论文部分内容阅读
摘 要：提出了一种构造偶周期三值自相关四元序列偶的新方法。构造得到的三值自相关四元序列偶具有良好的自相关特性。首先利用二阶分圆类构造出两个周期为2f的二元序列，然后对两个二元序列采用逆Gray映射，进而得到一个周期为2f的三值自相关四元序列偶。并对所得到的三值四元序列偶进行了重点研究，当f≥4时该四元序列偶具有良好的自相关特性，自相关函数分布与Fv的二阶分圆类（v=2f+1，f≥4）中的奇偶性有关，当f为奇数时副峰值为{-4，0}，当f为偶数时副峰值为{-2，2}。
关键词：三值四元序列偶;二阶分圆类;逆Gray映射;自相关函数;奇偶性
中图分类号：TN911.1 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2021）06-0062-04
A New Construction Method of Even Period Quaternary Sequence Pair with Three-level
SHI Yan
（Hebei Chemical & Pharmaceutical College，Shijiazhuang 050026，China）
Abstract：A new method for constructing even period quaternary sequence pair with three-level autocorrelation is proposed. The constructed quaternary sequence pair with three-level autocorrelation have good autocorrelation characteristics. First，two binary sequences with period of 2f are proposed by second order cyclotomic class，then a new qu-aternary pair with three-level autocorrelation with period 2f is obtained from those two binary sequences by using the reverse Gray mapping. The quaternary sequence pair with three-level is studied，when f≥4 the quaternary sequence pair has good properties of autocorrelation. The distribution of autocorrela-tion function is related to the parity in the second order cyclotomic class of Fv（v=2f+1，f≥4）. When f is odd，the sub peak is {-4，0}，and {-2，2} when f is even.
Keywords：quaternary sequence pair with three-level;second order cyclotomic class;reverse Gray mapping;autocorrelation function;parity
0 引 言
在空间遥测、现代通信、无线通信系统的信号设计等领域，通常要求信号具有良好的自相关特性，进而能够有效地提高系统的抗干扰、抗截获、抗衰落等能力。最佳二元序列是工程应用中最理想的循环相关信号，但经过学者们研究发现其存在空间受到很大限制，存在数量较少。在小于548964900的范围内仅存在长度为4的最佳二元序列[1]。为扩大可使用序列的应用空间范围，最佳三元序列、最佳四元序列、几乎最佳四元序列等信号相继被提出。但是这些信号的自相关函数是用序列与自身延迟序列的内积来表示，这种判定信号的最佳自相关特性的方法很大程度上限制了最佳信号的存在空间。为了克服这种判定方式上的限制，人们又提出了失配序列的概念。失配序列是根据通信双方可以使用不同序列的原则来设计的，即它是一对互相关函数为脉冲函數的序列信号，失配序列的提出进一步扩大了信号的存在空间。赵在文献[2]中第一次提出“偶”的概念，将失配序列有“偶”来表示，进而引入一种新的离散信号——序列偶，序列偶是将两个序列的互相关函数定义为这个序列偶的自相关函数，并以此来表征序列偶的最佳循环相关特性。在此基础上学者们先后构造出了很多具有良好自相关特性的序列偶，如二值三元序列偶[3]、三值四元序列偶[4]、三值二元序列偶[5]、最佳四元序列偶[6]和伪随机三元序列偶[7]等。
目前，学者们研究得到的，可用于工程中的最佳四进序列偶普遍存在峰值小、平衡性差、存在空间范围小等缺点。为了进一步扩大四元序列偶的存在空间，彭等在文献[4]中给出了一种偶周期三值四元序列偶的构造方法，并证明了偶周期三值四元序列偶的最大副峰值至少是2的特性。本文在文献[4]研究的基础上，提出了一种基于二阶分圆类和逆Gray映射构造偶周期三值自相关四元序列偶的新方法，该方法中用到了二阶分圆类和逆Gray映射。此外，本文还分析了当二阶分圆类中f的奇偶取值不同时，所得到的四元序列偶的自相关函数值的分布也会不同。通过本文研究，将为进一步满足工程应用中对具有良好自相关特性离散信号的需求。
1 基本定义及引理
定义1[8]：令x=（x0，x1，…，xN-1）和y=（y0，y1，…，yN-1）均是周期为N的序列，由序列x和y组成序列偶记为（x，y），则序列x与y的互相关函数： 被定义为序列偶（x，y）的自相关函数。其中，为单位元的第n次复根，j+τ=（j+τ）modN。当n=2时为二元序列偶，其元素为-1，+1，分别用0，1来表示;n=4时为四元序列偶，其元素为+1，+j，-1，-j，分别用0，1，2，3来表示。
注意：当两个序列相等时，即x=y时Rx（τ）为x序列的循环自相关函数被记作：
其中，当n=2时为二元序列，当n=4时为四元序列。
定义2[4]：设p和q是两个周期为N的四元序列，若序列偶（p，q）的自相关函数Rpq（τ）满足：
式中，j+τ=（j+τ）modN。F为四元序列偶（p，q）的峰值，E1，E2为副峰值。H为整数环上ZN的一个非零子集，则称序列偶（p，q）为三值自相关四元序列偶。
引理1[4]：设序列偶（p，q）是一个周期为N≡0（mod2）三值自相关四进序列偶，那么四进序列偶的最大副峰模值至少是2。
本文的下一部分将给出利用二阶分圆类、逆Gray逆映射来构造周期为N≡0（mod2）且副峰值是{-4，0}和{-2，2}的四进制序列偶的构造方法，按照引理1的结论可知本文得到的四进序列偶将具有很好的自相关特性。
定义3[9]：设v=2f+1为素数幂，Fv为v阶有限域，=
Fv＼{0}，设α为有限域Fv的本原元，ε=α2，在式中令= {αi，αiε，αiε2，…，αiεf-1}，0≤i≤1，那么称，为Fv的二阶分圆类。
定义4[9]：设v=ef+1为素数幂，对0≤i，j≤e-1，令：
或等价地：
则称（i，j）e为e阶分圆数。当无需指明e时，也常将（i，j）e简记为（i，j）。
引理2：设，则方程：x+g=y，的解的个数为（i-k，j-k）。
引理3：分圆数有如下一些性质：
（1），其中 ，;
（2） ;
（3） ;
（4） ;
（5） 。
定义5[9]：指示函数定义为：
定义6[10]：在有限域Fv中二阶特征函数被定义为：
φ（ατ）=（-1）τ
φ（0）=0
其中α为Fv的本原元，ατ∈，0≤t≤v-2。
定义7[11]：设a（t）和b（t）的二元序列，令?-1[a，b]为逆Gray映射，定义为：
运用逆Gray映射可以构造周期为N的四元序列q（t）=
?-1[a（t），b（t）]，进而q（t）可以表示为：
其中，。则四元序列q（t）表示为：
2 偶周期三值四元序列偶的构造方法
构造方法：设v=2f+1是一个奇素数，其中f≥4为v阶有限域，=Fv＼{0}，设α为Fv的本原元。偶周期三值四元序列偶的构造方法分为以下三个步骤：
第一步：令si={+1|0≤i≤1}，可以通过以下方法得到构造序列s（t）：
（1）
其中，上式中变量i，t，k0的取值分别为：0≤i≤1，0≤t≤v-2，k0∈{0，1}。此时应满足以下条件αf=1，，并且2∈s0。
第二步：根据定义3二阶分圆类、定义5指示函数、定义6二阶特征函数的表示方法，可以将序列s（t）表示为：
（2）
其中，ω2=-1。在这里可以分别取k0=0和k0=1，进而得到两个周期均为N=2f的序列，记为s0（t）和s1（t）。当k0=0时，带入公式（2）可得到：
（3）
当k0=1时，带入公式（2）可得到：
（4）
第三步：对这上述两个序列s0（t）和s1（t），使用逆Gray映射，得到两个周期为N=2f的四元序列p（t）和q（t）：
p（t）=?-1[s0（t），s0（t+f）] （5）
q（t）=?-1[s1（t），s1（t+f）] （6）
進而得到四元序列偶（p，q）。根据上述构造方法，可以得到下边的结论。
定理1：由式（5）和（6）构造得到的四元序列偶（p，q）周期为N=2f，其自相关函数的分布分为以下两种情况：
当f≥4且N≡0（mod4）时，其自相关函数分布为：
当f≥4且N≡2（mod4）时，其自相关函数分布为：
证明：根据定义1中序列偶的自相关函数的计算方法可知：
由定义5和定义6可进一步得到：
下文采用分步计算的方式来讨论、和的取值，进而推导出在不同情况下序列偶（p，q）的自相关函数Rpq（τ）的取值分布情况。
第一步：计算和的取值，根据构造方法第二步中推导出的式（3）和（4）可以得到以下结果：
下文根据τ的取值，分情况对 的取值进行讨论：
（1）当τ=0时，显然 ;
（2）当τ=f时， 。
式中，，所以上式等于 。
同理可得， 。
（3）当τ≠f且τ≠0时，经计算可得：
经过以上三种情况的计算和讨论可知 。进而得到结论 。
第二步：计算 ，由构造方法第二步中推导出的式（3）和（4）可以得到：
下文根据τ的取值，分情况对上述计算结果进行讨论： （1）当τ≠0时， 的计算式中各部分的取值为：
通过以上讨论和计算可以得到：
（2）当τ=0时，很显然 。
第三步：根据第二步的讨论可以知道 的取值与τ的取值和f的取值有密切的关系。下文将分情况对 的取值作进一步讨论。
（1）根据定义6可知，当f为偶数即N≡0（mod4）时， φ（-1）=1。
其中，当τ=0时， 。
当τ≠0时， 。
当τ≠0且为偶数时，Rpq（τ）=-2。
当τ≠0且为奇数时，Rpq（τ）=2φ（ατ-1）=-2或2。因為αt-1=αm，0≤m≤2f-1，所以当m为奇数时Rpq（τ）= -2，m为偶数时Rpq（τ）=2。
（2）当f为奇数即N≡2（mod4）时，φ（-1）=-1。
当τ=0时，Rpq（τ）=Rs0s1（τ）=2f-2;
当τ≠0时，-1;
当τ≠0且为偶数时，Rpq（τ）=2φ（ατ-1）-2=0或-4。因为αt-1=αm，0≤m≤2f-1，所以当m为奇数时Rpq（τ）=
-4，m为偶数时Rpq（τ）=0。
当τ≠0且奇数时，Rpq（τ）=0。
总结上面的两种情况，即f为偶数N≡0（mod4）和f为奇数N≡2（mod4）两种情况，由于自相关性良好的序列偶主峰值应远远大于副峰值的取值，且差值越大该序列偶的自相关性越好。因此f的取值大于等于4时，该构造方法得到的四元序列偶的自相关特性才较为良好，且f的取值越大四元序列偶的自相关特性越好。由此可知构造得到的四进序列偶的自相关函数值的分布为：
（1）当f为偶数且f≥4，即N≡0（mod4）时，其自相关函数分布为：
（2）当f为奇数且f≥4，即N≡2（mod4）时，其自相关函数分布为：
证毕。
举例1：v=2f+1是一个奇素数，其中v=13，进而推出f=6，本原元α=2。
使用文中的构造方法，构造得到两个周期为12的二元序列u0（t）和u1（t）：
u0（t）=（000111101001）
u1（t）=（100111101001）
对以上两个序列运用逆Gray映射，进而得到两个周期为12的四元序列p（t）和q（t）：
p（t）=（101332303112）
q（t）=（201332203112）
经计算四元序列偶（p，q）的周期为12，其自相关函数值为：
Rpq（τ）={10，-2，-2，2，-2，2，-2，-2，-2，-2，-2，2}。
举例2：v=2f+1是一个奇素数，其中v=11，进而推出f=5，本原元α=2。
使用文中的构造方法，构造得到两个周期为10的二元序列u0（t）和u1（t）：
u0（t）=（0001001110）
u1（t）=（1001001110）
对以上两个序列运用逆Gray映射，进而得到两个周期为10的四元序列p（t）和q（t）：
p（t）=（0112003320）
q（t）=（3112013320）
经计算四元序列偶（p，q）的周期为10，其自相关函数值为：
Rpq（τ）={10，0，-4，0，-4，0，0，0，0，0}。
3 结 论
本文中提出了一种新的构造三值自相关四元序列偶的方法，该方法具有良好的技术特性和应用特性：
（1）该方法构造出的三值四元序列偶自相关函数值的分布与f的奇偶性和f的取值大小有关，当f为奇数即N≡2（mod4）时副峰值为{-4，0}，主峰值为2f-2。当f为偶数即N≡0（mod4）时副峰值为{-2，2}，主峰值为2f-2。当f的取值大于等于4时，该构造方法得到的四元序列偶的自相关特性才较为良好，且f的取值越大四元序列偶的自相关特性越好。
（2）通过本文研究进一步建立了分圆类与四元序列偶之间的联系，丰富了四元序列偶的构造方法，同时为工程应用提供了更多的选择。
参考文献：
[1] MA X，WEN Q Y，ZHANG J. New Constructions of Binary Sequences with Op-timal Autocorrelation Magnitude Based on Interleaving Technique [J].The Insti-tute of Electronics，Information and Communication Engineers，2011（8）：1760-1763.
[2] 赵晓群，何文才，王仲文，等.最佳二进阵列偶理论研究 [J].电子学报，1999（1）：35-38.
[3] JIA Y G，DUAN X B，SHI Y，et al. The Constructions of Ternary Sequence Pairs with Two-Level Autocorrelation [J].Journal of Information & Computational Science，2014，11（13）：4605-4612.
[4] 彭秀平，许成谦，李刚.周期为偶数的三值自相关四进序列偶 [J].系统工程与电子技术，2012，34（10）：1999-2004.
[5] SHEN X M，JIA Y G，SONG X F. Constructions of Binary Sequence Pairs of Period 3p With Optimal Three-Level Correlation [J].IEEE Communication Letters，2017，21（10）：2150-2153.
[6] 许成谦，彭秀平.最佳四进阵列偶构造方法研究 [J].电子学报，2010，38（1）：6-12.
[7] 崔珊珊，许成谦.伪随机三元序列偶的研究 [J].电子技术，2007（Z3）：177-180.
[8] TANG X H，DING C S. New classes of balanced quaternary and almost ba-lanced binary sequences with optimal autocorrelation value [J].IEEE Transac-tions on Information Theory，2010，56（12）：6398-6405.
[9] 沈灏.组合设计理论 [M].上海：上海交通大学出版社，1996.
[10] KRONE S M. Quadriphase sequences for spread spectrum multiple-access communication [J].IEEE Transactions on，1984，30（3）：520-529.
[11] PENG X P，LIN H B，REN J D，et al. Constructions for almost perfect binary sequence pairs with even length [J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2018，29（2）：256-261.
作者简介：石妍（1989—）女，汉族，河北石家庄人，中级讲师，硕士，研究方向：扩频通信及信道编码。
关键词：三值四元序列偶;二阶分圆类;逆Gray映射;自相关函数;奇偶性
中图分类号：TN911.1 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2021）06-0062-04
A New Construction Method of Even Period Quaternary Sequence Pair with Three-level
SHI Yan
（Hebei Chemical & Pharmaceutical College，Shijiazhuang 050026，China）
Abstract：A new method for constructing even period quaternary sequence pair with three-level autocorrelation is proposed. The constructed quaternary sequence pair with three-level autocorrelation have good autocorrelation characteristics. First，two binary sequences with period of 2f are proposed by second order cyclotomic class，then a new qu-aternary pair with three-level autocorrelation with period 2f is obtained from those two binary sequences by using the reverse Gray mapping. The quaternary sequence pair with three-level is studied，when f≥4 the quaternary sequence pair has good properties of autocorrelation. The distribution of autocorrela-tion function is related to the parity in the second order cyclotomic class of Fv（v=2f+1，f≥4）. When f is odd，the sub peak is {-4，0}，and {-2，2} when f is even.
Keywords：quaternary sequence pair with three-level;second order cyclotomic class;reverse Gray mapping;autocorrelation function;parity
0 引 言
在空间遥测、现代通信、无线通信系统的信号设计等领域，通常要求信号具有良好的自相关特性，进而能够有效地提高系统的抗干扰、抗截获、抗衰落等能力。最佳二元序列是工程应用中最理想的循环相关信号，但经过学者们研究发现其存在空间受到很大限制，存在数量较少。在小于548964900的范围内仅存在长度为4的最佳二元序列[1]。为扩大可使用序列的应用空间范围，最佳三元序列、最佳四元序列、几乎最佳四元序列等信号相继被提出。但是这些信号的自相关函数是用序列与自身延迟序列的内积来表示，这种判定信号的最佳自相关特性的方法很大程度上限制了最佳信号的存在空间。为了克服这种判定方式上的限制，人们又提出了失配序列的概念。失配序列是根据通信双方可以使用不同序列的原则来设计的，即它是一对互相关函数为脉冲函數的序列信号，失配序列的提出进一步扩大了信号的存在空间。赵在文献[2]中第一次提出“偶”的概念，将失配序列有“偶”来表示，进而引入一种新的离散信号——序列偶，序列偶是将两个序列的互相关函数定义为这个序列偶的自相关函数，并以此来表征序列偶的最佳循环相关特性。在此基础上学者们先后构造出了很多具有良好自相关特性的序列偶，如二值三元序列偶[3]、三值四元序列偶[4]、三值二元序列偶[5]、最佳四元序列偶[6]和伪随机三元序列偶[7]等。
目前，学者们研究得到的，可用于工程中的最佳四进序列偶普遍存在峰值小、平衡性差、存在空间范围小等缺点。为了进一步扩大四元序列偶的存在空间，彭等在文献[4]中给出了一种偶周期三值四元序列偶的构造方法，并证明了偶周期三值四元序列偶的最大副峰值至少是2的特性。本文在文献[4]研究的基础上，提出了一种基于二阶分圆类和逆Gray映射构造偶周期三值自相关四元序列偶的新方法，该方法中用到了二阶分圆类和逆Gray映射。此外，本文还分析了当二阶分圆类中f的奇偶取值不同时，所得到的四元序列偶的自相关函数值的分布也会不同。通过本文研究，将为进一步满足工程应用中对具有良好自相关特性离散信号的需求。
1 基本定义及引理
定义1[8]：令x=（x0，x1，…，xN-1）和y=（y0，y1，…，yN-1）均是周期为N的序列，由序列x和y组成序列偶记为（x，y），则序列x与y的互相关函数： 被定义为序列偶（x，y）的自相关函数。其中，为单位元的第n次复根，j+τ=（j+τ）modN。当n=2时为二元序列偶，其元素为-1，+1，分别用0，1来表示;n=4时为四元序列偶，其元素为+1，+j，-1，-j，分别用0，1，2，3来表示。
注意：当两个序列相等时，即x=y时Rx（τ）为x序列的循环自相关函数被记作：
其中，当n=2时为二元序列，当n=4时为四元序列。
定义2[4]：设p和q是两个周期为N的四元序列，若序列偶（p，q）的自相关函数Rpq（τ）满足：
式中，j+τ=（j+τ）modN。F为四元序列偶（p，q）的峰值，E1，E2为副峰值。H为整数环上ZN的一个非零子集，则称序列偶（p，q）为三值自相关四元序列偶。
引理1[4]：设序列偶（p，q）是一个周期为N≡0（mod2）三值自相关四进序列偶，那么四进序列偶的最大副峰模值至少是2。
本文的下一部分将给出利用二阶分圆类、逆Gray逆映射来构造周期为N≡0（mod2）且副峰值是{-4，0}和{-2，2}的四进制序列偶的构造方法，按照引理1的结论可知本文得到的四进序列偶将具有很好的自相关特性。
定义3[9]：设v=2f+1为素数幂，Fv为v阶有限域，=
Fv＼{0}，设α为有限域Fv的本原元，ε=α2，在式中令= {αi，αiε，αiε2，…，αiεf-1}，0≤i≤1，那么称，为Fv的二阶分圆类。
定义4[9]：设v=ef+1为素数幂，对0≤i，j≤e-1，令：
或等价地：
则称（i，j）e为e阶分圆数。当无需指明e时，也常将（i，j）e简记为（i，j）。
引理2：设，则方程：x+g=y，的解的个数为（i-k，j-k）。
引理3：分圆数有如下一些性质：
（1），其中 ，;
（2） ;
（3） ;
（4） ;
（5） 。
定义5[9]：指示函数定义为：
定义6[10]：在有限域Fv中二阶特征函数被定义为：
φ（ατ）=（-1）τ
φ（0）=0
其中α为Fv的本原元，ατ∈，0≤t≤v-2。
定义7[11]：设a（t）和b（t）的二元序列，令?-1[a，b]为逆Gray映射，定义为：
运用逆Gray映射可以构造周期为N的四元序列q（t）=
?-1[a（t），b（t）]，进而q（t）可以表示为：
其中，。则四元序列q（t）表示为：
2 偶周期三值四元序列偶的构造方法
构造方法：设v=2f+1是一个奇素数，其中f≥4为v阶有限域，=Fv＼{0}，设α为Fv的本原元。偶周期三值四元序列偶的构造方法分为以下三个步骤：
第一步：令si={+1|0≤i≤1}，可以通过以下方法得到构造序列s（t）：
（1）
其中，上式中变量i，t，k0的取值分别为：0≤i≤1，0≤t≤v-2，k0∈{0，1}。此时应满足以下条件αf=1，，并且2∈s0。
第二步：根据定义3二阶分圆类、定义5指示函数、定义6二阶特征函数的表示方法，可以将序列s（t）表示为：
（2）
其中，ω2=-1。在这里可以分别取k0=0和k0=1，进而得到两个周期均为N=2f的序列，记为s0（t）和s1（t）。当k0=0时，带入公式（2）可得到：
（3）
当k0=1时，带入公式（2）可得到：
（4）
第三步：对这上述两个序列s0（t）和s1（t），使用逆Gray映射，得到两个周期为N=2f的四元序列p（t）和q（t）：
p（t）=?-1[s0（t），s0（t+f）] （5）
q（t）=?-1[s1（t），s1（t+f）] （6）
進而得到四元序列偶（p，q）。根据上述构造方法，可以得到下边的结论。
定理1：由式（5）和（6）构造得到的四元序列偶（p，q）周期为N=2f，其自相关函数的分布分为以下两种情况：
当f≥4且N≡0（mod4）时，其自相关函数分布为：
当f≥4且N≡2（mod4）时，其自相关函数分布为：
证明：根据定义1中序列偶的自相关函数的计算方法可知：
由定义5和定义6可进一步得到：
下文采用分步计算的方式来讨论、和的取值，进而推导出在不同情况下序列偶（p，q）的自相关函数Rpq（τ）的取值分布情况。
第一步：计算和的取值，根据构造方法第二步中推导出的式（3）和（4）可以得到以下结果：
下文根据τ的取值，分情况对 的取值进行讨论：
（1）当τ=0时，显然 ;
（2）当τ=f时， 。
式中，，所以上式等于 。
同理可得， 。
（3）当τ≠f且τ≠0时，经计算可得：
经过以上三种情况的计算和讨论可知 。进而得到结论 。
第二步：计算 ，由构造方法第二步中推导出的式（3）和（4）可以得到：
下文根据τ的取值，分情况对上述计算结果进行讨论： （1）当τ≠0时， 的计算式中各部分的取值为：
通过以上讨论和计算可以得到：
（2）当τ=0时，很显然 。
第三步：根据第二步的讨论可以知道 的取值与τ的取值和f的取值有密切的关系。下文将分情况对 的取值作进一步讨论。
（1）根据定义6可知，当f为偶数即N≡0（mod4）时， φ（-1）=1。
其中，当τ=0时， 。
当τ≠0时， 。
当τ≠0且为偶数时，Rpq（τ）=-2。
当τ≠0且为奇数时，Rpq（τ）=2φ（ατ-1）=-2或2。因為αt-1=αm，0≤m≤2f-1，所以当m为奇数时Rpq（τ）= -2，m为偶数时Rpq（τ）=2。
（2）当f为奇数即N≡2（mod4）时，φ（-1）=-1。
当τ=0时，Rpq（τ）=Rs0s1（τ）=2f-2;
当τ≠0时，-1;
当τ≠0且为偶数时，Rpq（τ）=2φ（ατ-1）-2=0或-4。因为αt-1=αm，0≤m≤2f-1，所以当m为奇数时Rpq（τ）=
-4，m为偶数时Rpq（τ）=0。
当τ≠0且奇数时，Rpq（τ）=0。
总结上面的两种情况，即f为偶数N≡0（mod4）和f为奇数N≡2（mod4）两种情况，由于自相关性良好的序列偶主峰值应远远大于副峰值的取值，且差值越大该序列偶的自相关性越好。因此f的取值大于等于4时，该构造方法得到的四元序列偶的自相关特性才较为良好，且f的取值越大四元序列偶的自相关特性越好。由此可知构造得到的四进序列偶的自相关函数值的分布为：
（1）当f为偶数且f≥4，即N≡0（mod4）时，其自相关函数分布为：
（2）当f为奇数且f≥4，即N≡2（mod4）时，其自相关函数分布为：
证毕。
举例1：v=2f+1是一个奇素数，其中v=13，进而推出f=6，本原元α=2。
使用文中的构造方法，构造得到两个周期为12的二元序列u0（t）和u1（t）：
u0（t）=（000111101001）
u1（t）=（100111101001）
对以上两个序列运用逆Gray映射，进而得到两个周期为12的四元序列p（t）和q（t）：
p（t）=（101332303112）
q（t）=（201332203112）
经计算四元序列偶（p，q）的周期为12，其自相关函数值为：
Rpq（τ）={10，-2，-2，2，-2，2，-2，-2，-2，-2，-2，2}。
举例2：v=2f+1是一个奇素数，其中v=11，进而推出f=5，本原元α=2。
使用文中的构造方法，构造得到两个周期为10的二元序列u0（t）和u1（t）：
u0（t）=（0001001110）
u1（t）=（1001001110）
对以上两个序列运用逆Gray映射，进而得到两个周期为10的四元序列p（t）和q（t）：
p（t）=（0112003320）
q（t）=（3112013320）
经计算四元序列偶（p，q）的周期为10，其自相关函数值为：
Rpq（τ）={10，0，-4，0，-4，0，0，0，0，0}。
3 结 论
本文中提出了一种新的构造三值自相关四元序列偶的方法，该方法具有良好的技术特性和应用特性：
（1）该方法构造出的三值四元序列偶自相关函数值的分布与f的奇偶性和f的取值大小有关，当f为奇数即N≡2（mod4）时副峰值为{-4，0}，主峰值为2f-2。当f为偶数即N≡0（mod4）时副峰值为{-2，2}，主峰值为2f-2。当f的取值大于等于4时，该构造方法得到的四元序列偶的自相关特性才较为良好，且f的取值越大四元序列偶的自相关特性越好。
（2）通过本文研究进一步建立了分圆类与四元序列偶之间的联系，丰富了四元序列偶的构造方法，同时为工程应用提供了更多的选择。
参考文献：
[1] MA X，WEN Q Y，ZHANG J. New Constructions of Binary Sequences with Op-timal Autocorrelation Magnitude Based on Interleaving Technique [J].The Insti-tute of Electronics，Information and Communication Engineers，2011（8）：1760-1763.
[2] 赵晓群，何文才，王仲文，等.最佳二进阵列偶理论研究 [J].电子学报，1999（1）：35-38.
[3] JIA Y G，DUAN X B，SHI Y，et al. The Constructions of Ternary Sequence Pairs with Two-Level Autocorrelation [J].Journal of Information & Computational Science，2014，11（13）：4605-4612.
[4] 彭秀平，许成谦，李刚.周期为偶数的三值自相关四进序列偶 [J].系统工程与电子技术，2012，34（10）：1999-2004.
[5] SHEN X M，JIA Y G，SONG X F. Constructions of Binary Sequence Pairs of Period 3p With Optimal Three-Level Correlation [J].IEEE Communication Letters，2017，21（10）：2150-2153.
[6] 许成谦，彭秀平.最佳四进阵列偶构造方法研究 [J].电子学报，2010，38（1）：6-12.
[7] 崔珊珊，许成谦.伪随机三元序列偶的研究 [J].电子技术，2007（Z3）：177-180.
[8] TANG X H，DING C S. New classes of balanced quaternary and almost ba-lanced binary sequences with optimal autocorrelation value [J].IEEE Transac-tions on Information Theory，2010，56（12）：6398-6405.
[9] 沈灏.组合设计理论 [M].上海：上海交通大学出版社，1996.
[10] KRONE S M. Quadriphase sequences for spread spectrum multiple-access communication [J].IEEE Transactions on，1984，30（3）：520-529.
[11] PENG X P，LIN H B，REN J D，et al. Constructions for almost perfect binary sequence pairs with even length [J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2018，29（2）：256-261.
作者简介：石妍（1989—）女，汉族，河北石家庄人，中级讲师，硕士，研究方向：扩频通信及信道编码。