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【摘要】磁共振成像技术（MRI）是一种方便快捷的医学诊断技术，本文对稀疏表示在MRI领域的应用研究进行了介绍。先介绍了稀疏表示的基本原理及解稀疏系数的一个匹配追踪算法。然后阐述了在MRI重构中两种主要的构造稀疏字典的方式：解析字典和训练字典，并分别介绍了这两种构造稀疏字典方式的MRI重构模型。
【关键词】稀疏表示；MRI；图像处理
1.引言
磁共振成像技术（Magnetic Resonance Imaging，MRI）是一种利用图像进行医疗诊断的检查技术。它没有电离辐射伤害，能够直接扫描出器官各个体层的图像，避免了开颅、开胸、开腹探查等手术。MRI技术可以给医生带来清晰实用的人体内部结构图像，在临床检查上得到普遍的应用。但是MRI有一个缺点，它的成像过程太过漫长，一次成像过程要10分钟到30分钟。因此如何快速地获取MRI图像就成为一个热点问题，而压缩感知[1]和稀疏表示理论在MRI上的应用使得在不改变现有MRI系统硬件的条件下减少成像时间成为可能。
2007年Lustig和Donoho等人发表了Sparse-MRI[2]，首次将压缩感知理论应用到MRI中。在SparseMRI方法中作者应用了MR图像在小波域的稀疏性，对下采样的K空间数据进行重建，取得较好的重建效果。此后MR图像的不同稀疏特性不断被挖掘，MRI重构的效果得到很大的提升。
2.稀疏表示理论
令信号，稀疏字典，稀疏系数。则信号可以表示为，其中是字典原子。是信号在字典域的稀疏系数，如果仅有K个非零项，或者中仅有K个大系数，其它都是接近0的小系数，则我们称是稀疏度为K。由于实际中K=N，所以我们只要记住这K个项的位置及值我们就可以精确重构信号x。稀疏度K越小，则系数越稀疏，重构信号x所需要保存的数据量就越少。字典D可以是解析字典，例如DCT基底、小波基底，也可以是自适应训练字典或随机字典。如图1是一维信号稀疏表示的示意图，白的方格表示0，不同的灰度表示不同的值。
图1 一维信号在高斯随机字典投影下的2稀疏表示
实际应用中我们通常是观测到有噪声的信号x，为了恢复原始信号我们建立如下的目标函数：
（1）
但是这个目标函数的求解是NP难问题，目前解该问题的方法主要有两种：
一种是贪婪算法，如匹配追踪（MP）[3]、正交匹配追踪（OMP）算法[4]；一种是松弛算法，比如基追踪算法（BP）[5]。
匹配追踪算法（Matching Pursuit，MP）是一种贪婪迭代算法，其基本思想在每一次的迭代过程中，从过完备原子库里选择与残差信号最匹配的原子来进行信号表达，同时从残差信号中剔除其投影，获得新的残差信号。当迭代次数达到设定值，或者重构残差小于设定阈值时，迭代停止。其算法流程如下：
输入：字典D，观测信号x，稀疏度L
输出：的L稀疏逼近%
初始化：残差r0=x，索引集，迭代次数t=1；
循环执行步骤1-5
步骤1：找出残差r0与字典D中最相似列dk的角标，所谓最相似，即：
步骤2：更新索引集，纪录找到的重建信号字典原子集合（也称为支撑集）Dt=[Dt-1，d]
步骤3：由最小二乘算法得到t%=argmin ||x-Dtt%||2
步骤4：更新残差rt=y-Dtt%，t=t+1
步骤5：判断迭代次数是否满足，若满足则停止迭代，否则继续执行步骤1。
由于MP算法中信号在已选定的原子上的投影并非正交的，MP算法每一次迭代结果有可能是次优，为获得收敛需要经过较多次的迭代。
3.稀疏表示在MRI领域的应用
信号的稀疏性是压缩感知理论的一个重要前提，在压缩感知MRI系统的设计中稀疏表示问题可以归结为稀疏字典的设计[6]。我们可以从不同的角度，对不同的字典进行分类，因此基于稀疏表示的MRI重构问题也会有不同的重构模型。例如我们可以把字典分为解析字典和训练字典两大类：一是解析字典，解析字典是由具有明确的数学理论推导直接产生的基底的集合，常用的如DCT基底组成的DCT字典以及小波基底组成的小波字典。二是训练字典，训练字典是根据实际数据自适应的学习字典，这种字典在实际中已经证明了可以对信号有更好的稀疏表示，但是自适应训练的字典耗时较长，应用没有解析字典方便。
当我们采用解析字典对下采样的MRI数据进行重构时，重构模型可以写成：
（2）
其中D是稀疏表示字典，在参考文献[2]中采用小波基组成字典D。y是部分K空间数据，即下采样后的K空间数据。Fu表示部分傅里叶变换，x是我们要重构的MR图像。对x进行小波变换后的系数满足稀疏条件，解这个目标函数就可以得到精确重构的MR图像。在文献[2]中，作者采用非线性共轭梯度下降算法解这个目标函数。
当采用自适应训练学习稀疏字典时，一般是对图像块进行训练得到字典，影响较大的有KSVD[7]训练模型，基于自适应字典学习的MRI重构模型可以写为：
（3）
其中Ri是取图像块操作，是MR图像x在字典域的稀疏系数。这种采用自适应训练学习稀疏字典的MRI重构方法影响较大的有文献[8]。在文献[8]中，作者把这个约束函数分成两个子问题：字典训练问题和最小二乘问题。字典训练子问题可以写成为：
（4）
解这个子问题的时候先固定x，对上一次的重构的x进行字典训练，字典训练过程和文献[7]KSVD算法的过程一样，利用迭代训练字典D。最小二乘子问题目标函数可以写成：
（5）
在这个子问题中利用字典训练子问题训练出来的字典D和稀疏系数，更新MR图像x。由于这个子问题是一个非约束的2范数形式，所以可以用最小二乘来解这个问题。图2是文献[2]和文献[8]在10%随机下采样时的重构结果。文献[2]重构结果PSNR值为29.55dB，文献[8]的重构PSNR值为39.67dB。从PSNR值上来看，文献[8]的重建结果比文献[2]有了较大的提高，这说明了自适应训练的字典在对MR图像的稀疏表示上有着比解析字典更好的效果。 图2 脑部图像10%随机下采样的重构结果
4.总结与展望
稀疏表示理论挖掘信号的稀疏特性，利用MR图像稀疏性构建目标函数重构MR图像，在降低K空间数据采样率的同时不降低MR图像品质，大大降低了MRI成像过程的时间。本文介绍了两种主要的基于稀疏表示的MRI重构的模型，同时越来越多的人对于低秩矩阵的特性与稀疏性的联系进行了研究，相信这些研究会进一步的推动稀疏表示在MRI重构领域的应用。
参考文献
[1]Donoho D L.Compressed sensing[J].Information Theory，IEEE Transactions on，2006，52（4）：1289-1306.
[2]Lustig M，Donoho D，Pauly J M.Sparse MRI：The application of compressed sensing for rapid MR imaging[J].Magnetic resonance in medicine，2007，58（6）：1182-1195.
[3]Mallat S G，Zhang Z.Matching pursuits with time-frequency dictionaries[J].Signal Processing，IEEE Transactions on，1993，41（12）：3397-3415.
[4]Tropp J A，Gilbert A C.Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit[J].Information Theory，IEEE Transactions on，2007，53（12）： 4655-4666.
[5]Chen S S，Donoho D L，Saunders M A.Atomic decompos-ition by basis pursuit[J].SIAM journal on scientific computing，1998，20（1）：33-61.
[6]焦李成，杨淑媛，刘芳，等.压缩感知回顾与展望[J].电子学报，2011，39（7）：1651-1662.
[7]Aharon M，Elad M，Bruckstein A.-svd：An algorithm for designing overcomplete dictionaries for sparse representation[J].Signal Processing，IEEE Transactions on，2006，54（11）：4311-4322.
[8]S.Ravishankar and Y.Bresler，“MR image reconstruction from highly undersampled k-space data by dictionary learning，”IEEE Trans.Med.Imag.，vol.30，no.5，pp.1028-1041，2011.
【关键词】稀疏表示；MRI；图像处理
1.引言
磁共振成像技术（Magnetic Resonance Imaging，MRI）是一种利用图像进行医疗诊断的检查技术。它没有电离辐射伤害，能够直接扫描出器官各个体层的图像，避免了开颅、开胸、开腹探查等手术。MRI技术可以给医生带来清晰实用的人体内部结构图像，在临床检查上得到普遍的应用。但是MRI有一个缺点，它的成像过程太过漫长，一次成像过程要10分钟到30分钟。因此如何快速地获取MRI图像就成为一个热点问题，而压缩感知[1]和稀疏表示理论在MRI上的应用使得在不改变现有MRI系统硬件的条件下减少成像时间成为可能。
2007年Lustig和Donoho等人发表了Sparse-MRI[2]，首次将压缩感知理论应用到MRI中。在SparseMRI方法中作者应用了MR图像在小波域的稀疏性，对下采样的K空间数据进行重建，取得较好的重建效果。此后MR图像的不同稀疏特性不断被挖掘，MRI重构的效果得到很大的提升。
2.稀疏表示理论
令信号，稀疏字典，稀疏系数。则信号可以表示为，其中是字典原子。是信号在字典域的稀疏系数，如果仅有K个非零项，或者中仅有K个大系数，其它都是接近0的小系数，则我们称是稀疏度为K。由于实际中K=N，所以我们只要记住这K个项的位置及值我们就可以精确重构信号x。稀疏度K越小，则系数越稀疏，重构信号x所需要保存的数据量就越少。字典D可以是解析字典，例如DCT基底、小波基底，也可以是自适应训练字典或随机字典。如图1是一维信号稀疏表示的示意图，白的方格表示0，不同的灰度表示不同的值。
图1 一维信号在高斯随机字典投影下的2稀疏表示
实际应用中我们通常是观测到有噪声的信号x，为了恢复原始信号我们建立如下的目标函数：
（1）
但是这个目标函数的求解是NP难问题，目前解该问题的方法主要有两种：
一种是贪婪算法，如匹配追踪（MP）[3]、正交匹配追踪（OMP）算法[4]；一种是松弛算法，比如基追踪算法（BP）[5]。
匹配追踪算法（Matching Pursuit，MP）是一种贪婪迭代算法，其基本思想在每一次的迭代过程中，从过完备原子库里选择与残差信号最匹配的原子来进行信号表达，同时从残差信号中剔除其投影，获得新的残差信号。当迭代次数达到设定值，或者重构残差小于设定阈值时，迭代停止。其算法流程如下：
输入：字典D，观测信号x，稀疏度L
输出：的L稀疏逼近%
初始化：残差r0=x，索引集，迭代次数t=1；
循环执行步骤1-5
步骤1：找出残差r0与字典D中最相似列dk的角标，所谓最相似，即：
步骤2：更新索引集，纪录找到的重建信号字典原子集合（也称为支撑集）Dt=[Dt-1，d]
步骤3：由最小二乘算法得到t%=argmin ||x-Dtt%||2
步骤4：更新残差rt=y-Dtt%，t=t+1
步骤5：判断迭代次数是否满足，若满足则停止迭代，否则继续执行步骤1。
由于MP算法中信号在已选定的原子上的投影并非正交的，MP算法每一次迭代结果有可能是次优，为获得收敛需要经过较多次的迭代。
3.稀疏表示在MRI领域的应用
信号的稀疏性是压缩感知理论的一个重要前提，在压缩感知MRI系统的设计中稀疏表示问题可以归结为稀疏字典的设计[6]。我们可以从不同的角度，对不同的字典进行分类，因此基于稀疏表示的MRI重构问题也会有不同的重构模型。例如我们可以把字典分为解析字典和训练字典两大类：一是解析字典，解析字典是由具有明确的数学理论推导直接产生的基底的集合，常用的如DCT基底组成的DCT字典以及小波基底组成的小波字典。二是训练字典，训练字典是根据实际数据自适应的学习字典，这种字典在实际中已经证明了可以对信号有更好的稀疏表示，但是自适应训练的字典耗时较长，应用没有解析字典方便。
当我们采用解析字典对下采样的MRI数据进行重构时，重构模型可以写成：
（2）
其中D是稀疏表示字典，在参考文献[2]中采用小波基组成字典D。y是部分K空间数据，即下采样后的K空间数据。Fu表示部分傅里叶变换，x是我们要重构的MR图像。对x进行小波变换后的系数满足稀疏条件，解这个目标函数就可以得到精确重构的MR图像。在文献[2]中，作者采用非线性共轭梯度下降算法解这个目标函数。
当采用自适应训练学习稀疏字典时，一般是对图像块进行训练得到字典，影响较大的有KSVD[7]训练模型，基于自适应字典学习的MRI重构模型可以写为：
（3）
其中Ri是取图像块操作，是MR图像x在字典域的稀疏系数。这种采用自适应训练学习稀疏字典的MRI重构方法影响较大的有文献[8]。在文献[8]中，作者把这个约束函数分成两个子问题：字典训练问题和最小二乘问题。字典训练子问题可以写成为：
（4）
解这个子问题的时候先固定x，对上一次的重构的x进行字典训练，字典训练过程和文献[7]KSVD算法的过程一样，利用迭代训练字典D。最小二乘子问题目标函数可以写成：
（5）
在这个子问题中利用字典训练子问题训练出来的字典D和稀疏系数，更新MR图像x。由于这个子问题是一个非约束的2范数形式，所以可以用最小二乘来解这个问题。图2是文献[2]和文献[8]在10%随机下采样时的重构结果。文献[2]重构结果PSNR值为29.55dB，文献[8]的重构PSNR值为39.67dB。从PSNR值上来看，文献[8]的重建结果比文献[2]有了较大的提高，这说明了自适应训练的字典在对MR图像的稀疏表示上有着比解析字典更好的效果。 图2 脑部图像10%随机下采样的重构结果
4.总结与展望
稀疏表示理论挖掘信号的稀疏特性，利用MR图像稀疏性构建目标函数重构MR图像，在降低K空间数据采样率的同时不降低MR图像品质，大大降低了MRI成像过程的时间。本文介绍了两种主要的基于稀疏表示的MRI重构的模型，同时越来越多的人对于低秩矩阵的特性与稀疏性的联系进行了研究，相信这些研究会进一步的推动稀疏表示在MRI重构领域的应用。
参考文献
[1]Donoho D L.Compressed sensing[J].Information Theory，IEEE Transactions on，2006，52（4）：1289-1306.
[2]Lustig M，Donoho D，Pauly J M.Sparse MRI：The application of compressed sensing for rapid MR imaging[J].Magnetic resonance in medicine，2007，58（6）：1182-1195.
[3]Mallat S G，Zhang Z.Matching pursuits with time-frequency dictionaries[J].Signal Processing，IEEE Transactions on，1993，41（12）：3397-3415.
[4]Tropp J A，Gilbert A C.Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit[J].Information Theory，IEEE Transactions on，2007，53（12）： 4655-4666.
[5]Chen S S，Donoho D L，Saunders M A.Atomic decompos-ition by basis pursuit[J].SIAM journal on scientific computing，1998，20（1）：33-61.
[6]焦李成，杨淑媛，刘芳，等.压缩感知回顾与展望[J].电子学报，2011，39（7）：1651-1662.
[7]Aharon M，Elad M，Bruckstein A.-svd：An algorithm for designing overcomplete dictionaries for sparse representation[J].Signal Processing，IEEE Transactions on，2006，54（11）：4311-4322.
[8]S.Ravishankar and Y.Bresler，“MR image reconstruction from highly undersampled k-space data by dictionary learning，”IEEE Trans.Med.Imag.，vol.30，no.5，pp.1028-1041，2011.