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近几年各地的中考数学试卷中,以“网格”为背景的题目屡见不鲜,而在“网格”中画已知线段的平行线和垂线是我们应该掌握的基本技能,本文选取几例加以评析,希望同学们能从中得到一些启迪.
一、 “网格”中平行线的画法
(1) 水平画,如图1中,AB∥CD.
(2) 竖直画,如图1中,EF∥GH.
(3) 斜画,先找出已知线段是哪一个长方形的对角线,再找出具有相同规律的长方形并按照相同方式画出对角线,则这条线与已知线段平行,如图2中,线段AB是3×2的长方形中的对角线,线段CD是3×2的长方形中的对角线,并且倾斜方式相同,所以线段AB∥CD.
例1 在“网格”图中,如图3,哪些线段与线段CD互相平行?请分别将它们表示出来.
分析 我们要认识“网格”图的特点——是由相同的小正方形组成的,线段CD是2×1的小长方形的对角线,而线段AB是3×2的小长方形的对角线,把2×1等比例放大,它不可能成为3×2的,所以线段AB和线段CD不平行,线段EF是4×2的小长方形的对角线,它可以是2×1等比例放大的,且倾斜的方向和线段CD相同,则线段EF和线段CD是平行的.
点评 本题容易误判线段AB和线段CD平行,原因就是没有正确认识“网格”图的特点,没有熟练掌握“网格”中平行线的画法.
例2 如图4,在“网格”中,已知线段AB和线段AB外的一点P,用直尺过点P画线段AB的平行线.
分析 线段AB在3×2的长方形中,要过点P画线段AB的平行线,我们必须找到以点P为一顶点的3×2的长方形,然后以同样的倾斜方式连这个长方形的对角线,如图5,线段PQ就和线段AB平行.
点评 只要掌握“网格”中平行线的特点,过一点画已知线段的平行线是不难的.
二、 “网格”中垂线的画法
(1) 沿横线和竖线各画一条,如图6中,AB⊥CD.
(2) 画出正方形的两条对角线,如图6中,EF⊥GH.
(3) 分别画出m×n和n×m的长方形的对角线,如图7中,线段AC是3×2长方形的对角线,线段AB是2×3长方形的对角线,则有AB⊥AC.
例3 如图8,在6×6的“网格”中,试用直尺过点P画线段AB的垂线.
分析 观察图8,线段AB在“网格”中可看成是3×1的长方形的对角线,如图9所示,在“网格”中寻找以点P为顶点且为1×3的长方形,此时能找到两个长方形,但其中一个长方形经过P点所画线段不与AB垂直,故只有PQ⊥AB.
点评 过一点作已知线段的垂线,关键要找准长方形,并要注意作图后检验.
例4 如图10,在“网格”中,线段AO与BO相交于点O.
(1) 过点P画直线PQ,使PQ⊥AO.
(2) 分别表示(1)中三条线段之间的位置关系.
(3) 根据你观察到的PQ与OB之间的位置关系,用一句话来总结你的结论.
分析 (1) 线段AO可看成是3×1的长方形的对角线,所以PQ是1×3的长方形的对角线.
(2) 仔细观察图中的三条线段所在的长方形的特点,不难发现它们的位置关系.
(3) 根据(2) 中三条线段间的关系进行归纳,得出结论.
解:(1) 如图11所示,PQ⊥AO.
(2) BO⊥AO,PQ⊥AO,PQ∥BO.
(3) 在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
点评 只要我们掌握了过一点画一条线段的平行线和垂线的画法,是不难得出本题的结论的.
总之,要正确地解决“网格”中的线段的平行和垂直问题,就需要我们认识“网格”图的特点,掌握画平行线和垂线的技巧.
一、 “网格”中平行线的画法
(1) 水平画,如图1中,AB∥CD.
(2) 竖直画,如图1中,EF∥GH.
(3) 斜画,先找出已知线段是哪一个长方形的对角线,再找出具有相同规律的长方形并按照相同方式画出对角线,则这条线与已知线段平行,如图2中,线段AB是3×2的长方形中的对角线,线段CD是3×2的长方形中的对角线,并且倾斜方式相同,所以线段AB∥CD.
例1 在“网格”图中,如图3,哪些线段与线段CD互相平行?请分别将它们表示出来.
分析 我们要认识“网格”图的特点——是由相同的小正方形组成的,线段CD是2×1的小长方形的对角线,而线段AB是3×2的小长方形的对角线,把2×1等比例放大,它不可能成为3×2的,所以线段AB和线段CD不平行,线段EF是4×2的小长方形的对角线,它可以是2×1等比例放大的,且倾斜的方向和线段CD相同,则线段EF和线段CD是平行的.
点评 本题容易误判线段AB和线段CD平行,原因就是没有正确认识“网格”图的特点,没有熟练掌握“网格”中平行线的画法.
例2 如图4,在“网格”中,已知线段AB和线段AB外的一点P,用直尺过点P画线段AB的平行线.
分析 线段AB在3×2的长方形中,要过点P画线段AB的平行线,我们必须找到以点P为一顶点的3×2的长方形,然后以同样的倾斜方式连这个长方形的对角线,如图5,线段PQ就和线段AB平行.
点评 只要掌握“网格”中平行线的特点,过一点画已知线段的平行线是不难的.
二、 “网格”中垂线的画法
(1) 沿横线和竖线各画一条,如图6中,AB⊥CD.
(2) 画出正方形的两条对角线,如图6中,EF⊥GH.
(3) 分别画出m×n和n×m的长方形的对角线,如图7中,线段AC是3×2长方形的对角线,线段AB是2×3长方形的对角线,则有AB⊥AC.
例3 如图8,在6×6的“网格”中,试用直尺过点P画线段AB的垂线.
分析 观察图8,线段AB在“网格”中可看成是3×1的长方形的对角线,如图9所示,在“网格”中寻找以点P为顶点且为1×3的长方形,此时能找到两个长方形,但其中一个长方形经过P点所画线段不与AB垂直,故只有PQ⊥AB.
点评 过一点作已知线段的垂线,关键要找准长方形,并要注意作图后检验.
例4 如图10,在“网格”中,线段AO与BO相交于点O.
(1) 过点P画直线PQ,使PQ⊥AO.
(2) 分别表示(1)中三条线段之间的位置关系.
(3) 根据你观察到的PQ与OB之间的位置关系,用一句话来总结你的结论.
分析 (1) 线段AO可看成是3×1的长方形的对角线,所以PQ是1×3的长方形的对角线.
(2) 仔细观察图中的三条线段所在的长方形的特点,不难发现它们的位置关系.
(3) 根据(2) 中三条线段间的关系进行归纳,得出结论.
解:(1) 如图11所示,PQ⊥AO.
(2) BO⊥AO,PQ⊥AO,PQ∥BO.
(3) 在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
点评 只要我们掌握了过一点画一条线段的平行线和垂线的画法,是不难得出本题的结论的.
总之,要正确地解决“网格”中的线段的平行和垂直问题,就需要我们认识“网格”图的特点,掌握画平行线和垂线的技巧.