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[摘 要]振动和波在平时的生产生活中有着广泛的应用，是高中物理学习的主要内容之一，但由于振动和波的知识比较抽象，学生理解把握不准，难以熟练准确地运用相关知识解决问题。为了有效做好振动和波的高考复习工作，提升学生解决振动和波问题的能力，文章从三个方面进行简要分析。
[关键词]振动与波；时间空间；辩证关系；动态之美；严谨思维
[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2017）32003104
振动和波具有时间与空间的对称美，其图像包含有豐富的物理信息。在学习过程中，要深刻理解振动与波的辩证关系，理解波形图变迁的动态之美。在解题时，要建立最基本的振动与波动的物理模型，从基本物理模型出发进行迁移与变式，注意振动与波的周期性与多解问题，培养严谨思维的学习素养，以便在高考中取得佳绩。
一、知识思维导图（如文末图所示）
二、聚焦振动与波动的物理模型
在教学“振动和波”时，教师要帮助学生建立最基本的振动与波动的物理模型。与以往学习的运动形式不同，简谐运动具有周期性与对称性，而机械波具有时间与空间的动态之美。
1.简谐运动模型——对称性与周期性
简谐运动具有时间与空间的对称性，学生可以利用简谐运动的周期性与对称性解题，从而树立“对称美”的美学观点。
（1）简谐运动的对称性
简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两个位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的，其中位移、回复力、加速度的方向一定相反，速度、动量的方向不能确定。运动时间也具有对称性，即在关于平衡位置对称的两段位移上运动的时间相等。用好对称性观点，对解决有关问题有帮助。
（2）简谐运动的周期性
简谐运动具有周期性，在解题时特别要注意由于周期性而导致题目的多解问题。一个振动系统的运动周期的大小由振动系统本身的性质决定，与外界因素无关，理解了这一点，在解决相关问题时就不易出错。如单摆的振动周期公式为T=2πLg，每振动一个周期物体经过的路程一定为4A（A为振幅）；每振动半个周期物体经过的路程一定为2A（A为振幅）。
【例2】 一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则下列说法中正确的是（ ）。
A.若t时刻和（t Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和（t Δt）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于T/2的整数倍
C.若Δt=T，则在t时刻和（t Δt）时刻振子运动的加速度一定相等
D.若Δt=T/2，则在t时刻和（t Δt）时刻弹簧的长度一定相等
析与解：若t时刻和（t Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，表明两时刻振子只是在同一位置，其速度方向还可能相反，则Δt不一定是T的整数倍，故选项A错误。若t时刻和（t Δt）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，这时振子可能处于平衡位置两侧的两个对称的位置上，也可能是两次处于同一位置上，这都不能保证Δt一定是T2的整数倍，故选项B错误。振子每经过一个周期，必然回到原来的位置，其对应的加速度一定相等，故选项C正确。经过半个周期，弹簧的长度变化大小相等、方向相反，即一个对应弹簧被压缩，另一个对应弹簧被拉伸，这两种情况下弹簧的长度不相等，可见选项D错误。综上所述，本题的正确答案为C。
2.机械波问题——时间与空间之美
波动问题具有复杂性，具体表现为它的周期性与多解性，在学习机械波时一定要注意思维的严谨性，学会全面分析问题。
（1）波动问题的周期性
波在传播过程中需要时间，也需要一定的介质空间。波动过程具有时间和空间的周期性。在传播振动的过程中，介质中每一个质点相对平衡位置的位移随时间做周期性变化，这体现了时间的周期性；另一方面，每一时刻，介质中沿波传播方向上各个质点的空间分布具有空间周期性。如相距波长整数倍的两个质点的振动状态，它们在任意时刻的位移、速度及相关量均相同，而相距半波长奇数倍的两个质点的振动状态，它们在任意时刻的位移、速度及相关量均完全相反。
（2）波动问题的多解性
机械波传播时具有双向性，可以向左传播，也可向右传播，这是机械波的双向性。双向性与周期性是波的两个基本特征。波的这两个特征决定了波动问题通常具有多解性。为了准确表达波的多解性，通常先写出一般通式，再结合某些限制条件，得出所需要的特解，这样可有效防止漏解。
【例4】 如图4所示，绳中有一列正弦横波，沿x轴传播，a、b是绳上两点，它们在x轴上的距离小于一个波长，当a点振动到最高点时，b点恰好经过平衡位置向上运动。试在图上a、b之间画出波形图。
析与解：波源起振后，产生的波可以在介质中向四周传播。若题中没有特别注明传播方向，则求解时必须讨论其传播方向，因而导致相关波动问题的多解。本题没有注明波的传播方向，所以需要讨论波向 x轴方向和-x轴方向传播的两种情况。由于a、b间距离小于一个波长。因此a、b间不足一个波长，其图像如图5所示，①为波向 x轴方向传播时的波形；②是波沿-x轴方向传播时的波形。
3.解读振动与波的辩证关系
振动与波动现象既有紧密的联系，又有本质的区别，掌握它们的个性与共性的辩证关系，对正确把握和理解这两种运动形式以及迅速解答振动与波动的综合题有重要意义。
（1）机械振动和机械波的联系与区别
①从产生条件看，振动是波动的成因，波动是振动在介质中的传播，有波动必有振动，但是有振动未必有波动，所以产生机械波的条件是：振动和介质。 ②从运动现象看，振动是单个质点在平衡位置的往复运动；波动是介质中大量质点依次振动而形成的，波动中每个质点的运动都是在各自的平衡位置附近做振动，但是，各个质点的振动有先后，而且质点并不随波的传播而迁移。
③从运动性质看，振动是非匀速周期性运动，其位移、速度、加速度随时间做周期性变化；而波的传播是匀速运动，波速只与传播振动的介质有关，与振动本身无关，波传播的距离与时间关系为s=vt，但对波上的每个质点来说，它的运动只是振动，其振动周期等于振源的周期。
（2）振动图像与波动图像的区别与联系
振动图像与波动图像都是正弦或余弦曲线，但是其物理意义却不相同。
①物理意义。振动图像表示振动的一个质点在不同时刻离开平衡位置的位移，振动图像随时间的延长而延伸，但原有的图像不变。波动图像表示介质中在波的传播方向上一系列质点在同一时刻离开平衡位置的位移，随着时间的推移，波的图像是在更多的质点参与下延伸，且原有图像要随之变化。
②图像中的信息。由振动图像可确定的物理量：振幅、周期；可确定质点在某时刻的位移、速度、加速度的方向。波动图像可确定的物理量：振幅、波长；可确定该时刻各个质点的位移、速度、加速度的方向。
③振动方向的判定。振动图像中质点的速度方向与图像的起伏方向一致，要看在该时刻后的位置在哪里就往哪里运动。波动图像中质点振动的速度方向可用“上下坡”法则判定：设想一个人沿波的传播方向前进，波形升高的方向叫“上坡”，波形下降的地方叫“下坡”，上坡处的质点向下振动，下坡处的质点向上振动，记为“正向看，上坡下，下坡上”。
【例5】 一简谐横波在x轴上传播，在某时刻的波形如图6所示。已知此时质点F的运动方向向下，则（ ）。
A.此波朝x轴负方向传播
B.质点D此时向下运动
C.质点B将比质点C先回到平衡位置
D.质点E的振幅为零
析与解：本题主要考查对波的传播方向与波上某质点运动方向的推理判断，以及对波形图的想象能力。由质点F向下振动可知，此列波从右向左传播，质点只会在平衡位置附近上下做简谐振动，不会随着波向前传播，同一列波上的各个质点的振幅都是相等的。由此可以判断，质点D向下运动；此时质点B向上运动，质点C向下运动，质点C比B先回到平衡位置。在此列波上，所有振动质点的振幅都是相等的。故选项A、B正确。
三、振动和波高考风向标
振动和波是每年高考的必考内容，其中命题热点是简谐运动以及波的图像。一道试题往往考查多个概念和规律。特别是通过波的图像综合考查对波的理解能力、推理能力和空间想象能力。
近几年，高考对振动和波的考查情况都非常相似，分析这些试题的特征，对高考复习有战略性的指导作用。具体考查内容有：①波的形成和波形图的变迁；②波的传播方向和质点振动方向的关系；③简谐运动的周期及相关决定因素；④简谐运动的振动图像；⑤单摆的振动周期；⑥简谐运动问题的综合分析；⑦受迫振动与共振的利用和防止；⑧多普勒效应。
【例9】 （2017年天津卷）手持较长软绳端点O，以周期T在竖直方向上做简谐运动，带动绳上的其他质点振动形成简谐波，沿绳水平传播，示意图如图10所示。绳上有另一质点P，且O、P的平衡位置间距为L。当t=0时，O位于最高点，P的位移恰好为零，速度方向竖直向上，下列判断正确的是（ ）。
A.该简谐波是縱波
B.该简谐波的最大波长为2L
C.t=T8时，P在平衡位置上方
D.t=3T8时，P的速度方向竖直向上
析与解：质点的振动方向与传播方向垂直，该简谐波是横波，A错误；该简谐波的最大波长为4L，B错误；0～T8时间内，质点P从平衡位置向上运动，C正确；T4～T2时间内，质点P从最高点向平衡位置运动，D错误。本题的正确答案为C。
析与解：（1）由图可得周期T=2s，则波长λ=vT=2m，两列波从波源传播到点A（8，-2）的路程差Δr=r1-r2=10m-8m=2m。两列波的振动步调相反，从波源传播到点B（4，1）的路程差为0，引起该处质点的振动相互减弱，从波源传播到点C（0，0.5）的路程差为1m=λ2
×1，该处质点为振动加强点。
综上可知，振动与波动问题是历年高考的必考点，由于这部分内容非常抽象，其中存在振动和波动两种不同的运动形式，图像法形象、直观，但是其中包含丰富的物理信息，周期性与多解性造成学生在解题时往往不能正确完整地解决此类问题。
（责任编辑 易志毅）
[关键词]振动与波；时间空间；辩证关系；动态之美；严谨思维
[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2017）32003104
振动和波具有时间与空间的对称美，其图像包含有豐富的物理信息。在学习过程中，要深刻理解振动与波的辩证关系，理解波形图变迁的动态之美。在解题时，要建立最基本的振动与波动的物理模型，从基本物理模型出发进行迁移与变式，注意振动与波的周期性与多解问题，培养严谨思维的学习素养，以便在高考中取得佳绩。
一、知识思维导图（如文末图所示）
二、聚焦振动与波动的物理模型
在教学“振动和波”时，教师要帮助学生建立最基本的振动与波动的物理模型。与以往学习的运动形式不同，简谐运动具有周期性与对称性，而机械波具有时间与空间的动态之美。
1.简谐运动模型——对称性与周期性
简谐运动具有时间与空间的对称性，学生可以利用简谐运动的周期性与对称性解题，从而树立“对称美”的美学观点。
（1）简谐运动的对称性
简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两个位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的，其中位移、回复力、加速度的方向一定相反，速度、动量的方向不能确定。运动时间也具有对称性，即在关于平衡位置对称的两段位移上运动的时间相等。用好对称性观点，对解决有关问题有帮助。
（2）简谐运动的周期性
简谐运动具有周期性，在解题时特别要注意由于周期性而导致题目的多解问题。一个振动系统的运动周期的大小由振动系统本身的性质决定，与外界因素无关，理解了这一点，在解决相关问题时就不易出错。如单摆的振动周期公式为T=2πLg，每振动一个周期物体经过的路程一定为4A（A为振幅）；每振动半个周期物体经过的路程一定为2A（A为振幅）。
【例2】 一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则下列说法中正确的是（ ）。
A.若t时刻和（t Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和（t Δt）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于T/2的整数倍
C.若Δt=T，则在t时刻和（t Δt）时刻振子运动的加速度一定相等
D.若Δt=T/2，则在t时刻和（t Δt）时刻弹簧的长度一定相等
析与解：若t时刻和（t Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，表明两时刻振子只是在同一位置，其速度方向还可能相反，则Δt不一定是T的整数倍，故选项A错误。若t时刻和（t Δt）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，这时振子可能处于平衡位置两侧的两个对称的位置上，也可能是两次处于同一位置上，这都不能保证Δt一定是T2的整数倍，故选项B错误。振子每经过一个周期，必然回到原来的位置，其对应的加速度一定相等，故选项C正确。经过半个周期，弹簧的长度变化大小相等、方向相反，即一个对应弹簧被压缩，另一个对应弹簧被拉伸，这两种情况下弹簧的长度不相等，可见选项D错误。综上所述，本题的正确答案为C。
2.机械波问题——时间与空间之美
波动问题具有复杂性，具体表现为它的周期性与多解性，在学习机械波时一定要注意思维的严谨性，学会全面分析问题。
（1）波动问题的周期性
波在传播过程中需要时间，也需要一定的介质空间。波动过程具有时间和空间的周期性。在传播振动的过程中，介质中每一个质点相对平衡位置的位移随时间做周期性变化，这体现了时间的周期性；另一方面，每一时刻，介质中沿波传播方向上各个质点的空间分布具有空间周期性。如相距波长整数倍的两个质点的振动状态，它们在任意时刻的位移、速度及相关量均相同，而相距半波长奇数倍的两个质点的振动状态，它们在任意时刻的位移、速度及相关量均完全相反。
（2）波动问题的多解性
机械波传播时具有双向性，可以向左传播，也可向右传播，这是机械波的双向性。双向性与周期性是波的两个基本特征。波的这两个特征决定了波动问题通常具有多解性。为了准确表达波的多解性，通常先写出一般通式，再结合某些限制条件，得出所需要的特解，这样可有效防止漏解。
【例4】 如图4所示，绳中有一列正弦横波，沿x轴传播，a、b是绳上两点，它们在x轴上的距离小于一个波长，当a点振动到最高点时，b点恰好经过平衡位置向上运动。试在图上a、b之间画出波形图。
析与解：波源起振后，产生的波可以在介质中向四周传播。若题中没有特别注明传播方向，则求解时必须讨论其传播方向，因而导致相关波动问题的多解。本题没有注明波的传播方向，所以需要讨论波向 x轴方向和-x轴方向传播的两种情况。由于a、b间距离小于一个波长。因此a、b间不足一个波长，其图像如图5所示，①为波向 x轴方向传播时的波形；②是波沿-x轴方向传播时的波形。
3.解读振动与波的辩证关系
振动与波动现象既有紧密的联系，又有本质的区别，掌握它们的个性与共性的辩证关系，对正确把握和理解这两种运动形式以及迅速解答振动与波动的综合题有重要意义。
（1）机械振动和机械波的联系与区别
①从产生条件看，振动是波动的成因，波动是振动在介质中的传播，有波动必有振动，但是有振动未必有波动，所以产生机械波的条件是：振动和介质。 ②从运动现象看，振动是单个质点在平衡位置的往复运动；波动是介质中大量质点依次振动而形成的，波动中每个质点的运动都是在各自的平衡位置附近做振动，但是，各个质点的振动有先后，而且质点并不随波的传播而迁移。
③从运动性质看，振动是非匀速周期性运动，其位移、速度、加速度随时间做周期性变化；而波的传播是匀速运动，波速只与传播振动的介质有关，与振动本身无关，波传播的距离与时间关系为s=vt，但对波上的每个质点来说，它的运动只是振动，其振动周期等于振源的周期。
（2）振动图像与波动图像的区别与联系
振动图像与波动图像都是正弦或余弦曲线，但是其物理意义却不相同。
①物理意义。振动图像表示振动的一个质点在不同时刻离开平衡位置的位移，振动图像随时间的延长而延伸，但原有的图像不变。波动图像表示介质中在波的传播方向上一系列质点在同一时刻离开平衡位置的位移，随着时间的推移，波的图像是在更多的质点参与下延伸，且原有图像要随之变化。
②图像中的信息。由振动图像可确定的物理量：振幅、周期；可确定质点在某时刻的位移、速度、加速度的方向。波动图像可确定的物理量：振幅、波长；可确定该时刻各个质点的位移、速度、加速度的方向。
③振动方向的判定。振动图像中质点的速度方向与图像的起伏方向一致，要看在该时刻后的位置在哪里就往哪里运动。波动图像中质点振动的速度方向可用“上下坡”法则判定：设想一个人沿波的传播方向前进，波形升高的方向叫“上坡”，波形下降的地方叫“下坡”，上坡处的质点向下振动，下坡处的质点向上振动，记为“正向看，上坡下，下坡上”。
【例5】 一简谐横波在x轴上传播，在某时刻的波形如图6所示。已知此时质点F的运动方向向下，则（ ）。
A.此波朝x轴负方向传播
B.质点D此时向下运动
C.质点B将比质点C先回到平衡位置
D.质点E的振幅为零
析与解：本题主要考查对波的传播方向与波上某质点运动方向的推理判断，以及对波形图的想象能力。由质点F向下振动可知，此列波从右向左传播，质点只会在平衡位置附近上下做简谐振动，不会随着波向前传播，同一列波上的各个质点的振幅都是相等的。由此可以判断，质点D向下运动；此时质点B向上运动，质点C向下运动，质点C比B先回到平衡位置。在此列波上，所有振动质点的振幅都是相等的。故选项A、B正确。
三、振动和波高考风向标
振动和波是每年高考的必考内容，其中命题热点是简谐运动以及波的图像。一道试题往往考查多个概念和规律。特别是通过波的图像综合考查对波的理解能力、推理能力和空间想象能力。
近几年，高考对振动和波的考查情况都非常相似，分析这些试题的特征，对高考复习有战略性的指导作用。具体考查内容有：①波的形成和波形图的变迁；②波的传播方向和质点振动方向的关系；③简谐运动的周期及相关决定因素；④简谐运动的振动图像；⑤单摆的振动周期；⑥简谐运动问题的综合分析；⑦受迫振动与共振的利用和防止；⑧多普勒效应。
【例9】 （2017年天津卷）手持较长软绳端点O，以周期T在竖直方向上做简谐运动，带动绳上的其他质点振动形成简谐波，沿绳水平传播，示意图如图10所示。绳上有另一质点P，且O、P的平衡位置间距为L。当t=0时，O位于最高点，P的位移恰好为零，速度方向竖直向上，下列判断正确的是（ ）。
A.该简谐波是縱波
B.该简谐波的最大波长为2L
C.t=T8时，P在平衡位置上方
D.t=3T8时，P的速度方向竖直向上
析与解：质点的振动方向与传播方向垂直，该简谐波是横波，A错误；该简谐波的最大波长为4L，B错误；0～T8时间内，质点P从平衡位置向上运动，C正确；T4～T2时间内，质点P从最高点向平衡位置运动，D错误。本题的正确答案为C。
析与解：（1）由图可得周期T=2s，则波长λ=vT=2m，两列波从波源传播到点A（8，-2）的路程差Δr=r1-r2=10m-8m=2m。两列波的振动步调相反，从波源传播到点B（4，1）的路程差为0，引起该处质点的振动相互减弱，从波源传播到点C（0，0.5）的路程差为1m=λ2
×1，该处质点为振动加强点。
综上可知，振动与波动问题是历年高考的必考点，由于这部分内容非常抽象，其中存在振动和波动两种不同的运动形式，图像法形象、直观，但是其中包含丰富的物理信息，周期性与多解性造成学生在解题时往往不能正确完整地解决此类问题。
（责任编辑 易志毅）