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【摘要】数学思维方法是数学的精髓.本文针对工科数学教学中容易忽视对数学思维的理解及在教学中的渗透的现象,浅谈了加强数学思维方法教学的重要性并指出了两种有效的途径,结合教学实践给出了两个数学思维方法在教学中的渗透的应用案例。
【关键词】工科数学 数学思维 工科数学教学
【中图分类号】011 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)11(a)-0207-02
数学教育只注重传授数学知识是不够的,如何从“知识、能力、素质三要素”[1]进行素质教育是数学教师的已任。数学思维方法是数学教学中的重要内容之一。加强数学思维方法的教学对培养学生的数学能力,提高学生的数学素养具有重要作用。但在工科数学教学中,由于受客观条件的影响,往往容易出现一些忽视数学思维方法的教学现象。主要表现为:重教材与教法的研究,轻数学思维方法的探究;重传受知识,轻数学思维方法的提炼;重局部内容的讲授,轻数学思维方法的归纳概括;重基本技能的训练,轻数学思想方法的实践运用。随着科技的高速发展,数学应用的日益广泛,人们更加认识到数学思维的重要性。
工科数学中的数学思维模式主要可概括为:“结构化思维”、“线性化思维”、“建模思维”[2]三种模式,如何加强这方面的教学,结合多年的工科数学的教学实践及工科数学的教学内容,谈一谈我们的几点认识。
1 加强数学思维方法教学的重要性
数学思想是人们对数学本质的反映,是数学思维的结晶与概括。只有形成正确的数学观点,人们才会领会数学的本质,体会数学的真谛。加强数学思维方法教学的重要性可归纳如下五个方面。
1.1 有利于学生学到真正的数学知识
数学思维方法是具体数学知识的本质和内在联系的反映,数学思维方法融于数学知识之中,这充分揭示了数学思维方法的本质属性,又突出了数学思想方法在数学中的基有性和决定性。因此,在数学教学中加强数学思维方法的教学才能揭示数学的本来面目,才能使学生认识什么是数学并激发学生的学习兴趣,促进学生数学能力的发展。
1.2 有利于培养学生的数学意识
对于工科学生来讲,数学中的定理公式实际直接使用的很少,所学的知识长期不用也会淡忘,而思维方法一旦让学生掌握将长期发挥作用,并可迁移到别的学科,这就是所谓的“数学意识”。因此,在数学教学中不仅要考虑如何传授具体的数学知识,更重要的是在整个教学过程中重视数学思维方法的培养,让学生终生受益。
1.3 有利于提高教学质量
我们知道,在数学教学中,任何一个数学问题都有特定的数学思维与数学方法。教学中的难点,往往是由于数学思维与数学方法的更新、交替、综合应用而形成的。因此,要突破教学难点,更要有意识地应用数学思维方法来分散难点、化难为易。数学思维方法是学习数学中的最本质的东西,是学习数学理论与解题方法的精华。学生一旦掌握了数学思维方法,就可以从整体上把握数学知识,在知识的学习中既可以钻进去又可以跳出来,实现由“学会”到“会学”的转变,从而达到调动学生学习数学的主动性,提高教学质量。
1.4 有利于培养学生的辩证的唯物义观点
现实世界里的事物之间不仅存在着运动变化与相互联系,而且在一定条件下,相互对应的两个方面,如:已知与未知、特殊与一般、简单与复杂、数与形、变量与常量、有限与无限、正与反、近似与精确等又相互统一。因此,通过数学思维方法的教学,可以揭示这些辩证关系,培养学生的辩证观点,使学生掌握辩证的思维方法,逐步树立科学的世界观。
1.5 有利于提高学生的科学素养
加强数学思维方法的教学,可以揭示发现问题与解决问题的过程,使学生逐步掌握数学思维方法,增强思维的组织性、深刻性、独立性与灵活性;从数学思想方法的结构看,进行数学思维方法的教学,可以培养学生的抽象概括素质、推理素质以及整体意识、优化意识、化归与反思意识;数学问题来自于实践,反过来在社会实践中会用数学思维与方法解决问题才能体现其真正的价值,加强数学思维方法的教学,可培养学生用数学思维方式观察事物,用数学方法分析与解决问题。
2 数学思维在工科数学教学中的渗透
2.1 加强数学思维方法教学的途径
通过传授数学知识渗透数学思维的途径很多,主要可总结以下两个方面:
一、深入研究教材,挖掘提炼教材中的数学思维方法
数学知识蕰含着丰富的数学思维方法,即任何数学知识都可能成为数学思维方法的载体。深入研究教材,充分挖掘与提炼教材中的数学思维方法,是搞好数学思维方法教学的保证。
二、教学全过程渗透数学思维方法
在知识的形成过程中揭示数学思维方法。知识是思维的产物,没有思维就谈不上知识。因此在知识的形成过程揭示数学思维方法,可以使学生学习知识与学习数学思维方法同步,符合认识规律,便于学生掌握思想方法。
2.2 数学思维在教学中的渗透案例
案例一:多元函数极限的概念
在高等数学的学习中,学生们普遍地感到多元函数微积分学习较一元函数微积分难于理解与掌握。如多元函数的极限概念,(以二元函数为例)若直接引入二元函数的极限定义,学生们在理解上较困难,为了解决这个问题,我们采用结构式教学,使概念的引入做到深入浅出,使学生理解其中的数学思想。
教学目的:
使学生理解二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处极限定义语言:“”语言
方法过程:
(1)首先回顾一元函数的定义:
“任给,存在,当时,有”
(2)分析定义的结构:
(3)直线上点ｘ扩展为平面点(ｘ,ｙ),扩展上述结构
其中P点坐标为(x,y),P0点坐标为(x0,y0)
(4)由上述结构写出二元函数极限定义:
“任给,存在,当
时,有
”
这样,学生对二元函数极限的概念理解就感到容易多了,此时再适时的讲解定义中的注意点会收到很好的教学效果。
类似的,对高等数学中的二重积分、三重积分、一二类的线面积分等概念的引入都可采用上述方式讲解,从而化难为易,收到事半功倍的好效果。
案例二:三重积分的累次积分
重积分的累次积分确定是计算重积分的难点。二重积分的累次积分是通过曲顶柱体的体积计算引入了二重积分的累次积分,对初学者来说形象直观,便于理解与记忆使用。而三重积分的累次积分的确定,一般教材只是给出公式,学生对此有很多的困惑:为什么会这样？为加深学生对此的理解,我们利用建模思维引入三重积分的累次积分。
教学目的:
在特定条件下,给出三重积分在化累次积分过程中的物理背景假设,使学生理解计算三重积分的“先一后二”[3]法,从而确定三重积分的累次积分。
方法过程:
(1)明确三重积分的物理意义:当被积函数代表空间物体的密度时,三重积分表示物体的质量M
(2)设边界曲面与平行于ｚ轴的交点不多于两个,在xoy面上投影为D,视M为分布在平面质量片D上的质量,其密度为
其中,是过D内点(x,y)平行于z轴直线与的边界曲面交点的立标
(3)由二重积分的物理意义得
由此得到三重积分的先一后二法的计算公式,若在(2)中将往ｚ轴上投影,类似地可得到三重积分“先二后一”[3]法的计算公式。
(4)在平面区域D上化二重积分的累次积分即可得到三重积分的一个累次积分计算公式:
通过此种方法的讲解,学生就会很自然地理解三重积分的累次积分了。
参考文献
[1] 周远清,大学数学报告论坛论文集,高等教育出版社,2007,1-6.
[2] 孙红卫,于朝霞,工科数学中的数学思维,济南大学学报,2006,专辑:515—516.
[3] 同济大学数学教研室主编,高等数学第五版下册,高等教育出版社,2006,100—101.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】工科数学 数学思维 工科数学教学
【中图分类号】011 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)11(a)-0207-02
数学教育只注重传授数学知识是不够的,如何从“知识、能力、素质三要素”[1]进行素质教育是数学教师的已任。数学思维方法是数学教学中的重要内容之一。加强数学思维方法的教学对培养学生的数学能力,提高学生的数学素养具有重要作用。但在工科数学教学中,由于受客观条件的影响,往往容易出现一些忽视数学思维方法的教学现象。主要表现为:重教材与教法的研究,轻数学思维方法的探究;重传受知识,轻数学思维方法的提炼;重局部内容的讲授,轻数学思维方法的归纳概括;重基本技能的训练,轻数学思想方法的实践运用。随着科技的高速发展,数学应用的日益广泛,人们更加认识到数学思维的重要性。
工科数学中的数学思维模式主要可概括为:“结构化思维”、“线性化思维”、“建模思维”[2]三种模式,如何加强这方面的教学,结合多年的工科数学的教学实践及工科数学的教学内容,谈一谈我们的几点认识。
1 加强数学思维方法教学的重要性
数学思想是人们对数学本质的反映,是数学思维的结晶与概括。只有形成正确的数学观点,人们才会领会数学的本质,体会数学的真谛。加强数学思维方法教学的重要性可归纳如下五个方面。
1.1 有利于学生学到真正的数学知识
数学思维方法是具体数学知识的本质和内在联系的反映,数学思维方法融于数学知识之中,这充分揭示了数学思维方法的本质属性,又突出了数学思想方法在数学中的基有性和决定性。因此,在数学教学中加强数学思维方法的教学才能揭示数学的本来面目,才能使学生认识什么是数学并激发学生的学习兴趣,促进学生数学能力的发展。
1.2 有利于培养学生的数学意识
对于工科学生来讲,数学中的定理公式实际直接使用的很少,所学的知识长期不用也会淡忘,而思维方法一旦让学生掌握将长期发挥作用,并可迁移到别的学科,这就是所谓的“数学意识”。因此,在数学教学中不仅要考虑如何传授具体的数学知识,更重要的是在整个教学过程中重视数学思维方法的培养,让学生终生受益。
1.3 有利于提高教学质量
我们知道,在数学教学中,任何一个数学问题都有特定的数学思维与数学方法。教学中的难点,往往是由于数学思维与数学方法的更新、交替、综合应用而形成的。因此,要突破教学难点,更要有意识地应用数学思维方法来分散难点、化难为易。数学思维方法是学习数学中的最本质的东西,是学习数学理论与解题方法的精华。学生一旦掌握了数学思维方法,就可以从整体上把握数学知识,在知识的学习中既可以钻进去又可以跳出来,实现由“学会”到“会学”的转变,从而达到调动学生学习数学的主动性,提高教学质量。
1.4 有利于培养学生的辩证的唯物义观点
现实世界里的事物之间不仅存在着运动变化与相互联系,而且在一定条件下,相互对应的两个方面,如:已知与未知、特殊与一般、简单与复杂、数与形、变量与常量、有限与无限、正与反、近似与精确等又相互统一。因此,通过数学思维方法的教学,可以揭示这些辩证关系,培养学生的辩证观点,使学生掌握辩证的思维方法,逐步树立科学的世界观。
1.5 有利于提高学生的科学素养
加强数学思维方法的教学,可以揭示发现问题与解决问题的过程,使学生逐步掌握数学思维方法,增强思维的组织性、深刻性、独立性与灵活性;从数学思想方法的结构看,进行数学思维方法的教学,可以培养学生的抽象概括素质、推理素质以及整体意识、优化意识、化归与反思意识;数学问题来自于实践,反过来在社会实践中会用数学思维与方法解决问题才能体现其真正的价值,加强数学思维方法的教学,可培养学生用数学思维方式观察事物,用数学方法分析与解决问题。
2 数学思维在工科数学教学中的渗透
2.1 加强数学思维方法教学的途径
通过传授数学知识渗透数学思维的途径很多,主要可总结以下两个方面:
一、深入研究教材,挖掘提炼教材中的数学思维方法
数学知识蕰含着丰富的数学思维方法,即任何数学知识都可能成为数学思维方法的载体。深入研究教材,充分挖掘与提炼教材中的数学思维方法,是搞好数学思维方法教学的保证。
二、教学全过程渗透数学思维方法
在知识的形成过程中揭示数学思维方法。知识是思维的产物,没有思维就谈不上知识。因此在知识的形成过程揭示数学思维方法,可以使学生学习知识与学习数学思维方法同步,符合认识规律,便于学生掌握思想方法。
2.2 数学思维在教学中的渗透案例
案例一:多元函数极限的概念
在高等数学的学习中,学生们普遍地感到多元函数微积分学习较一元函数微积分难于理解与掌握。如多元函数的极限概念,(以二元函数为例)若直接引入二元函数的极限定义,学生们在理解上较困难,为了解决这个问题,我们采用结构式教学,使概念的引入做到深入浅出,使学生理解其中的数学思想。
教学目的:
使学生理解二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处极限定义语言:“”语言
方法过程:
(1)首先回顾一元函数的定义:
“任给,存在,当时,有”
(2)分析定义的结构:
(3)直线上点ｘ扩展为平面点(ｘ,ｙ),扩展上述结构
其中P点坐标为(x,y),P0点坐标为(x0,y0)
(4)由上述结构写出二元函数极限定义:
“任给,存在,当
时,有
”
这样,学生对二元函数极限的概念理解就感到容易多了,此时再适时的讲解定义中的注意点会收到很好的教学效果。
类似的,对高等数学中的二重积分、三重积分、一二类的线面积分等概念的引入都可采用上述方式讲解,从而化难为易,收到事半功倍的好效果。
案例二:三重积分的累次积分
重积分的累次积分确定是计算重积分的难点。二重积分的累次积分是通过曲顶柱体的体积计算引入了二重积分的累次积分,对初学者来说形象直观,便于理解与记忆使用。而三重积分的累次积分的确定,一般教材只是给出公式,学生对此有很多的困惑:为什么会这样？为加深学生对此的理解,我们利用建模思维引入三重积分的累次积分。
教学目的:
在特定条件下,给出三重积分在化累次积分过程中的物理背景假设,使学生理解计算三重积分的“先一后二”[3]法,从而确定三重积分的累次积分。
方法过程:
(1)明确三重积分的物理意义:当被积函数代表空间物体的密度时,三重积分表示物体的质量M
(2)设边界曲面与平行于ｚ轴的交点不多于两个,在xoy面上投影为D,视M为分布在平面质量片D上的质量,其密度为
其中,是过D内点(x,y)平行于z轴直线与的边界曲面交点的立标
(3)由二重积分的物理意义得
由此得到三重积分的先一后二法的计算公式,若在(2)中将往ｚ轴上投影,类似地可得到三重积分“先二后一”[3]法的计算公式。
(4)在平面区域D上化二重积分的累次积分即可得到三重积分的一个累次积分计算公式:
通过此种方法的讲解,学生就会很自然地理解三重积分的累次积分了。
参考文献
[1] 周远清,大学数学报告论坛论文集,高等教育出版社,2007,1-6.
[2] 孙红卫,于朝霞,工科数学中的数学思维,济南大学学报,2006,专辑:515—516.
[3] 同济大学数学教研室主编,高等数学第五版下册,高等教育出版社,2006,100—101.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”