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中学数学教学大纲(试验修订本)将培养学生的三大能力之一“逻辑思维能力”改为“思维能力” ,虽然只是去掉两个字,概念的内涵却更加丰富,人们在教育实践中实现了认识上的转变。在注重逻辑思维能力培养的同时,还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养。特别是由于直觉思维能力的培养,长期得不到重视,学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解,认为数学是枯燥乏味的;同时对数学的学习也缺乏取得成功的必要的信心,从而丧失数学学习的兴趣。
因此,我们在数学教学中要重视并加强学生数学直觉思维能力的训练,培养学生的创新思维习惯和直觉思维能力以适应新时期社会对人才的需要。本文概括了数学直觉思维的涵义、表现形式、特征及其对数学学习和教学的意义,结合自己的学习实践以及有关学习理论和教学理论,对数学直觉思维的培养途径进行了初步探讨,并指出了直觉思维的局限,希望能为直觉思维在数学学习中作用的进一步研究提供一点参考。
一、数学直觉思维概念的界定
(一)数学直觉思维概念
在日常的数学教学中,我们常常会遇到这样的情形:在课堂上题目刚刚写完,老师还没来得及解释题意,有的同学立刻报出了答案。若进一步问他为什么?他说不出思维过程,此时其他同学会笑他瞎猜。这种现象就是数学直觉思维。这种思维活动不同于一般的逻辑思维推理,这种觉察往往是“知其然而不知其所以然”,尽管判断的结论往往是正确的,却不能马上说出理由和依据。我们把这种具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的敏锐的想象和迅速的判断称之为数学直觉思维。
简单地说,数学直觉思维是具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察。它没有明显的根据和思索的步骤,思维者很难陈述思维的出现过程及证明过程。
(二)数学直觉思维和逻辑思维关系
从思维方式上来看,思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意的把两者分离开来,其实这是一种误解,逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为逻辑重于演绎,而直观重于分析,从侧重角度来看,此话不无道理,但侧重并不等于完全,数学逻辑中是否会有直觉成分?数学直觉是否具有逻辑性?比如在日常生活中有许多说不清道不明的东西,人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉,甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映,它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现,再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉,数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展,问题解决也离不开直觉,下面我们就以数学问题的证明为例,来考察直觉在证明过程中所起的作用。
二、数学直觉思维在数学学习中的作用
由于直觉思维具有上述这些其他思维方式无法比拟的特点,使它在人的认识活动中具有重要作用。
(一)在数学理解中的作用
数学理解包括理解数学概念、数学结论的本质,人们常凭借经验,加上直觉思维的辅助作用,在头脑中构造图景和模型,以达到对概念、结论的理解。
所有数学定理都需要经过严格的推理证明,可是只有在借助于直觉思维进行感悟后,才能成为显然的、直观的数学事实。
(二)在数学问题解决中的作用
普通高中数学课程标准明确要求:提高学生数学解决问题的能力。数学直觉思维在问题解决中有重要的作用,我们面临的要解决的许多数学问题,大都是不熟的,刚一接触,首先看到或想到的只是它的直观形象与个别特征,如图形、式子或其含义的直观类比,利用直观模型和空间图形对它进行直觉的思考,从数与形的直觉感知中得到某种猜想,然后再进行逻辑证明。
1、观察全局
由于直觉思维是从整体上研究对象,因此可以提高学生全面把握问题的能力。教师在教学中只要有意识地安排一些思考性问题,让学生仔细地审查问题条件的各个方面,从各个角度去揭示知识的内容,就可以培养学生观察全局的能力。从整体上把握事物的特性,通过这样的训练,能不断提高学生观察全局的能力。
2、启迪思路
解决数学问题常常会遇到难题,常规的解题方法多次尝试后不得其解或分析思路阻塞、中断时,直觉思维常常能突发其想,启迪新思路。
布鲁纳说过: “直觉思维者甚至可以发明或发现分析家所不能发现的问题。”直觉思维与分析思维不同, 分析思维步骤明显,一次前进一步,思维者常常能向别人讲述思维过程。直觉思维不是以仔细的、规定好的步骤一步一步前进的,而是以熟悉的知识结构为依据,采取跳跃、越级的“捷径”很快作出“结论” 。教师要鼓励学生用多种思维方式思考问题,提倡“算法多样化”和“解题策略的多样化”,以此培养与激发学生的创造力。因在教学过程中,教师要善于抓住和发现学生瞬间的“直觉思维”火花,除了及时鼓励与肯定之外,更应引导学生一起探究其直觉思维结果的正确性,并合理引导和努力拓展学生的巧思妙解,使学生敢于求异、善于创新。
三、数学直觉思维能力的培养
(一)夯实基础,丰富直觉思维源泉
任何数学直觉的产生和发展都离不开该领域的基础知识。没有一定的知识情景、知识结构、认知策略,单凭机遇是不能产生数学直觉的。有扎实而宽厚的知识与经验,以及熟练的基本技能,经过同化(顺应)重构等加工手段储存在大脑信息网络里的知识结构,是直觉思维产生的基础。在教学过程中,应引导学生认真学习基础知识、基本技能,加强思想方法的积累,储存经过处理的知识精华。如对数学概念、定理的本质理解,对数学公式变换的多种形式,解决数学问题的思路,特殊的解题技巧等。以便学生在解决问题时,能运用已有的数学知识与经验,通过对数学问题的观察、分析,迅速而准确地作出直觉判断。
(二)感受数学美,激发直觉思维动力
伟大的科学家庞加莱指出:“能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘之美能力的人,而且只限于这种人”。数学美充满了整个数学领域,而这些数学美是引起数学直觉的动力,是产生数学直觉的重要条件。我们在教学实践中应充分展现数学美,挖掘数学美和创造数学美,激发学生对数学美的追求,提高他们对数学美的鉴赏能力,引导学生按照美的规律去想象、去判断。
(三)培养敏锐的观察能力
观察是一种有目的、有计划的比较持久的直觉,是知觉的特殊形式。它是处理复杂事物的感知活动,具有更大的主动性和理解性。具有敏锐的洞察力,可以使学生更容易获取外界的刺激,从而使潜意识层面上的各种混沌无序的知识,在一瞬间达到最恰当的组合,进入显意识状态,即直觉的产生。
1、利用形数结合,培养学生的观察能力
数学形象直感是数学直觉思维的源泉之一,而数学形象直感是一种几何直觉或空间观念的表现。俗话说:“数离形时少直观,形离数时难入微” 。因此,在数学教学中,要引导学生通过深入的观察、联想,由形思数、由数辅形,借助图形特征的启示诱发直觉,对培养直觉思维的敏捷性、准确性大有裨益。
著名数学家欧拉曾经指出:“今天人们所知道的数的性质,几乎都是由观察所发现的,并且在严格论证确认其真实性之前就发现了。”苏联教育学家苏霍姆林斯基也说过:“观察是智慧最重要的能源” 。由此可见,观察发现对培养直觉思维所起的作用。在数学教学过程中,要充分利用形数结合,让学生观察,让学生发现,提高学生的直觉思维能力。
2、通过分析数学问题的各种信息,培养学生的观察能力
观察本身就是一种解题方法。对某些数学问题,通过观察题设和题断的结构、图形的变化规律、题目所给出的数据关系等显信息以及问题所联系的背景知识和隐含条件等隐信息,有利于洞悉数量关系和结构关系,进行跳跃性思维、缩简某些推理环节,增强直觉意识,提高直觉思维能力。
(四)设置情境,创造直觉思维环境
任何直觉只有在一定的情境下才能触发产生。因此我们在教学中应有意选择一些有诱发学生产生直觉思维的数学材料让学生思考,启发学生善于抓住事物的本质及其内在联系,进行直觉思维。另外,教师应该在课堂教学中明确提出为直觉思维正名,肯定其作用和地位。对于学生的大胆猜想给予充分肯定,对其合理成分及时给予鼓励,爱护、扶植学生的自发性直觉思维,为学生创造一个良好的直觉思维环境,随着时间的推移,一定会产生群体效应,这样对渗透直觉观念与思维能力的发展大有裨益。
(五)数形结合,诱导直觉思维动机
著名数学家华罗庚曾经说过:“数缺形时少直觉,形少数时难入微。数形结合百般好,隔裂分家万事非”,这说明数离不开形。在解题时,若能构造出恰当的几何图形常常能得出令人拍案称奇的巧妙解法,而且数形结合也是诱导学生数学直觉思维动机的一个极好的切入点。
(六)鼓励猜想,培养直觉思维信心
著名科学家牛顿所说:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现”。新课程理念鼓励创新,要求学生能收集、选择、处理数学信息,并作出合理的推断和大胆的猜想。合理、科学的猜想是直觉思维的重要形式,也是科学发现的重要途径。我们在数学教学中,要根据教材编写的特点和学生的认识规律,引导学生开动脑筋。
参考文献:
[1]刘云章,马复著.数学直觉与发现[G].安徽教育出版社.2002.(9).18-19.
[2]邓东皋,孙小礼,张祖贵编.数学与文化[J].北京大学出版社.1989.(4).45-47.
[3]朱水根,王延文等著.中学数学教学导论[K].教育科学出版社.2001(6).287-287.
[4]喻平.个体CPFS结构与数学问题表征的相关性研究[L].数学教育学报[L]2003.(3).12-12.
[5]孙名符等著.数学一逻辑与教育 [P].高等教育出版社.2003.(6).69-671.
[6]数学教学通讯[J].2005.(219).25-30.
(作者简介:李伟贤(1988.1)女,汉族,河南省卫辉市人,黄淮学院数学科学系数学与应用数学专业。)
因此,我们在数学教学中要重视并加强学生数学直觉思维能力的训练,培养学生的创新思维习惯和直觉思维能力以适应新时期社会对人才的需要。本文概括了数学直觉思维的涵义、表现形式、特征及其对数学学习和教学的意义,结合自己的学习实践以及有关学习理论和教学理论,对数学直觉思维的培养途径进行了初步探讨,并指出了直觉思维的局限,希望能为直觉思维在数学学习中作用的进一步研究提供一点参考。
一、数学直觉思维概念的界定
(一)数学直觉思维概念
在日常的数学教学中,我们常常会遇到这样的情形:在课堂上题目刚刚写完,老师还没来得及解释题意,有的同学立刻报出了答案。若进一步问他为什么?他说不出思维过程,此时其他同学会笑他瞎猜。这种现象就是数学直觉思维。这种思维活动不同于一般的逻辑思维推理,这种觉察往往是“知其然而不知其所以然”,尽管判断的结论往往是正确的,却不能马上说出理由和依据。我们把这种具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的敏锐的想象和迅速的判断称之为数学直觉思维。
简单地说,数学直觉思维是具有意识的人脑对数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察。它没有明显的根据和思索的步骤,思维者很难陈述思维的出现过程及证明过程。
(二)数学直觉思维和逻辑思维关系
从思维方式上来看,思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意的把两者分离开来,其实这是一种误解,逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认为逻辑重于演绎,而直观重于分析,从侧重角度来看,此话不无道理,但侧重并不等于完全,数学逻辑中是否会有直觉成分?数学直觉是否具有逻辑性?比如在日常生活中有许多说不清道不明的东西,人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉,甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客观世界的反映,它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现,再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最初的概念都是基于直觉,数学在一定程度上就是在问题解决中得到发展,问题解决也离不开直觉,下面我们就以数学问题的证明为例,来考察直觉在证明过程中所起的作用。
二、数学直觉思维在数学学习中的作用
由于直觉思维具有上述这些其他思维方式无法比拟的特点,使它在人的认识活动中具有重要作用。
(一)在数学理解中的作用
数学理解包括理解数学概念、数学结论的本质,人们常凭借经验,加上直觉思维的辅助作用,在头脑中构造图景和模型,以达到对概念、结论的理解。
所有数学定理都需要经过严格的推理证明,可是只有在借助于直觉思维进行感悟后,才能成为显然的、直观的数学事实。
(二)在数学问题解决中的作用
普通高中数学课程标准明确要求:提高学生数学解决问题的能力。数学直觉思维在问题解决中有重要的作用,我们面临的要解决的许多数学问题,大都是不熟的,刚一接触,首先看到或想到的只是它的直观形象与个别特征,如图形、式子或其含义的直观类比,利用直观模型和空间图形对它进行直觉的思考,从数与形的直觉感知中得到某种猜想,然后再进行逻辑证明。
1、观察全局
由于直觉思维是从整体上研究对象,因此可以提高学生全面把握问题的能力。教师在教学中只要有意识地安排一些思考性问题,让学生仔细地审查问题条件的各个方面,从各个角度去揭示知识的内容,就可以培养学生观察全局的能力。从整体上把握事物的特性,通过这样的训练,能不断提高学生观察全局的能力。
2、启迪思路
解决数学问题常常会遇到难题,常规的解题方法多次尝试后不得其解或分析思路阻塞、中断时,直觉思维常常能突发其想,启迪新思路。
布鲁纳说过: “直觉思维者甚至可以发明或发现分析家所不能发现的问题。”直觉思维与分析思维不同, 分析思维步骤明显,一次前进一步,思维者常常能向别人讲述思维过程。直觉思维不是以仔细的、规定好的步骤一步一步前进的,而是以熟悉的知识结构为依据,采取跳跃、越级的“捷径”很快作出“结论” 。教师要鼓励学生用多种思维方式思考问题,提倡“算法多样化”和“解题策略的多样化”,以此培养与激发学生的创造力。因在教学过程中,教师要善于抓住和发现学生瞬间的“直觉思维”火花,除了及时鼓励与肯定之外,更应引导学生一起探究其直觉思维结果的正确性,并合理引导和努力拓展学生的巧思妙解,使学生敢于求异、善于创新。
三、数学直觉思维能力的培养
(一)夯实基础,丰富直觉思维源泉
任何数学直觉的产生和发展都离不开该领域的基础知识。没有一定的知识情景、知识结构、认知策略,单凭机遇是不能产生数学直觉的。有扎实而宽厚的知识与经验,以及熟练的基本技能,经过同化(顺应)重构等加工手段储存在大脑信息网络里的知识结构,是直觉思维产生的基础。在教学过程中,应引导学生认真学习基础知识、基本技能,加强思想方法的积累,储存经过处理的知识精华。如对数学概念、定理的本质理解,对数学公式变换的多种形式,解决数学问题的思路,特殊的解题技巧等。以便学生在解决问题时,能运用已有的数学知识与经验,通过对数学问题的观察、分析,迅速而准确地作出直觉判断。
(二)感受数学美,激发直觉思维动力
伟大的科学家庞加莱指出:“能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘之美能力的人,而且只限于这种人”。数学美充满了整个数学领域,而这些数学美是引起数学直觉的动力,是产生数学直觉的重要条件。我们在教学实践中应充分展现数学美,挖掘数学美和创造数学美,激发学生对数学美的追求,提高他们对数学美的鉴赏能力,引导学生按照美的规律去想象、去判断。
(三)培养敏锐的观察能力
观察是一种有目的、有计划的比较持久的直觉,是知觉的特殊形式。它是处理复杂事物的感知活动,具有更大的主动性和理解性。具有敏锐的洞察力,可以使学生更容易获取外界的刺激,从而使潜意识层面上的各种混沌无序的知识,在一瞬间达到最恰当的组合,进入显意识状态,即直觉的产生。
1、利用形数结合,培养学生的观察能力
数学形象直感是数学直觉思维的源泉之一,而数学形象直感是一种几何直觉或空间观念的表现。俗话说:“数离形时少直观,形离数时难入微” 。因此,在数学教学中,要引导学生通过深入的观察、联想,由形思数、由数辅形,借助图形特征的启示诱发直觉,对培养直觉思维的敏捷性、准确性大有裨益。
著名数学家欧拉曾经指出:“今天人们所知道的数的性质,几乎都是由观察所发现的,并且在严格论证确认其真实性之前就发现了。”苏联教育学家苏霍姆林斯基也说过:“观察是智慧最重要的能源” 。由此可见,观察发现对培养直觉思维所起的作用。在数学教学过程中,要充分利用形数结合,让学生观察,让学生发现,提高学生的直觉思维能力。
2、通过分析数学问题的各种信息,培养学生的观察能力
观察本身就是一种解题方法。对某些数学问题,通过观察题设和题断的结构、图形的变化规律、题目所给出的数据关系等显信息以及问题所联系的背景知识和隐含条件等隐信息,有利于洞悉数量关系和结构关系,进行跳跃性思维、缩简某些推理环节,增强直觉意识,提高直觉思维能力。
(四)设置情境,创造直觉思维环境
任何直觉只有在一定的情境下才能触发产生。因此我们在教学中应有意选择一些有诱发学生产生直觉思维的数学材料让学生思考,启发学生善于抓住事物的本质及其内在联系,进行直觉思维。另外,教师应该在课堂教学中明确提出为直觉思维正名,肯定其作用和地位。对于学生的大胆猜想给予充分肯定,对其合理成分及时给予鼓励,爱护、扶植学生的自发性直觉思维,为学生创造一个良好的直觉思维环境,随着时间的推移,一定会产生群体效应,这样对渗透直觉观念与思维能力的发展大有裨益。
(五)数形结合,诱导直觉思维动机
著名数学家华罗庚曾经说过:“数缺形时少直觉,形少数时难入微。数形结合百般好,隔裂分家万事非”,这说明数离不开形。在解题时,若能构造出恰当的几何图形常常能得出令人拍案称奇的巧妙解法,而且数形结合也是诱导学生数学直觉思维动机的一个极好的切入点。
(六)鼓励猜想,培养直觉思维信心
著名科学家牛顿所说:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现”。新课程理念鼓励创新,要求学生能收集、选择、处理数学信息,并作出合理的推断和大胆的猜想。合理、科学的猜想是直觉思维的重要形式,也是科学发现的重要途径。我们在数学教学中,要根据教材编写的特点和学生的认识规律,引导学生开动脑筋。
参考文献:
[1]刘云章,马复著.数学直觉与发现[G].安徽教育出版社.2002.(9).18-19.
[2]邓东皋,孙小礼,张祖贵编.数学与文化[J].北京大学出版社.1989.(4).45-47.
[3]朱水根,王延文等著.中学数学教学导论[K].教育科学出版社.2001(6).287-287.
[4]喻平.个体CPFS结构与数学问题表征的相关性研究[L].数学教育学报[L]2003.(3).12-12.
[5]孙名符等著.数学一逻辑与教育 [P].高等教育出版社.2003.(6).69-671.
[6]数学教学通讯[J].2005.(219).25-30.
(作者简介:李伟贤(1988.1)女,汉族,河南省卫辉市人,黄淮学院数学科学系数学与应用数学专业。)