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摘要：为了解铸铁在砂型铸模浇注后温度分布，对砂型铸模和铸铁的热物性参数进行计算；确定浇注后不同时刻、不同地点的浇注温度并绘制分布图进行分析。
关键词：铸件；数学模型；砂型；温度分布
【分类号】：TM621
1 铸件凝固传热数学模型
液态金属浇入铸型后在型腔内的冷却凝固过程，是一个通过铸型向周围环境散热的过程。在这个过程中，铸件和铸型的内部温度分布是随时间而变化的。由于影响铸件凝固过程的因素众多，在求解中把所有因素都考虑进去不太现实。因此对铸件凝固过程必须进行合理简化，一般作如下基本假设：
1）认为液态金属在瞬时充满铸型后开始凝固——假定初始液态金属温度为定值，或为已知各点的温度值。
2）不考虑液、固的流动——传热过程只考虑导热。
3）不考虑合金的过冷——假定凝固是从液相线温度开始，固相线温度结束。
根据以上假设则可得到铸件凝固传热数学模型。其一维系统如下：
在铸件中不稳定导热的控制方程表达式为
（1-1）
式中， 分别为铸件金属的密度、热导率、比热容， 为结晶潜热 。式（1-1）左边表示铸件中的热积蓄项，右边第一项表示热导率，第二项为潜热。
在铸型中，不穩定导热的控制方程的表达式为
（1-2）
式中， 分别为铸型材料的密度、热导率、比热容。
初始条件的处理：根据前述基本假设1），认为铸型被瞬时充满，故有
（在铸件区域中）
（在铸型区域中）
一般 定为等于或略低于浇注温度， 为室温或铸型预热温度。假定在浇注瞬间，因铸件尚未开始凝固，铸型和液态金属的接触式完全的，其共同的界面温度为 。除了界面附近外，离界面较远处的液态金属和铸型温度尚未来得及变化，仍保持浇注温度 和浇注时的铸型温度 。
下面分析求 和界面附近温度的过程。在界面附近可以假定只有一维导热，即服从：
（1-3）
式中， 为热扩散 ， 。上式的通解为
（1-4）
式中， 为高斯误差函数，可查表求得。其性质为： ， ； ， ； ， 。可得 的值在-1～1之间。
在铸件一侧，当 时， ； 时， 。分别代入式（1-4），可得
；
于是有
（1-5）
在铸型一侧，当 时， ； 时， 。分别代入式（1-4）可得
；
于是有
（1-6）
式中， 、 分别为铸件和铸型的温度； 、 分别为铸件和铸型的热扩散率。
在界面上应有
（1-7）
因为
所以代入式（1-7）后得
（1-8）
式中， ， 分别为铸件和铸型的蓄热系数， 。[1]
2 铸铁在砂型铸模浇注后温度分布
2.1砂型的选择及其热物性
砂型的热物性是直接影响铸件充型与凝固过程和质量的重要的基本性能之一。然而由于型砂属于多孔性非均匀变热物性材料，且在使用过程中工艺条件也千差万别，影响因素极多，其热物性值除了与温度有关外，还与原砂的组成、粒度分布、粘结剂种类和加入量、水分含量、容量和均匀性的因素有关，且目前尚无统一标准。[2]
2.1.1 型砂配方及混砂工艺
本文所选型砂取自实际生产所用水玻璃石英砂其配方见表1。
表1 型砂配方及混砂工艺[3]
原材料 4#石英砂 5#石英砂 水玻璃 水 分 混砂工艺
水玻璃石英砂配比 50 50 8 4.5～5.2 干混1～2（min）
2.1.2 型砂比热容
热容 具有加和性，即一个由各种物质组成的混合物，其热容等于各组成物质的热容只和，对于固体化合物也有类似规律，这就是纽曼—卡普特定律，数学表达式为：
（2-1）
式中： 、 、 、 分别为混合物的质量、组元 的质量、混合物的比热容
组元 的比热容。[4]
砂型的比热容 ，本文以原砂的主要成分 和 的比热容来近似替代型砂的比热容 ，石英砂近似的取 和 的含量分别为95%和5%，根据式（2-1）可计算出型砂的比热容近似为：
（2-2）
由于在不同温度下砂型的比热容变化不大，所以为了方便计算本文假定其为定值：
。
2.1.3 铸型密度
因为铸型密度 变化很小，可认为是常数，同时为了简便起见，假设其密度是各处均匀一致的而以平均密度来代替铸型密度，本文密度为： 。
2.1.4 热扩散率 和热导率
石英砂的热扩散率计算公式：
（2-3）
由于在不同温度下砂型的热扩散率变化不大，所以为了方便计算本文假定其为定值：
。
石英砂的热导率计算公式：
（2-4）
由于在不同温度下砂型的热导率变化也不大，所以为了方便计算本文假定其为定值：
。
2.2铸铁的热物性及其浇注温度
2.2.1 铸铁的热物性
本文所用铸铁的热物性参数见表2。
表2 铸铁的热物性参数[5]
材 料 热导率
/
比热容
/
密度
/
热扩散率
/ 铸 铁 46.5 753.6 700
2.2.2 浇注温度
浇注温度对液态金属的充型能力有决定性的影响。浇注温度越高，充型能力越好。在一定的温度范围内，充型能力随浇注温度的提高而直线上升。但实际生产中浇注温度要根据多方面因素综合考虑。铸铁的浇注温度见表3。
表3 铸铁的浇注温度[6]
铸铁牌号 铸件主要壁厚（mm） 铁水温度℃
HT100 所有尺寸 1370～1390
HT150 4～8 1430
8～15 1425
15～30 1420
30～50 1400
>50
HT200 6～15 1450
15～50 1440
>50 1430
HT250 8～30 1460
>30 1440
HT300 15～50 1470
>50 1450
HT350HT400 15～30 1480
30～50 1470
>50 1460
球墨铸铁 4～15 1470
15～30 1460
>50 1450
可锻铸铁 <8 1460
8～12 1450
>12 1440
本文铸件为无限大平板，所以铸件的浇注温度选择1450 及为 。
2.3浇注后温度分布状况
根据公式 和表2数据可以求出铸铁的蓄热系数为 ，根据砂型的热物性参数可以求出砂型的蓄热系数为 ，假定砂型的温度为室温即 ，浇注温度 ，所以由式（1-8）可求的 。
2.3.1 浇注后铸件一侧温度分布
由表2可知铸铁的热扩散率为 ，本文选取浇铸后0.02h、0.2h和0.5h时刻的离界面的距离 分别为0.02m、0.04m、0.06m、0.08m、0.1m处，将 、 、 和 、 分别带入式（1-5）得表4。
表4 铸件一侧温度分布
距离（x/m）
时间（t/h）
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.02 1569.68 1634.16 1668.67 1682.22 1686.12
0.2 1510.53 1538.46 1564.75 1588.57 1609.73
0.5 1500.26 1518.54 1536.41 1553.45 1569.68
2.3.2 浇注后铸型一侧温度分布
砂型的热扩散率为 ，选取浇铸后0.02h、0.2h和0.5h時刻的离界面的距离 分别为-0.02m、-0.04m、-0.06m、-0.08m、-0.1m处，将 、 、 和 、 分别带入式（1-6）得表5。
表5 铸型一侧温度分布
距离（x/m）
时间（t/h）
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
0.02 257.65 257.15 257.15 257.15 257.15
0.2 596.37 293.89 259.60 257.17 257.16
0.5 870.69 473.91 310.18 265.84 258.13
2.3.3 铸件—铸型温度分布模型
4结 论
（1）砂型模具的吸热能力及其热容较小。
（2）砂型模具单位时间通过分界面的热流量很少。
（3）随着浇注时间的延长，砂型模具分界面的温度有较小变化。
（4）砂型模具导热性较差。
参考文献
[1] 吴树森，柳玉起.材料成型原理[M].2版.北京：机械工业出版社，2008.31-33.
[2] 纪静，李培耀，沈元勋，等.型砂热物性的实验研究[N].上海工程技术大学学报，1996（2）.
[3] 纪静，李培耀，沈元勋，等.型砂热物性的实验研究[N].上海工程技术大学学报，1996（2）.
[4] 高德明，邵华，吕志军.凝固模拟所用砂型热物性参数的测定和研究[J].铸造技术，2002，5（23）：311-313.
[5] 吉泽升，朱荣凯，李丹.传输原理[M].2版.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2005.252.
[6] 张伯明.铸造技术手册[M].北京：机械工业出版社，2002：561.
关键词：铸件；数学模型；砂型；温度分布
【分类号】：TM621
1 铸件凝固传热数学模型
液态金属浇入铸型后在型腔内的冷却凝固过程，是一个通过铸型向周围环境散热的过程。在这个过程中，铸件和铸型的内部温度分布是随时间而变化的。由于影响铸件凝固过程的因素众多，在求解中把所有因素都考虑进去不太现实。因此对铸件凝固过程必须进行合理简化，一般作如下基本假设：
1）认为液态金属在瞬时充满铸型后开始凝固——假定初始液态金属温度为定值，或为已知各点的温度值。
2）不考虑液、固的流动——传热过程只考虑导热。
3）不考虑合金的过冷——假定凝固是从液相线温度开始，固相线温度结束。
根据以上假设则可得到铸件凝固传热数学模型。其一维系统如下：
在铸件中不稳定导热的控制方程表达式为
（1-1）
式中， 分别为铸件金属的密度、热导率、比热容， 为结晶潜热 。式（1-1）左边表示铸件中的热积蓄项，右边第一项表示热导率，第二项为潜热。
在铸型中，不穩定导热的控制方程的表达式为
（1-2）
式中， 分别为铸型材料的密度、热导率、比热容。
初始条件的处理：根据前述基本假设1），认为铸型被瞬时充满，故有
（在铸件区域中）
（在铸型区域中）
一般 定为等于或略低于浇注温度， 为室温或铸型预热温度。假定在浇注瞬间，因铸件尚未开始凝固，铸型和液态金属的接触式完全的，其共同的界面温度为 。除了界面附近外，离界面较远处的液态金属和铸型温度尚未来得及变化，仍保持浇注温度 和浇注时的铸型温度 。
下面分析求 和界面附近温度的过程。在界面附近可以假定只有一维导热，即服从：
（1-3）
式中， 为热扩散 ， 。上式的通解为
（1-4）
式中， 为高斯误差函数，可查表求得。其性质为： ， ； ， ； ， 。可得 的值在-1～1之间。
在铸件一侧，当 时， ； 时， 。分别代入式（1-4），可得
；
于是有
（1-5）
在铸型一侧，当 时， ； 时， 。分别代入式（1-4）可得
；
于是有
（1-6）
式中， 、 分别为铸件和铸型的温度； 、 分别为铸件和铸型的热扩散率。
在界面上应有
（1-7）
因为
所以代入式（1-7）后得
（1-8）
式中， ， 分别为铸件和铸型的蓄热系数， 。[1]
2 铸铁在砂型铸模浇注后温度分布
2.1砂型的选择及其热物性
砂型的热物性是直接影响铸件充型与凝固过程和质量的重要的基本性能之一。然而由于型砂属于多孔性非均匀变热物性材料，且在使用过程中工艺条件也千差万别，影响因素极多，其热物性值除了与温度有关外，还与原砂的组成、粒度分布、粘结剂种类和加入量、水分含量、容量和均匀性的因素有关，且目前尚无统一标准。[2]
2.1.1 型砂配方及混砂工艺
本文所选型砂取自实际生产所用水玻璃石英砂其配方见表1。
表1 型砂配方及混砂工艺[3]
原材料 4#石英砂 5#石英砂 水玻璃 水 分 混砂工艺
水玻璃石英砂配比 50 50 8 4.5～5.2 干混1～2（min）
2.1.2 型砂比热容
热容 具有加和性，即一个由各种物质组成的混合物，其热容等于各组成物质的热容只和，对于固体化合物也有类似规律，这就是纽曼—卡普特定律，数学表达式为：
（2-1）
式中： 、 、 、 分别为混合物的质量、组元 的质量、混合物的比热容
组元 的比热容。[4]
砂型的比热容 ，本文以原砂的主要成分 和 的比热容来近似替代型砂的比热容 ，石英砂近似的取 和 的含量分别为95%和5%，根据式（2-1）可计算出型砂的比热容近似为：
（2-2）
由于在不同温度下砂型的比热容变化不大，所以为了方便计算本文假定其为定值：
。
2.1.3 铸型密度
因为铸型密度 变化很小，可认为是常数，同时为了简便起见，假设其密度是各处均匀一致的而以平均密度来代替铸型密度，本文密度为： 。
2.1.4 热扩散率 和热导率
石英砂的热扩散率计算公式：
（2-3）
由于在不同温度下砂型的热扩散率变化不大，所以为了方便计算本文假定其为定值：
。
石英砂的热导率计算公式：
（2-4）
由于在不同温度下砂型的热导率变化也不大，所以为了方便计算本文假定其为定值：
。
2.2铸铁的热物性及其浇注温度
2.2.1 铸铁的热物性
本文所用铸铁的热物性参数见表2。
表2 铸铁的热物性参数[5]
材 料 热导率
/
比热容
/
密度
/
热扩散率
/ 铸 铁 46.5 753.6 700
2.2.2 浇注温度
浇注温度对液态金属的充型能力有决定性的影响。浇注温度越高，充型能力越好。在一定的温度范围内，充型能力随浇注温度的提高而直线上升。但实际生产中浇注温度要根据多方面因素综合考虑。铸铁的浇注温度见表3。
表3 铸铁的浇注温度[6]
铸铁牌号 铸件主要壁厚（mm） 铁水温度℃
HT100 所有尺寸 1370～1390
HT150 4～8 1430
8～15 1425
15～30 1420
30～50 1400
>50
HT200 6～15 1450
15～50 1440
>50 1430
HT250 8～30 1460
>30 1440
HT300 15～50 1470
>50 1450
HT350HT400 15～30 1480
30～50 1470
>50 1460
球墨铸铁 4～15 1470
15～30 1460
>50 1450
可锻铸铁 <8 1460
8～12 1450
>12 1440
本文铸件为无限大平板，所以铸件的浇注温度选择1450 及为 。
2.3浇注后温度分布状况
根据公式 和表2数据可以求出铸铁的蓄热系数为 ，根据砂型的热物性参数可以求出砂型的蓄热系数为 ，假定砂型的温度为室温即 ，浇注温度 ，所以由式（1-8）可求的 。
2.3.1 浇注后铸件一侧温度分布
由表2可知铸铁的热扩散率为 ，本文选取浇铸后0.02h、0.2h和0.5h时刻的离界面的距离 分别为0.02m、0.04m、0.06m、0.08m、0.1m处，将 、 、 和 、 分别带入式（1-5）得表4。
表4 铸件一侧温度分布
距离（x/m）
时间（t/h）
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.02 1569.68 1634.16 1668.67 1682.22 1686.12
0.2 1510.53 1538.46 1564.75 1588.57 1609.73
0.5 1500.26 1518.54 1536.41 1553.45 1569.68
2.3.2 浇注后铸型一侧温度分布
砂型的热扩散率为 ，选取浇铸后0.02h、0.2h和0.5h時刻的离界面的距离 分别为-0.02m、-0.04m、-0.06m、-0.08m、-0.1m处，将 、 、 和 、 分别带入式（1-6）得表5。
表5 铸型一侧温度分布
距离（x/m）
时间（t/h）
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.1
0.02 257.65 257.15 257.15 257.15 257.15
0.2 596.37 293.89 259.60 257.17 257.16
0.5 870.69 473.91 310.18 265.84 258.13
2.3.3 铸件—铸型温度分布模型
4结 论
（1）砂型模具的吸热能力及其热容较小。
（2）砂型模具单位时间通过分界面的热流量很少。
（3）随着浇注时间的延长，砂型模具分界面的温度有较小变化。
（4）砂型模具导热性较差。
参考文献
[1] 吴树森，柳玉起.材料成型原理[M].2版.北京：机械工业出版社，2008.31-33.
[2] 纪静，李培耀，沈元勋，等.型砂热物性的实验研究[N].上海工程技术大学学报，1996（2）.
[3] 纪静，李培耀，沈元勋，等.型砂热物性的实验研究[N].上海工程技术大学学报，1996（2）.
[4] 高德明，邵华，吕志军.凝固模拟所用砂型热物性参数的测定和研究[J].铸造技术，2002，5（23）：311-313.
[5] 吉泽升，朱荣凯，李丹.传输原理[M].2版.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2005.252.
[6] 张伯明.铸造技术手册[M].北京：机械工业出版社，2002：561.