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[摘 要]信号降噪的具体应用为，使用滤除方法对高频噪声的信号进行噪音的过滤，从而使得信号最大程度的和真实值接近，这也是当下处理信号的关键性环节。本文就此问题展开对噪声的降噪研究，基于FFT和小波两种方法上对随机噪声进行降噪方面的处理，并且用信号两大降噪准则来对比分析两种结果，最后得出最具明显优势的信号降噪处理方法。
[关键词]FFT；小波变换；降噪应用
中图分类号：TV51 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2018）34-0196-01
一、 引言
由于信号的采集过程中是呈数字形式存在的，在对其进行采集时，难免会遇到一些来自于外界的干扰，有时候这些干扰是人为造成的，这些影响难免会产生对信号的大量干扰，这样就会造成采样数据与真实值有些偏离，而降噪实际上就是对数字信号进行处理的一个重要过程，可以将信号中的干扰成分进行减小甚至是消除，促使经过滤除后的采集信号，可以去除高频噪声，最大程度的保持与真实值的接近。首先我们需要知道信号降噪的两大基本准则。第一，光滑性：应保持降噪后的信号与原信号保持一致，都具有一致的光滑性。第二，相似性。必须保持降噪后的信号与原信号尽可能的减小方差估计。至此笔者文本中将采取两种数据处理方法，分别以FFT和小波变换两种数据处理方式进行对噪声的分别处理，并且在降噪准则的基础上，进行两种结果的分析对比，最终研究两种方法在降噪数据处理中的有效性。
二、 FFT变换
快速傅里叶变换是离散傅里叶的一种快速计算方法。其中前者也可用FFT進行表示，后者用DFT表示。N点序列x（n）的N点DFT可用公式进行表示：
其中，那么对系数的周期性进行加以利用，就会得到：
运算中的某些DFT项可以进行合并，然后通过对称性和周期性的利用，就可以将原本为长序的DFT进行序列分解，最终成为短序。快速傅里叶变换（FFT）正是TukeyJW巧对WN因子对称性及周期性特点的有效利用，最后构成了DFT的快速运算方法FFT，至于FFT的基本算法问题，目前归类两大类，即按频率抽取法与时间抽取法两种，时间抽取法的英文名称Decimation-in-time，DIT，频率抽取法为Decimation-in-frequency，DIF，如果N=2L为序列长度，且L数值取整数的时候，通常叫做基2FFT，这种方法在目前来说也是普遍使用的一种算法[1]。
三、 小波变换
小波变换的定义为设j（t）∈L（R）∩L2（R），j（k）为傅里叶变换，当j（k）进项以下条件的满足、
按么代表基本小波的则是j（t），那么进行平移与尺度伸缩后的j（t）则可以得到函数族数如下
（3）
j（t）进行连续小波生成后，分别由a和b分别代表尺度与平移两种参量。根据上述1公式，k为0，为促使被积函数的数值有效性，则一定要有有j^（0），因此对于公式1来说，其等价条件应当为
这个公式中的j（t）没有直流，只含有交流，也就是所谓的震荡性，所以也可以叫做“波”。为了可以让j（t）含有一定的局部性，也就是说使其快速在有限区间外进行衰减成零，因为还需要加上的内容有衰减条件
（4）
所以它的含义为：当满足条件t→±∞时，|j（t）|要比1/|t|的衰减速度快，局部性是在衰减条件下对小波的一定要求，所以这种局部性才会用“小”字表示，也因此，（1）叫做小波，其变换定义公式为：
四、 信号降噪
本文是在FFT和小波进行互相交换的基础条件下，分别对余弦加噪信号进行噪声的消噪处理，并且对比这两种噪音降消的效果与结果[2]。
4.1、FFT降噪处理
低频余弦信号是上述进行了噪声信号加入后的基础信号，而噪声则是随机提取的高频信号，对本噪音信号进行降噪所使用的基本方法与思想是，对噪音部分进行对高频部分内容的抑制，将低频信号进行保留，如此来完成降噪目标。FFT降噪要进行多个步骤，具体内容如下：
（1）进行对信号内容部分的FFT运算。
（2）在频谱的基础上，进行对出现在信号内的噪声部分的印制。
（3）基于变换后的频谱基础上，对其进行傅里叶逆变换，从而获取降噪后的信号。
f（t）为本信号中的余弦信号时，那么g（t）就是对其进行降噪后的所得信号，进行傅里叶变换以后，所得结果分别是F（k）、G（k）。如果用公式进行这个过程的表示则为：
H（k）在公式中表示的是使用过滤波器以后的噪声信号频率，文章中进行了M ATLAB的 FFT降噪程序下的过程为：
X = ifft（ Y ）； X = real（X ）； % 对滤除高频部；t= 0： 0. 001： 2；x= cos（ 2* πi* t）；y= x+ 0. 25* randn（ 1， length（t ） ）；subplo t（ 1， 2， 1）；plo t（y ）；ax is（ [0， 2 000， - 1. 5， 1. 5 ]）；Y= fft（ y ）； Y= abs（ Y ）； %对加噪信号进行FFT运算；index 2= 50∶ 1 950；y （index 2）= zeros（ size（index 2） ）； % 抑频噪声分的信号进行 IFFT运算；subplot（ 1， 2， 2） ；plo t（ X ）；title（′FFT降噪信号′）；axis（ [0， 2 000， - 1. 5， 1. 5 ]） ；降噪结果不是特别光滑，与原声信号数据有一定差距出入。
4.2、小波变换降噪处理
小波处理方法是把信号进行频带分解，从而使其分成高频和低频两个部分，然后再继续对低、高频进行再降低分解，然后一直到通过了分解层数的标准要求为止。小波降噪的信号采样频率树图步骤，分别是：原始信号-1层小波分解-2层小波分解-n层小波分解。本文采用的是将进行过分解后的高频细节系数进行抑制，使其达到0的标准，来进行的噪声消除。因为每次小波进行分解的过程里，都会分解出比以前更加光滑且接近原声的系数值，其进行过高频噪声的去除后进行存放，保存在细节系数内，只要对其进行系数的抑制保持其数值为0，就可以顺利的实现降低高音噪声的目的。此外，另一种有效的降噪方法为该层细节系数缩小法，也同样可以达到此目的[3]。具体步骤为；
（1）用dB10小波进行对噪信号的8层分解。
（2）将第8层近似系数进行提取出来，将其视为降噪后系数（如果运用的是缩小细节系数法，那么就需要将该层近似、抑制后细节系数一起进行降噪后信号的重构。）。本文使用的是将细节系数进行抑制到0的降噪方法，处理结果十分理想。
总结：从目前对信号进行两大准则的降噪效果的实际对比来看，使用小波变换方法所得到的结果比较事宜，不但使得曲线在降噪后更加光滑，与此同时，利用小波变换方法进行的噪音信号降低所得的余弦信号与原始信号的标准对比，误差很小可粗计为1.2755，与此对比的FFT变换降噪的标准差则在2.5389左右，所以，从两大标准的角度分析，小波变换对比FFT变换更具处理结果上的优势，另外，利用小波降噪变换后的噪声信号管理起来更加方便，可以从每个不同层次自选进行信号抑制，这种降噪方式无论从手段上还是方法上，都更具高明灵活之处。
参考文献
[1] 王济，胡晓.MATLAB在振动信号处理中的应用[M].北京：中国水利水电出版社，2013，32（18）：62-62.
[2] 王正林，刘明.精通MATLAB7[M].北京：电子工业出版社，2014，28（8）：82-83.
[3] 林玉荣，唐江河，邓正隆.基于小波和FFT的组合分形噪声生成方法[J].哈尔滨工业大学学报，2016，38（5）：777-778.
作者简介
车逸远（1995-），男，籍贯（精确到市）：山东省栖霞市，当前职务：学员，当前职称：学员，学历：本科，研究方向：自动化控制。
[关键词]FFT；小波变换；降噪应用
中图分类号：TV51 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2018）34-0196-01
一、 引言
由于信号的采集过程中是呈数字形式存在的，在对其进行采集时，难免会遇到一些来自于外界的干扰，有时候这些干扰是人为造成的，这些影响难免会产生对信号的大量干扰，这样就会造成采样数据与真实值有些偏离，而降噪实际上就是对数字信号进行处理的一个重要过程，可以将信号中的干扰成分进行减小甚至是消除，促使经过滤除后的采集信号，可以去除高频噪声，最大程度的保持与真实值的接近。首先我们需要知道信号降噪的两大基本准则。第一，光滑性：应保持降噪后的信号与原信号保持一致，都具有一致的光滑性。第二，相似性。必须保持降噪后的信号与原信号尽可能的减小方差估计。至此笔者文本中将采取两种数据处理方法，分别以FFT和小波变换两种数据处理方式进行对噪声的分别处理，并且在降噪准则的基础上，进行两种结果的分析对比，最终研究两种方法在降噪数据处理中的有效性。
二、 FFT变换
快速傅里叶变换是离散傅里叶的一种快速计算方法。其中前者也可用FFT進行表示，后者用DFT表示。N点序列x（n）的N点DFT可用公式进行表示：
其中，那么对系数的周期性进行加以利用，就会得到：
运算中的某些DFT项可以进行合并，然后通过对称性和周期性的利用，就可以将原本为长序的DFT进行序列分解，最终成为短序。快速傅里叶变换（FFT）正是TukeyJW巧对WN因子对称性及周期性特点的有效利用，最后构成了DFT的快速运算方法FFT，至于FFT的基本算法问题，目前归类两大类，即按频率抽取法与时间抽取法两种，时间抽取法的英文名称Decimation-in-time，DIT，频率抽取法为Decimation-in-frequency，DIF，如果N=2L为序列长度，且L数值取整数的时候，通常叫做基2FFT，这种方法在目前来说也是普遍使用的一种算法[1]。
三、 小波变换
小波变换的定义为设j（t）∈L（R）∩L2（R），j（k）为傅里叶变换，当j（k）进项以下条件的满足、
按么代表基本小波的则是j（t），那么进行平移与尺度伸缩后的j（t）则可以得到函数族数如下
（3）
j（t）进行连续小波生成后，分别由a和b分别代表尺度与平移两种参量。根据上述1公式，k为0，为促使被积函数的数值有效性，则一定要有有j^（0），因此对于公式1来说，其等价条件应当为
这个公式中的j（t）没有直流，只含有交流，也就是所谓的震荡性，所以也可以叫做“波”。为了可以让j（t）含有一定的局部性，也就是说使其快速在有限区间外进行衰减成零，因为还需要加上的内容有衰减条件
（4）
所以它的含义为：当满足条件t→±∞时，|j（t）|要比1/|t|的衰减速度快，局部性是在衰减条件下对小波的一定要求，所以这种局部性才会用“小”字表示，也因此，（1）叫做小波，其变换定义公式为：
四、 信号降噪
本文是在FFT和小波进行互相交换的基础条件下，分别对余弦加噪信号进行噪声的消噪处理，并且对比这两种噪音降消的效果与结果[2]。
4.1、FFT降噪处理
低频余弦信号是上述进行了噪声信号加入后的基础信号，而噪声则是随机提取的高频信号，对本噪音信号进行降噪所使用的基本方法与思想是，对噪音部分进行对高频部分内容的抑制，将低频信号进行保留，如此来完成降噪目标。FFT降噪要进行多个步骤，具体内容如下：
（1）进行对信号内容部分的FFT运算。
（2）在频谱的基础上，进行对出现在信号内的噪声部分的印制。
（3）基于变换后的频谱基础上，对其进行傅里叶逆变换，从而获取降噪后的信号。
f（t）为本信号中的余弦信号时，那么g（t）就是对其进行降噪后的所得信号，进行傅里叶变换以后，所得结果分别是F（k）、G（k）。如果用公式进行这个过程的表示则为：
H（k）在公式中表示的是使用过滤波器以后的噪声信号频率，文章中进行了M ATLAB的 FFT降噪程序下的过程为：
X = ifft（ Y ）； X = real（X ）； % 对滤除高频部；t= 0： 0. 001： 2；x= cos（ 2* πi* t）；y= x+ 0. 25* randn（ 1， length（t ） ）；subplo t（ 1， 2， 1）；plo t（y ）；ax is（ [0， 2 000， - 1. 5， 1. 5 ]）；Y= fft（ y ）； Y= abs（ Y ）； %对加噪信号进行FFT运算；index 2= 50∶ 1 950；y （index 2）= zeros（ size（index 2） ）； % 抑频噪声分的信号进行 IFFT运算；subplot（ 1， 2， 2） ；plo t（ X ）；title（′FFT降噪信号′）；axis（ [0， 2 000， - 1. 5， 1. 5 ]） ；降噪结果不是特别光滑，与原声信号数据有一定差距出入。
4.2、小波变换降噪处理
小波处理方法是把信号进行频带分解，从而使其分成高频和低频两个部分，然后再继续对低、高频进行再降低分解，然后一直到通过了分解层数的标准要求为止。小波降噪的信号采样频率树图步骤，分别是：原始信号-1层小波分解-2层小波分解-n层小波分解。本文采用的是将进行过分解后的高频细节系数进行抑制，使其达到0的标准，来进行的噪声消除。因为每次小波进行分解的过程里，都会分解出比以前更加光滑且接近原声的系数值，其进行过高频噪声的去除后进行存放，保存在细节系数内，只要对其进行系数的抑制保持其数值为0，就可以顺利的实现降低高音噪声的目的。此外，另一种有效的降噪方法为该层细节系数缩小法，也同样可以达到此目的[3]。具体步骤为；
（1）用dB10小波进行对噪信号的8层分解。
（2）将第8层近似系数进行提取出来，将其视为降噪后系数（如果运用的是缩小细节系数法，那么就需要将该层近似、抑制后细节系数一起进行降噪后信号的重构。）。本文使用的是将细节系数进行抑制到0的降噪方法，处理结果十分理想。
总结：从目前对信号进行两大准则的降噪效果的实际对比来看，使用小波变换方法所得到的结果比较事宜，不但使得曲线在降噪后更加光滑，与此同时，利用小波变换方法进行的噪音信号降低所得的余弦信号与原始信号的标准对比，误差很小可粗计为1.2755，与此对比的FFT变换降噪的标准差则在2.5389左右，所以，从两大标准的角度分析，小波变换对比FFT变换更具处理结果上的优势，另外，利用小波降噪变换后的噪声信号管理起来更加方便，可以从每个不同层次自选进行信号抑制，这种降噪方式无论从手段上还是方法上，都更具高明灵活之处。
参考文献
[1] 王济，胡晓.MATLAB在振动信号处理中的应用[M].北京：中国水利水电出版社，2013，32（18）：62-62.
[2] 王正林，刘明.精通MATLAB7[M].北京：电子工业出版社，2014，28（8）：82-83.
[3] 林玉荣，唐江河，邓正隆.基于小波和FFT的组合分形噪声生成方法[J].哈尔滨工业大学学报，2016，38（5）：777-778.
作者简介
车逸远（1995-），男，籍贯（精确到市）：山东省栖霞市，当前职务：学员，当前职称：学员，学历：本科，研究方向：自动化控制。