在新课标中不等式知识主要集中在必修5的第三章不等式及选修4－5《不等式选讲》．由于新的课程标准注重数学知识在生活实际中的应用．因此首先要注重运用必修5中均值不等式、二元线性规划等知识解决经济生活中的最值问题及投入产出问题；其次由于解一元二次不等式的技能对解决其他数学问题有着重要作用，因此掌握各类不等式的解法并能熟练应用就是第一轮复习中必须解决的问题；最后不等式部分中蕴含着丰富的数学思想方法，同学们一定要细心体会并力争在解题过程中加以应用．
　　一、注重不等式在实际中的应用
　　新的课程标准的教学理念注重从实际中提出问题，注重用数学知识解决现实生活问题．因此在第一轮复习中对不等式在实际中的应用给予关注变得非常必要．
　　例1 用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度是后一次为前一次的[1k(k∈N*)].已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的[47]，请从这个实例中提炼出一个不等式组是 .
　　解析 敲击2次进入木板的部分为[47+47×1k][<1]；敲击3次全部进入木板，则[47+47k+47k2≥1],
　　∴不等式组为[47+47k<1,47+47k+47k2≥1.]
　　点拨 建立实际问题中的不等关系的关键是抓住其中制约目标的变量，只要变量找出来了就可以根据要求列不等式．
　　例2 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本[y](元)与月处理量[x](吨)之间的函数关系可近似地表示为[y＝12x2－200x＋80000]，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
　　（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
　　（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不不亏损？
　　解析 （1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为
　　[yx＝12x＋80000x－200≥212x⋅80000x－200＝200，]
　　当且仅当[12x=80000x]，即[x＝400]时，
　　才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.
　　（2）设该单位每月获利为[S]，
　　则[S＝100x－y＝100x－(12x2-200x+80000)]
　　[=12x2+300x-80000，]
　　若[S>0]，则[x2－600x＋160000<0]，其判别式[6002－4×160000<0]，该不等式无解，故该单位每月不能获利．
　　又[S＝100x－y＝-12(x－300)2－35000，]因为[400≤x≤600]，所以当[x＝400]时，[S]有最大值-40000.
　　故需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．
　　点拨 本题充分反映了不等式在解决实际问题中的作用．解决实际问题的基本方法之一，是建立其函数模型，根据一个函数的变化情况对实际问题作出解释和结论，建立的函数模型有时要根据不等式进行研究．
　　例3 铁矿石[A]和[B]的含铁率[a]，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量[b]及每万吨铁矿石的价格[c]如下表：
　　[&[a]&[b](万吨)&[c](百万元)&[A]&50%&1&3&[B]&70%&0.5&6&]
　　某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求CO2的排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用为 百万元．
　　解析 可设需[A]矿石[x]万吨，[B]矿石[y]万吨，则根据题意得到可行域为[x≥0,y≥0,0.5x+0.7y≥1.9,x+0.5y≤2.]
　　又[z＝3x＋6y]为目标函数，当目标函数经过(1,2)点时，目标函数取得最小值，最小值为[zmin＝]3×1＋6×2＝15.
　　例4 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C. 另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
　　解析 设应当为该儿童预订[x]个单位的午餐，[y]个单位的晚餐，所花的费用为[z]，则依题意[x、y]满足条件[12x+8y≥64,6x+6y≥42,6x+10y≥54,x∈N,y∈N,]即[3x+2y-16≥0,x+y-7≥0,3x+5y-27≥0,x∈N,y∈N.]
　　目标函数为[z＝2.5x＋4y]，作出二元一次不等式组所表示的平面区域(图略). 把[z＝2.5x＋4y]变形为[y＝-58x＋z4]，我们得到一组斜率为[-58]、在[y]轴上的截距为[z4]的随[z]变化的平行直线．
　　由图可知，当直线[y＝-58x＋z4]经过可行域上的点[M](即直线[x＋y－7＝0]与直线[3x＋5y－27＝0]的交点)时截距最小，即[z]最小．
　　解方程组得点[M]的坐标为(4,3)，
　　所以[zmin＝22].
　　答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚餐，所花的费用最少，且最少费用为22元．
　　二、 注意熟练掌握一元二次不等式的解法及在解决数学问题中的作用
　　一元二次不等式的解法是解其他个各类不等式的基础，因此需要熟练掌握．
　　例5 若关于[x]的不等式[-12x2＋2x>mx]的解集是[{x|0　　A．1 B．2 C．3 D．4
　　解析 因为[-12x2＋2x>mx]的解集是[{x|00]的解集为(0,2)，则关于[x]的方程[-12x2＋(2－m)x=0]的两根为[x＝0]或[x＝2]，当[x＝0]时，[-12x2＋(2－m)x=0]，等式恒成立；当[x＝2]时，解得[m＝1]. 故选A.
　　例6 解关于[x]的不等式：[ax2－(2a＋1)x＋2<0].
　　解析 不等式[ax2－(2a＋1)x＋2<0]，
　　即[(ax－1)(x－2)<0].
　　（1）当[a>0]时，不等式可以化为[(x-1a)(x－2)<0].
　　①若[02]，
　　此时不等式的解集为(2,[1a])；
　　②若[a=12]，则不等式为([x－2)2<0]，不等式的解集为∅；
　　③若[a>12]，则[1a<2]，此时不等式的解集为([1a,2]).
　　（2）当[a＝0]时，不等式即[－x＋2<0]. 此时不等式的解集为[(2,＋∞)]．
　　（3）当[a<0]时，不等式可以化为[(x-1a)(x－2)>0]. 由于[1a<2]，故不等式的解集为[(-∞,1a)]∪[(2,＋∞).]
　　综上所述：当[a<0]时，不等式的解集为[(-∞,1a)]∪[(2，＋∞)]；
　　当[a＝0]时，不等式的解集为[(2，＋∞)]；
　　当[0　　当[a=12]时，不等式的解集为∅；
　　当[a>12]时，不等式的解集为([1a,2]).
　　点拨 含参数的不等式在近几年的高考中单独出现机会并不多．但是作为一种训练分类思想的题型还是应该在复习中给予注意．不仅如此，还要注意到它在解决其它数学问题中的作用．下面的例7可以佐证．
　　例7 已知函数[f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.]
　　（Ⅰ）讨论函数[f(x)]的单调性；
　　（Ⅱ）设[a≤-2]，证明：对任意[x1、x2∈(0,+∞)]，[|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|].
　　 解析 (Ⅰ) [f(x)]的定义域为[(0,+∞)]，[f ′(x)=a+1x+2ax=2ax2+a+1x].
　　当[a≥0]时，[f ′(x)>0]，故[f(x)]在[(0,+∞)]单调增加；当[a≤－1]时，[f ′(x)<0], 故[f(x)]在[(0,+∞)]单调减少；当[-1＜a＜0]时，令[f ′(x)]＝0,解得[x=-a+12a]，当[x∈(0,-a+12a)]时, [f ′(x)>0]；[x∈(-a+12a,+∞)])时，[f ′(x)<0], 故[f(x)]在（0, [-a+12a]）单调增加，在（[-a+12a,+∞]）单调减少.
　　(Ⅱ)不妨假设[x1≥x2].
　　由于[a≤－2], 故[f(x)]在[(0,+∞)]单调减少，所以[|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|]等价于[f(x2)-f(x1)≥][4x1-4x2], 即[f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1].
　　令[g(x)=][f(x)+4x],
　　则[g′(x)=a+1x+2ax+4][=2ax2+4x+a+1x.]
　　于是[g′(x)≤-4x2+4x-1x=-(2x-1)2x≤0].
　　从而[g(x)]在[(0,+∞)]单调减少，故[g(x1)≤g(x2)]，即[f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2]，故对任意[x1、x2∈(0,][+∞)]，[f(x1)-f(x2)≥4x1-4x2.]
　　点拨 本题第（Ⅰ）小题关键是含参一元二次不等式的解法．第（Ⅱ）小题的关键是转化成常规的不等式恒成立问题．
　　三、 对蕴含在不等式板块的数学思想方法的体会及运用
　　在不等式部分的数学思想有等价转化思想，分类思想及数形结合思想．这一部分涉及到的具体的数学方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．同学们在复习中要认真体会掌握这些数学思想及数学方法．等价转化思想、分类思想及数形结合思想在例7、例6、例5中已有涉及．下面几例中的综合法和比较法的运用同学们要用心体会．
　　例8 [x>0]，函数[y=x+1x+16xx2+1]的最小值是（ ）
　　A. 16 B. 8 C. 4 D. 不确定
　　[解析 选B，y=x+1x+16xx2+1]
　　[=x+1x+16x+1x≥2(x+1x)16x+1x=8.]
　　例9 已知[x>0,y>0,2x+3y=1]，求证：[1x+1y≥5+26.]
　　解析 [1x+1y]=[(1x+1y)(2x+3y)=5+(2xy+3yx)]
　　[≥5+22xy⋅3yx=5+26]，
　　当且仅当[2xy=3yx]即[2x2=3y2]时等号成立.
　　另证：[1x+1y]=[2x+3yx+2x+3yy=5+(2xy+3yx)][≥5+22xy⋅3yx=5+26]．
　　点拨 例8、例9这类根据需求证式子的结构，变形出可运用均值不等式或其推论的形式，凑出常数因子，考虑等号可取，是解决这类问题的基本思路，也是综合法的一种．
　　例10 设[a、b]是非负实数，求证：[a3+b3≥][ab(a2+b2)]．
　　解析 （方法一）[a3+b3-ab(a2+b2)]
　　[=a2a(a-b)+b2b(b-a)]
　　[=(a-b)[(a)5-(b)5]]
　　[=(a-b)2[(a)4+(a)3(b)+(a)2(b)2+]
　　 [(a)(b)3+(b)4].]
　　因为实数[a、b≥0]，[(a-b)2≥0,]
　　[[(a)4+(a)3(b)+(a)2(b)2+(a)(b)3+(b)4]≥0,]
　　所以[a3+b3≥ab(a2+b2)]．
　　（方法二）由[a、b]是非负实数，作差得
　　[a3+b3-ab(a2+b2)=a2a(a-b)+b2b(b-a)=(a-b)[(a)5-(b)5] .]
　　当[a≥b]时，[a≥b]，从而[(a)5≥(b)5]，得[(a-b)[(a)5-(b)5]≥0]；
　　当[a0]；
　　所以[a3+b3≥ab(a2+b2)]．
　　点拨 证明不等式是选修4-5不等式选讲的内容．本题主要是通过考查证明不等式的基本方法——比较法来达到考查考生推理论证的能力．
　　【专题训练七】
　　1．不等式[x-1x2-4]>0的解集为 （ ）
　　A. (-2, 1)
　　B. (2, +∞)
　　C. (-2, 1)∪(2, +∞)
　　D. (-∞, -2)∪(1, +∞)
　　2．下列四个数中最大的是（ ）
　　A. [(ln2)2] B. [ln(ln2)]
　　C. [ln2] D. [ln2]
　　3．设[a＞1],且[m=loga(a2+1),n=loga(a-1),][p=loga(2a)],则[m、n、p]的大小关系为（ ）
　　A. [n＞m＞p] B. [m＞p＞n]
　　C. [m＞n＞p] D. [p＞m＞n]
　　4．已知[a、b]为非零实数，且[a　　A. [a2　　C. [1ab2<1a2b] D. [ba　　5．已知[fx]是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的[k]，若[fk≥k2]成立，则[fk+1≥][k+12]成立，下列命题成立的是（ ）
　　A. 若[f3≥9]成立，则对于任意[k≥1]，均有[fk≥k2]成立
　　B. 若[f4≥16]成立，则对于任意的[k≥4]，均有[fk　　C. 若[f7≥49]成立，则对于任意的[k<7]，均有[fk　　D. 若[f4=25]成立，则对于任意的[k≥4]，均有[fk≥k2]成立
　　6．不等式[x-2x+1≤0]的解集是（ ）
　　A．[(-∞，-1)⋃(-1，2]] B．[[-1，2]]
　　C．[(-∞，-1)⋃[2，+∞)] D．[(-1，2]]
　　7．不等式[x2>x]的解集是（ ）
　　A．[-∞,0] B. [0,1]
　　C．[1,+∞] D. [-∞,0⋃1,+∞]
　　8．函数[y=a1-x(a>0，a≠1)]的图象恒过定点[A]，若点[A]在直线[mx+ny-1=0(mn>0)]上，则[1m+1n]的最小值为 ．
　　9．当[x∈(1，2)]时，不等式[x2+mx+4<0]恒成立，则[m]的取值范围是 ．
　　10．已知[x,y∈R+]，且[x+4y=1]，则[x⋅y]的最大值为 .
　　11. [a、b∈R+,α∈R,] 求证：[a+b>asin2α⋅bcos2α]
　　12. 若不等式[ax2＋bx＋c＞0]的解集为[{x|α＜x＜β}(0＜α＜β)]，求[cx2＋bx＋a＜0]的解集．
　　13．设[a]、[b]、[c]、[d]为正数，[a>b,c>d,][a+b>c+d，][ab=c d]，试确定[a]、[b]、[c]、[d]之间的大小关系．
　　【参考答案】
　　1. C 2. D 3. B 4. C 5. D 6. D 7. D
　　8．4 9． 10．[116] 11．略
　　12. [{x|x>1α]或[x<1β}]
　　13．[a>c>d>b]