【摘要】本文利用Krasnoselskiis不动点定理，可以使我们得到中立型微分方程反周期解的一些存在性定理，而且这些定理还可以进一步扩展并能提供给我们一些已知的重要结论.
　　【关键词】中立型微分方程；反周期解；Krasnoselskiis不动点定理；存在性
　　【基金项目】《高等数学教学团队》为2014年安徽三联学院的基金项目，编号：14zlgc005
　　一、引言
　　反周期解一开始是用来解决物理问题的，而且还可以被我们引入并用来解决物理过程、工程学、神经网络学，控制理论学等其他学科中的一些数学模型问题.（见1-30，参考文献）据作者了解，几乎很少有文献能够详细地分析中立型微分方程的反周期解.所以本文中，我们将考虑如下中立型微分方程：
　　[u（t）-p（t）u（t-τ）]′=-q（t）u（t） g（t，u（t-τ））.（1.1）
　　其中满足q∈C（R，（0， ∞）），p∈C1（R，R），f∈C（R×R，R），τ>0且p，q均是以T为周期的函数，函数f又满足条件f（t T，x）=-f（t，x）.
　　本文的内容分布如下：在下面第二部分的内容中，我们首先引入一些定义和引理.在第三部分内容中，我们通过利用Krasnoselskii′s不动点定理，得到方程（1.1）式的以T為周期的反周期解存在的一些结论.在第四部分，我们会在第三部分内容的基础上介绍一些实例，通过这些实例来进一步论证我们所得结论的可行性.
　　二、定义和引理
　　在这一部分内容中，我们将介绍一些定义、注释，以及引理.
　　定义2.1（反周期函数）函数u（t），u∈C（R，R）若满足u（t T）=-u（t），则称它为周期是T的反周期函数.
　　定义PT（R，X）={x：x∈C（R，R），x（t T）=-x（t），t∈R}为反周期函数集合，且用符号‖x‖=sup{|x（t）|，t∈R}表示x的范数，很显然，集合PT（R，X）为Banach空间.
　　设积分方程
　　x（t）=1p（t τ）[x（t τ） ∫t τ Tt τG（t τ，s）（p（s）q（s）x（s-τ）-f（s，x（s-τ）））ds].（2.1）
　　且满足G（t，s）=exp∫stq（u）duexp∫T0q（u）du-1.
　　引理2.1u（t）是方程（1.1）的反周期解当且仅当u（t）是方程（2.1）的反周期解.
　　引理2.2（Krasnoselskiis不动点定理）.令X是一个Banach空间，Ω是X的一个有界闭凸子集，再设S1，S2是Ω到X上的两个映射，还满足对每一对x，y∈Ω，均有这样一个组合S1x S2y∈Ω.如果S1是压缩的，S2是全连续的，则方程S1x S2x=x在集合Ω上一定有解.
　　三、反周期解的存在性
　　定理3.1假设1　　（p1-1）m≤p（t）x-f（t，x）q（t）≤（p0-1）M，（t，x）∈[0，T]×[m，M]，（3.1）
　　则方程（1.1）式至少有一个反周期解.
　　证明根据引理2.1，我们知道u（t）是方程（1.1）式的反周期解的充要条件是u（t）也是方程（2.1）式的反周期解.我们设一个集合Σ={x∈PT（R，X）：m≤x≤M}，很显然这个集合是PT（R，X）的有界闭凸子集.下面再定义两个算子：
　　所以，我们从（3.8）式和（3.9）式中得出{Φx：x∈Σ}在[0，T]上是一致有界和等度连续的.因此根据Ascoli-Arzela定理，（Φx）是列紧的.故由引理2.2，存在一个x∈Σ，使得这样一个方程Φx Ψx=x成立.故x（t）是方程（11）式的反周期解.证毕.
　　按照定理3.1的结论，我们可以得出下列三个结论和定理（3.1）结论相同的定理.
　　定理3.2假设满足-∞　　M-p1m≤f（t，x）q（t）-p（t）x≤m-p3M，（t，x）∈[0，T]×[m，M]，（3.10）
　　则方程（1.1）式存在至少一个反周期解.
　　定理3.3假设满足0≤p（t）≤p5<1，且存在不等式0　　m≤f（t，x）q（t）-p（t）x≤（1-p5）M，（t，x）∈[0，T]×[m，M]，（3.11）
　　则方程（1.1）式存在至少一个反周期解.
　　定理3.4假设满足-1　　m-p6M≤f（t，x）q（t）-p（t）x≤M，（t，x）∈[0，T]×[m，M]，（3.12）
　　则方程（1.1）式存在至少一个反周期解.
　　四、举例
　　设一阶中立型微分方程
　　x（t）-1 exp（cos2t）200x（t-3）′=
　　-110 cos2t20x（t） 34sin（x3（t-3）），（4.1）
　　满足T=π，p（t）=1 exp（cos2t）200，q（t）=110 cos2t20，f（t，x）=34sin（x3（t-3）），τ=3.很容易看出这里的条件满定理3.3中的要求，所以只要再找出一组适当的正常数m