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借助于临界点理论和亏函数的估计，得到了非负截曲率以及截曲率有下界的完备非紧流形微分同胚于欧氏空间的一些新的条件．并证明了下面的结果：完备非紧非负截曲率Riemann流形上，若对某个常数r0〉0，当r≤r0，密度函数〈√2r，则该流形微分同胚于欧氏空间；完备非紧截曲率有下界的Riemann流形上，若对某个常数r0〉0，当r≤r0，密度函数小于某个比较函数，当r〉ro时，直径增长小于另一无关的比较函数，则该流形微分同胚于欧氏空间．