·3x m 1>0恒成立，则m的取值范围是（ ）.
A.2-22
解 令t=3x（t>1），则由已知得函数f（x）=t2-mt m 1（t∈（1， ∞））的图像恒在x轴的上方，
即Δ=（-m）2-4（m 1）<0或Δ≥0，m2≤1，f（1）=1-m m 1≥0，
解得m<2 22.
答案 C.
例4 （2014高考江苏卷第10题）已知函数f（x）=x2 mx-1，若对于任意的x∈m，m 1都有f（x）<0，则实数m的取值范围为.
解 由题意f（m）=m2 m2-1<0，f（m 1）=（m 1）2 m（m 1）-1<0，解得-22
三、不等式恒成立问题常用到以下结论
①f（x）≥m （f（x）>m）恒成立f（x）min≥m （f（x）min>m）；
②f（x）≤m （f（x）
解 只需f（x）=x2-2ax 2在x∈[-1， ∞）上的最小值大于或等于a，即f（x）min≥a就行.
f（x）=x2-2ax 2=（x-a）2 2-a2，其对称轴为x=a，
①a≤-1，f（x）min=f（-1）=1 2a 2≥a，-3≤a≤-1；
②a>-1，f（x）min=f（a）=a2-2a2 2≥a，-1
例6 （2011烟台调研）已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2 mx-3，对一切x∈（0， ∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围.
解 2xlnx≥-x2 mx-3，则m≤2lnx x 3x，
设h（x）=2lnx x 3x（x>0），则导数h′（x）=（x 3）（x-1）x2，令h′（x）=0，得x=1.
①当x∈（0，1）时，h′（x）<0，h′（x）单调递减；
②当x∈（1， ∞）时，h′（x）>0，h′（x）单调递增.
所以h（x）min=h（1）=4，对一切x∈（0， ∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
所以m≤h（x）min=4，即m≤4.