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转化思想是一种重要的解题思想,是在解题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,從而求得问题答案的一种方法.在运用转化思想解题时,我们只有明确条件和结论之间的联系,将所学的知识、经验与题目关联起来,对问题进行合理变换、转化,才能化陌生为熟悉、化繁琐为简单、化抽象为具体,求得问题的答案.
一、化陌生为熟悉
当遇到一些较为陌生的问题时,我们可以结合已有的知识、经验展开联想,将相关的公式、定理、性质、法则等关联起来,从熟悉的解题方法、技巧入手,寻找解题的突破口,将陌生的问题转化为熟悉的题目来求解.
例1.
解析:我们若直接将x,y代入目标式中进行计算,很难求得问题的答案.而已知关系式与三角函数中的万能公式比较相似,可以令t =tan θ,则目标式可转化为,将该式看作椭圆的方程,于是问题就转化为我们熟悉的椭圆上一点到原点的距离的最值问题.根据椭圆的范围可知椭圆上的点到原点的距离的最大值点为(±2,0),最小值点为(0,±1),则的取值范围为[1,4].这样就可以轻松解题.
二、化繁琐为简单
当遇到较为繁琐的问题时,可运用转化思想,将问题转化为简单的问题来求解.在转化问题时,要尝试运用换元法、向量法、定义法、构造法、数形结合法等将问题中的代数式、图形简化,使复杂的问题变得简单,易于求解.
例2.
解析:如果我们直接利用两点间的距离公式求|AF|、|BF|,运算量比较大.仔细分析题目可以发现,|AF|+|BF|=4与抛物线的定义比较接近,可以根据抛物线的定义来解题.
解:
我们从抛物线的定义入手,运用转化思想,将问题化繁为简,快速求得问题的答案.
三、化抽象为具体
有些函数、方程、不等式、向量问题较为抽象,此时我们可以运用转化思想,挖掘函数式、方程式、不等式、向量的几何意义,绘制出相应的图形,化抽象为具体,借助图形来解题.
例3.
解析:
解:以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为x 轴,以 BC 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
借助几何图形,可将抽象的问题变得具体,能有效地降低解题的难度.
很多数学问题采用常规的方法求解较为困难.当解题受阻时,同学们要学会灵活运用转化思想,将问题进行合理转化,将陌生的、繁琐的、抽象的问题转化为熟悉的、简单的、具体的问题来求解.而要想合理转化问题,就需熟练掌握基础知识、方法,明晰它们之间的联系,这样才能找到最简捷的解题方法.
(作者单位:江苏省清江中学)
一、化陌生为熟悉
当遇到一些较为陌生的问题时,我们可以结合已有的知识、经验展开联想,将相关的公式、定理、性质、法则等关联起来,从熟悉的解题方法、技巧入手,寻找解题的突破口,将陌生的问题转化为熟悉的题目来求解.
例1.
解析:我们若直接将x,y代入目标式中进行计算,很难求得问题的答案.而已知关系式与三角函数中的万能公式比较相似,可以令t =tan θ,则目标式可转化为,将该式看作椭圆的方程,于是问题就转化为我们熟悉的椭圆上一点到原点的距离的最值问题.根据椭圆的范围可知椭圆上的点到原点的距离的最大值点为(±2,0),最小值点为(0,±1),则的取值范围为[1,4].这样就可以轻松解题.
二、化繁琐为简单
当遇到较为繁琐的问题时,可运用转化思想,将问题转化为简单的问题来求解.在转化问题时,要尝试运用换元法、向量法、定义法、构造法、数形结合法等将问题中的代数式、图形简化,使复杂的问题变得简单,易于求解.
例2.
解析:如果我们直接利用两点间的距离公式求|AF|、|BF|,运算量比较大.仔细分析题目可以发现,|AF|+|BF|=4与抛物线的定义比较接近,可以根据抛物线的定义来解题.
解:
我们从抛物线的定义入手,运用转化思想,将问题化繁为简,快速求得问题的答案.
三、化抽象为具体
有些函数、方程、不等式、向量问题较为抽象,此时我们可以运用转化思想,挖掘函数式、方程式、不等式、向量的几何意义,绘制出相应的图形,化抽象为具体,借助图形来解题.
例3.
解析:
解:以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为x 轴,以 BC 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
借助几何图形,可将抽象的问题变得具体,能有效地降低解题的难度.
很多数学问题采用常规的方法求解较为困难.当解题受阻时,同学们要学会灵活运用转化思想,将问题进行合理转化,将陌生的、繁琐的、抽象的问题转化为熟悉的、简单的、具体的问题来求解.而要想合理转化问题,就需熟练掌握基础知识、方法,明晰它们之间的联系,这样才能找到最简捷的解题方法.
(作者单位:江苏省清江中学)