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摘 要：“抽象”是数学的本质特征。小学三年级的学生，思维正处在由具体形象思维向抽象逻辑思维发展的阶段。在教学中，解决数学的学科特点和学生思维之间的矛盾需要设计数学活动，积累基本经验。因此，“长方形的面积计算”一课的教学，首先要安排对具体材料的操作与实验，获取直接经验；其次，直接经验要内化为数学思考；再次，要对数学思考进行反思与抽象，概括出面积计算公式；最后，公式还需返回生活实际以解决具体问题。
关键词：基本活动经验；数学抽象；长方形的面积计算
“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，“抽象”是它的本质特征。所谓抽象，是指在认识过程中，舍弃事物个别的、非本质的属性，抽取出事物本质属性的过程和方法。“数学抽象”是指通过观察、比较和分析，从数量关系和空间形式方面揭示客观事物本质和规律的一种数学研究方法。小学三年级的学生，思维正处在由具体形象思维向抽象逻辑思维发展的阶段。数学的学科特点和学生的思维之间存在矛盾，解决这一矛盾的主要方法是设计数学活动，积累基本经验。如苏教版三年级下册“长方形的面积计算”，教材安排学生通过“测量”长方形面积的活动，发现和总结规律，抽象概括出长方形的面积计算公式。那么，如何基于基本活动经验来展开数学抽象呢？
因为“数学基本活动经验是学生通过自己所经历或从事的数学活动而获得的感性经验与直接经验”，所以，首先要安排对具体材料的操作与实验，获取直接经验；其次，直接经验要内化为数学思考；再次，要对数学思考进行反思与抽象，概括出面积计算公式；最后，公式还需返回生活实际以解决具体问题。
一、动手操作，获取直接经验
动手操作是学生学习数学的重要方式。摆一摆、量一量、画一画等“做”的过程，一方面可以把学生的注意力集中到眼前的活动，通过操作，获得对相关概念、公式、规律的一些感性认识；另一方面又为后续的观察、比较、猜测等思维活动提供了直观材料。在本課中，教师可以设计用若干个1平方分米的正方形，摆出一个长方形，然后让学生说出每排摆几个、摆了几排、一共有多少个面积单位、长方形的长和宽以及面积分别是多少，并提出：你发现了什么？学生汇报后，形成了表1。
在汇报的同时安排质疑。比如：为什么每排摆5个，长就是5分米？摆3排，宽就是3分米？为什么长方形面积是15平方分米？质疑的目的是引导学生边做边想，如果只见操作而没有想的过程，将“想”淹没在“做”的过程中，就违背了设计操作的初衷。比如，为什么每排摆5个，长就是5分米？因为每个正方形的边长是1分米，5个1分米相加就是5分米。进一步观察，会发现：每排摆几个，长就是几分米。这样就把动手操作和数学思考结合起来了。
用小正方形拼摆长方形，是学生的生活经验，要把生活经验转化为数学活动经验，需要数学问题的适时介入。当学生从活动中抽身，借助“你发现了什么”对活动“反省抽象”，会发现：用边长1分米的正方形来摆，每排摆几个，长就是几分米；摆几排，宽就是几分米；一共有多少个面积单位，长方形的面积就是多少平方分米。这里，学生通过亲自“做”获取了直接经验，而获得的直接经验将是后续进一步思考的依据。
形式化是数学的特点之一。如果数学距离学生的生活越来越远，学生对数学的学习会产生“畏惧”。而对具体材料的实验与操作，手脑并用，产生“对某个对象的发生式定义——如何把它做出来”，新知的学习就成了令人难忘的探索之旅。在操作的同时，要明确提出需思考的数学问题，如果缺少对问题的关注与思考，学生就极容易陷入具体的情境，被外在的学具的颜色、形状、质地等吸引，这样的操作活动就流于形式，更谈不上把生活经验转化为数学活动经验。
二、过程内化，转为数学思考
人类的学习，一般是沿着动作、表象、符号的路径，达到对事物的认知。新知的学习，是在已有知识与经验基础之上的深化和发展。要把直接经验转化为数学思考，往往需要经历多层次的活动。数学概念具有“两重性”，一个数学概念由过程向对象转化，内在的心理机制是“过程的内化、压缩到对象的实体化或对象化”。“过程的内化”是一个操作过程，在本环节可以安排如下的活动。
活动一：求出长是4分米，宽是3分米的长方形面积。要求学生先想一想，再摆一摆，验证自己的想法是否正确。交流环节，教师有意识地安排全部摆满、不摆满、只标出记号（用1分米分别去量长和宽，做出记号）的分别汇报。这里的反馈顺着学生的思维实际，既展示了不同学生数学思考的真实情况，又体现了逐步简化的过程。在此基础上引导优化，学生会发现，不用测量，根据长和宽是几分米，“想”用1分米量的过程（如：因为4里面有4个1，所以一排摆4个；3里面有3个1，所以摆3排），同样可以推算出长方形的面积。这里，学生会悄悄地运用操作获取的经验进行思考。
活动二：给出图形，没有告诉长和宽各是多长，要求学生求出它的面积。交流时，分别让用面积单位去度量和直接测量长和宽的同学汇报。引导比较两种方法的异同，学生会发现：用面积单位去度量一排摆几个、有几排和直接测量长和宽只是形式不同，实质是一回事。因为面积单位的边长是“1”，长里面有几个“1”，长就是几，也就是一排摆几个；宽里面有几个“1”，宽就是几，即是有几排。如果直接测量得出长和宽的数据，推算出一排摆几个，有几排，这种方法反而方便。
活动三：求长是45米，宽是30米的长方形面积。主要有两种方法，一种是先画示意图再算，一种是直接列式计算。交流中，教师具体指导示意图的画法，并指出可以把示意图“画”在脑中，然后推算。“几何直观”是《义务教育数学课程标准》（2011年版）的核心词，它不仅是种意识，也是种技能，更是种思维方式。在推算长方形面积时，画出图形，把数据标在图上，对着图形思考：因为长度用“米”作单位，所以用边长1米的正方形来度量。长45米，沿着长一排可以摆45个正方形；宽30米，可以摆30行；长方形里面1平方米的个数是30个45，所以面积是45×30=1350（平方米）。结合具体的内容，有意识地渗透画图的策略，把画图、算式、推理有机结合，不仅有利于当前知识的学习，还有助于“几何直观”教学目标的达成。 从活动一到活动三，逐步提高要求，任由学生自由“操作”，增加了思维含量。通常的教学，经历活动一，使学生发现长方形面积计算公式就已足够，为什么还要安排后两个活动？因为实践操作获取的直接经验要转化为心理操作，需要一定的数量。没有一定的数量，“经验”会沉湎在情境的细节之中，而不容易被发现。当操作经过重复实施而被学生熟悉，“经验”就会和具体的情境分离，上升為“心理操作”，进入到“过程的压缩和对象化”。上面安排了三次求长方形面积的活动，每次求长方形面积，都要想“长、宽与每排摆的个数、摆的排数之间的对应关系”，多次反复，“长方形面积与长、宽之间的对应关系”就脱离了情境，上升为思考对象，思维活动逐步替代操作理解。
三、反思抽象，概括面积公式
把三次活动的图形及面积计算整体呈现，引导学生思考如下的问题：长方形的面积和什么有关？长方形的面积如何计算？
通过摆一摆、画一画、算一算，学生虽然解决了问题，但这种解决问题的方法是依据操作获取的直接经验。经过多次计算长方形的面积，长方形的面积与它所包含面积单位的数量的关系，面积单位的数量与每排摆的个数、摆的排数的关系，长方形的面积与长、宽之间的内在联系逐渐浮出水面而被学生理解，在此基础上，要引导学生展开数学思考以发现一般规律。而要发现规律，关键是“反省抽象”，把亲身经历的活动作为思考的对象。如通过对“长方形的面积和什么有关”的思考，学生发现：长方形的面积=面积单位的数量，面积单位的数量=每排摆的个数×摆的排数，每排摆的个数=长，摆的排数=宽，所以“长方形面积=长×宽”。这里的推理过程相当复杂，但依据直接经验及表象，学生能发现内在的数量关系，构造数学规律，思维达到对知识本质的认识。
四、回归生活，运用思想方法
解题既是抽象知识的具体化过程，又可从中学到新的知识、技能和方法，可以安排如下练习。
1. 如图1，每个正方形的边长是1米，长方形的面积是多少平方米？
2. 一幅长方形十字绣，长8米，宽5米。给这幅十字绣裱一个画框，至少需要多长的木条和多大的玻璃？
通常的教学，在归纳出长方形面积公式后，就直接运用公式解决问题，而不太重视“视觉—空间”表征。“视觉—空间”表征是指对长方形面积首先形成视觉图式，接着对面积单位的个数和计算方法进行对应，形成空间图式。如练习1，可以想每排有几个、有几排，或者由每排有几个、有几排得出长和宽各是多少，进而算出面积，不是仅仅直接运用公式。重视“视觉—空间”表征，有利于学生空间关系的形成。
在学完长方形面积后，学生经常犯的错误是把面积和周长弄混。题目明明求的是面积，学生算的确是周长。如果重视“比较”，重视从意义、计算方法和单位名称等方面进行区分，将有助于学生判断题目究竟要求的是什么。如练习2，要求学生画出图形，标出数据。问题“至少需要多长的木条”是求周长，而“需要多大的玻璃”求的则是面积。虽然教材的编排把长方形的周长和面积分别安排在三年级的上册和下册，但在教的时候，教师可以发挥自己的主观能动性，把周长和面积作为一个整体，重视比较，在区别和联系中把握概念的本质内涵。
基于数学基本活动经验设计教学，经历对活动经验的概括与提炼获取数学知识，不仅有助于学生真正学好知识，还将有助于学生数学素养的全面提升。
关键词：基本活动经验；数学抽象；长方形的面积计算
“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，“抽象”是它的本质特征。所谓抽象，是指在认识过程中，舍弃事物个别的、非本质的属性，抽取出事物本质属性的过程和方法。“数学抽象”是指通过观察、比较和分析，从数量关系和空间形式方面揭示客观事物本质和规律的一种数学研究方法。小学三年级的学生，思维正处在由具体形象思维向抽象逻辑思维发展的阶段。数学的学科特点和学生的思维之间存在矛盾，解决这一矛盾的主要方法是设计数学活动，积累基本经验。如苏教版三年级下册“长方形的面积计算”，教材安排学生通过“测量”长方形面积的活动，发现和总结规律，抽象概括出长方形的面积计算公式。那么，如何基于基本活动经验来展开数学抽象呢？
因为“数学基本活动经验是学生通过自己所经历或从事的数学活动而获得的感性经验与直接经验”，所以，首先要安排对具体材料的操作与实验，获取直接经验；其次，直接经验要内化为数学思考；再次，要对数学思考进行反思与抽象，概括出面积计算公式；最后，公式还需返回生活实际以解决具体问题。
一、动手操作，获取直接经验
动手操作是学生学习数学的重要方式。摆一摆、量一量、画一画等“做”的过程，一方面可以把学生的注意力集中到眼前的活动，通过操作，获得对相关概念、公式、规律的一些感性认识；另一方面又为后续的观察、比较、猜测等思维活动提供了直观材料。在本課中，教师可以设计用若干个1平方分米的正方形，摆出一个长方形，然后让学生说出每排摆几个、摆了几排、一共有多少个面积单位、长方形的长和宽以及面积分别是多少，并提出：你发现了什么？学生汇报后，形成了表1。
在汇报的同时安排质疑。比如：为什么每排摆5个，长就是5分米？摆3排，宽就是3分米？为什么长方形面积是15平方分米？质疑的目的是引导学生边做边想，如果只见操作而没有想的过程，将“想”淹没在“做”的过程中，就违背了设计操作的初衷。比如，为什么每排摆5个，长就是5分米？因为每个正方形的边长是1分米，5个1分米相加就是5分米。进一步观察，会发现：每排摆几个，长就是几分米。这样就把动手操作和数学思考结合起来了。
用小正方形拼摆长方形，是学生的生活经验，要把生活经验转化为数学活动经验，需要数学问题的适时介入。当学生从活动中抽身，借助“你发现了什么”对活动“反省抽象”，会发现：用边长1分米的正方形来摆，每排摆几个，长就是几分米；摆几排，宽就是几分米；一共有多少个面积单位，长方形的面积就是多少平方分米。这里，学生通过亲自“做”获取了直接经验，而获得的直接经验将是后续进一步思考的依据。
形式化是数学的特点之一。如果数学距离学生的生活越来越远，学生对数学的学习会产生“畏惧”。而对具体材料的实验与操作，手脑并用，产生“对某个对象的发生式定义——如何把它做出来”，新知的学习就成了令人难忘的探索之旅。在操作的同时，要明确提出需思考的数学问题，如果缺少对问题的关注与思考，学生就极容易陷入具体的情境，被外在的学具的颜色、形状、质地等吸引，这样的操作活动就流于形式，更谈不上把生活经验转化为数学活动经验。
二、过程内化，转为数学思考
人类的学习，一般是沿着动作、表象、符号的路径，达到对事物的认知。新知的学习，是在已有知识与经验基础之上的深化和发展。要把直接经验转化为数学思考，往往需要经历多层次的活动。数学概念具有“两重性”，一个数学概念由过程向对象转化，内在的心理机制是“过程的内化、压缩到对象的实体化或对象化”。“过程的内化”是一个操作过程，在本环节可以安排如下的活动。
活动一：求出长是4分米，宽是3分米的长方形面积。要求学生先想一想，再摆一摆，验证自己的想法是否正确。交流环节，教师有意识地安排全部摆满、不摆满、只标出记号（用1分米分别去量长和宽，做出记号）的分别汇报。这里的反馈顺着学生的思维实际，既展示了不同学生数学思考的真实情况，又体现了逐步简化的过程。在此基础上引导优化，学生会发现，不用测量，根据长和宽是几分米，“想”用1分米量的过程（如：因为4里面有4个1，所以一排摆4个；3里面有3个1，所以摆3排），同样可以推算出长方形的面积。这里，学生会悄悄地运用操作获取的经验进行思考。
活动二：给出图形，没有告诉长和宽各是多长，要求学生求出它的面积。交流时，分别让用面积单位去度量和直接测量长和宽的同学汇报。引导比较两种方法的异同，学生会发现：用面积单位去度量一排摆几个、有几排和直接测量长和宽只是形式不同，实质是一回事。因为面积单位的边长是“1”，长里面有几个“1”，长就是几，也就是一排摆几个；宽里面有几个“1”，宽就是几，即是有几排。如果直接测量得出长和宽的数据，推算出一排摆几个，有几排，这种方法反而方便。
活动三：求长是45米，宽是30米的长方形面积。主要有两种方法，一种是先画示意图再算，一种是直接列式计算。交流中，教师具体指导示意图的画法，并指出可以把示意图“画”在脑中，然后推算。“几何直观”是《义务教育数学课程标准》（2011年版）的核心词，它不仅是种意识，也是种技能，更是种思维方式。在推算长方形面积时，画出图形，把数据标在图上，对着图形思考：因为长度用“米”作单位，所以用边长1米的正方形来度量。长45米，沿着长一排可以摆45个正方形；宽30米，可以摆30行；长方形里面1平方米的个数是30个45，所以面积是45×30=1350（平方米）。结合具体的内容，有意识地渗透画图的策略，把画图、算式、推理有机结合，不仅有利于当前知识的学习，还有助于“几何直观”教学目标的达成。 从活动一到活动三，逐步提高要求，任由学生自由“操作”，增加了思维含量。通常的教学，经历活动一，使学生发现长方形面积计算公式就已足够，为什么还要安排后两个活动？因为实践操作获取的直接经验要转化为心理操作，需要一定的数量。没有一定的数量，“经验”会沉湎在情境的细节之中，而不容易被发现。当操作经过重复实施而被学生熟悉，“经验”就会和具体的情境分离，上升為“心理操作”，进入到“过程的压缩和对象化”。上面安排了三次求长方形面积的活动，每次求长方形面积，都要想“长、宽与每排摆的个数、摆的排数之间的对应关系”，多次反复，“长方形面积与长、宽之间的对应关系”就脱离了情境，上升为思考对象，思维活动逐步替代操作理解。
三、反思抽象，概括面积公式
把三次活动的图形及面积计算整体呈现，引导学生思考如下的问题：长方形的面积和什么有关？长方形的面积如何计算？
通过摆一摆、画一画、算一算，学生虽然解决了问题，但这种解决问题的方法是依据操作获取的直接经验。经过多次计算长方形的面积，长方形的面积与它所包含面积单位的数量的关系，面积单位的数量与每排摆的个数、摆的排数的关系，长方形的面积与长、宽之间的内在联系逐渐浮出水面而被学生理解，在此基础上，要引导学生展开数学思考以发现一般规律。而要发现规律，关键是“反省抽象”，把亲身经历的活动作为思考的对象。如通过对“长方形的面积和什么有关”的思考，学生发现：长方形的面积=面积单位的数量，面积单位的数量=每排摆的个数×摆的排数，每排摆的个数=长，摆的排数=宽，所以“长方形面积=长×宽”。这里的推理过程相当复杂，但依据直接经验及表象，学生能发现内在的数量关系，构造数学规律，思维达到对知识本质的认识。
四、回归生活，运用思想方法
解题既是抽象知识的具体化过程，又可从中学到新的知识、技能和方法，可以安排如下练习。
1. 如图1，每个正方形的边长是1米，长方形的面积是多少平方米？
2. 一幅长方形十字绣，长8米，宽5米。给这幅十字绣裱一个画框，至少需要多长的木条和多大的玻璃？
通常的教学，在归纳出长方形面积公式后，就直接运用公式解决问题，而不太重视“视觉—空间”表征。“视觉—空间”表征是指对长方形面积首先形成视觉图式，接着对面积单位的个数和计算方法进行对应，形成空间图式。如练习1，可以想每排有几个、有几排，或者由每排有几个、有几排得出长和宽各是多少，进而算出面积，不是仅仅直接运用公式。重视“视觉—空间”表征，有利于学生空间关系的形成。
在学完长方形面积后，学生经常犯的错误是把面积和周长弄混。题目明明求的是面积，学生算的确是周长。如果重视“比较”，重视从意义、计算方法和单位名称等方面进行区分，将有助于学生判断题目究竟要求的是什么。如练习2，要求学生画出图形，标出数据。问题“至少需要多长的木条”是求周长，而“需要多大的玻璃”求的则是面积。虽然教材的编排把长方形的周长和面积分别安排在三年级的上册和下册，但在教的时候，教师可以发挥自己的主观能动性，把周长和面积作为一个整体，重视比较，在区别和联系中把握概念的本质内涵。
基于数学基本活动经验设计教学，经历对活动经验的概括与提炼获取数学知识，不仅有助于学生真正学好知识，还将有助于学生数学素养的全面提升。