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摘要：动力学是理论力学教学中的难点和重点之一，是机械类和近机类专业后续课程学习的重要基础。由于动力学问题的受力分析和运动比较复杂，且动力学定理形式繁多，大多数学生在解题过程中难以正确找到切入点，在形成清晰的解题思路方面存在较大的困难。笔者从动力学定理的推导和定理间的相互比较的角度对动力学定理进行基本阐述，然后归纳其应用，籍此形成动力学部分的知识链，以期达到利于教学和学生学习的目的。
关键词：动力学定理；公式推导；定理比较及应用
作者简介：王宏伟（1976-），女，河南信阳人，南京工程学院材料学院，讲师，工学博士，主要研究方向：焊接过程反应热力学计算与树值模拟、新型无铅钎料的设计与连接技术。（江苏 南京 211167）
动力学和静力学、运动学是理论力学的三个重要组成部分。其中，动力学是理论力学教学中的难点和重点之一，也是机械类和近机类专业学生学习后续课程的重要基础，它在机械原理和机械设计中有着极为广泛的应用。在理论力学的动力学部分主要存在如下几个重要定理（定律）：动量定理、动量矩定理、动能定理及其对应的动量守恒定律、动量矩守恒定律和机械能守恒定律。[1]在应用动力学普遍定理解题过程中，由于各类定理（定律）的形式繁多、系统（构件）的运动和受力分析也相对比较复杂，大多数学生在学习过程中难以快速、正确找到切入点，在形成清晰的解题思路方面存在较大的困难。[2]本文仅就定理的一般推导和应用进行基本阐述，希望藉此形成动力学部分的知识链，利于教师的日常教学和学生的学习。
一、定理的推导
从定理的推导过程来看，动量定理、动量矩定理、动能定理都源于牛顿第二定律。本文仅对研究对象为质点的情况进行讨论。
1.动量定理
即质点动量对时间的一阶导数等于作用于质点上的力。
如果作用于质点的外力主矢恒等于零，则质点的动量保持不变，即得动量守恒定律。
P=P0=恒矢量
2.动量矩定理
即质点对某固定轴（或某固定点）的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点上的力对该轴或该点的矩。
如果作用于质点的力对于某定点O的矩恒等于零，则该质点的动量矩保持不变，即得动量矩守恒定律：
MO（mv）=恒矢量
3.动能定理
即质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。
二、不同定理的比较学习
1.牛顿第二定律和动量定理的比较
牛顿第二定律是牛顿力学的核心内容，它揭示了物体运动和受力之间的关系：1）力是使物体产生加速度的原因：用ma来量度力F的作用效果；2）加速度跟力之间存在瞬时关系：加速度跟力同时产生、同时变化、同时消失，并存在正比、同向的关系。
动量定理则解释了冲量是引起运动状态改变的原因：物体由于受到冲量的作用而引起动量的变化；冲量的大小决定了物体动量变化的多少；作用在质点上的合外力冲量的矢量和等于质点动量的增量。
动量定理的微分形式其实是牛顿第二定律的另一种表述，牛顿第二定律和动量定理都反映了外力作用与物体运动状态变化的因果关系。在经典力学范围内，因为质量m恒定不变，牛顿第二定律与动量定理是完全等效的，动量定理只不过是从动量的角度对牛顿第二定律进行表述。但是在相对论力学中由于质点的相对论质量（简称动质量）随质点速率的增大而增大。当物体的速度v接近到光速c时，F=ma不再成立，但牛顿第二定律（或动量定理）的微分形式依然成立。[3]由此可见，比F=ma具有更广泛的适用性和更普遍的意义。
2.牛顿第二定律和动能定理的比较
牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，力和加速度同时产生、同时变化、同时消失。动能定理则刻画了合外力的功与动能之间的变化关系，它是力对位移的积累作用规律：在某一过程中力对物体做的功使物体的动能发生了变化。由于动能定理只涉及运动过程中各力做功及物体运动过程的始、末状态，不涉及物体的加速度、时间及过程中物体的运动性质、物体受力性质（所受力是变力还是恒力）等，所以一般来说用动能定理解决问题要比用牛顿第二定律和运动学公式求解简单，并且动能定理可求解对牛顿第二定律和运动学公式不能解决的变力作用问题。
3.动量定理和动量矩定理的比较
动量定理建立了作用力与动量变化之间的关系，它揭示了质点系运动规律的一个侧面而不是全貌。因为在求质点系动量时我们经常利用公式p=mvC，而对于绕质心的刚体定轴转动问题因为vC=0则p=0。这样我们利用动量定理就无法求解绕质心的刚体定轴转动问题以及诸如此类的动力学问题。
而动量矩定理给出质点系的动量矩与质点系受机械作用的力矩之间的关系。对于绕质心定轴转动的问题，刚体的动量为零，但动量矩一般不为零。例如绕过质心的轴做定轴转动的刚体，对质心的转动惯量为JO，角速度为ω，其动量矩为JOω。这样就可以利用动量矩定理来求解绕质心的刚体定轴转动问题的角速度、角加速度等运动参量。所以牵扯到运动学的转动问题一般多利用动量矩定理求解。
4.动量定理和动能定理的比较
动量定理和动能定理都反映了运动物体过程量和状态量之间的关系：动量定理反映了力对时间的积累效果和动量之间的关系，动能定理则反映力对空间的积累和动能间的关系。两定理都可由牛顿运动定律和运动学公式的结合推导。但动量定理和动能定理遵循的变化规律不同，并且从不同的角度来描述物体的机械运动。动量是矢量，它的变化与外力的冲量相等，动量的变化决定了物体克服阻力的影响运动时间的长短；动能是标量，其大小与速度的平方成正比，它的变化与外力做功相等，动能的变化决定了物体克服阻力能够运动多少路程。[4]从解题的切入点来看，有关时间的问题常用动量定理来解，有关位移距离的问题常用动能定理来解。
三、应用技巧浅析
动力学普遍定理根据物理量的性质一般可分为两类：一类是物理量为矢量形式的动量定理和动量矩定理，它们在不同的坐标轴下都有其对应的投影方程，用它们解题可求解未知量的大小和方向；另一类是动能定理，它所包含的物理量是标量，用它一般只能求解未知量的大小，关于未知量的方向要利用其他方法分析得到。对质点系而言，动量定理和动量矩定理中的力只是质点系的外力，利用其解题时只需考虑系统的外力，不需要分析其内力；而在一些情况下，尽管系统的内力等值而反向，但所做功之和并不一定为零，因此用动能定理解题时，既要考虑质点系外力的功，又要考虑内力做功。[5]
一般来说，动力学是研究物体的机械运动与作用力之间的关系，不管用什么方法求解动力学问题，进行受力分析和运动分析是必需的，这里给出了从受力分析到选择不同定理求解的一般过程，如图1所示。
解决动力学问题时，在各个定理的选择过程中，先应认真审清题意，选用恰当的定理。在选择研究对象时，若不需要求质点系的内力，则一般选取整个系统为研究对象；对于两个转轴以上物体组成的系统，若用动量矩定理时，必须取单个轴为研究对象；另外，用动力学普遍定理列出的方程，其未知量的个数常多于独立的方程式的个数，需要列出运动学补充方程。
从求解对象来看：若求约束反力的问题，可选用动量定理、质心运动定理、动量矩定理或相对于质心的动量矩定理；一般不用动能定理直接求约束反力，因为在理论力学中，约束常被看成是理想约束，约束反力做功之和常常等于零。若待求量是加速度或角加速度时，对质点系可用动量定理、质心运动定理；对定轴转动刚体，可用动量矩定理或定轴转动微分方程；对平面运动刚体，常用平面运动微分方程。
从求解自由度来看，若为求解单自由度的综合性问题，比较简单有效的方法是取整个系统为研究对象，然后用动能定理求运动，再由其他定理求力。表1给出了动力学定理和其一般适用场合小结。
四、结束语
在求解动力学问题时，从不同的角度分析往往有多种解法可供选择，这就需要根据问题的特点和自己对定理理解掌握的程度来选用定理，一般应选择力学意义直观明确、数学形式简单的方法求解。
参考文献：
[1]哈尔落工业大学理论力学教研组.理论力学(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2]周长春.牛顿第二定律与动量定理刍议[J].中学物理教学参考,2005,(9).
[3]贾玉华.动量与动能的比较教学[J].内蒙古林业调查设计,2007,30(2):76-77.
[4]陈云信.关于动力学普遍定理综合应用中的迁移效应[J].高等函授学报(自然科学版),2006,19(1):35-41.
[5]朱伯靖.应用运动学普遍定理解题的一般思路[J].华南热带农业大学学报,2001,7(1):62-67.
（责任编辑：沈清）
关键词：动力学定理；公式推导；定理比较及应用
作者简介：王宏伟（1976-），女，河南信阳人，南京工程学院材料学院，讲师，工学博士，主要研究方向：焊接过程反应热力学计算与树值模拟、新型无铅钎料的设计与连接技术。（江苏 南京 211167）
动力学和静力学、运动学是理论力学的三个重要组成部分。其中，动力学是理论力学教学中的难点和重点之一，也是机械类和近机类专业学生学习后续课程的重要基础，它在机械原理和机械设计中有着极为广泛的应用。在理论力学的动力学部分主要存在如下几个重要定理（定律）：动量定理、动量矩定理、动能定理及其对应的动量守恒定律、动量矩守恒定律和机械能守恒定律。[1]在应用动力学普遍定理解题过程中，由于各类定理（定律）的形式繁多、系统（构件）的运动和受力分析也相对比较复杂，大多数学生在学习过程中难以快速、正确找到切入点，在形成清晰的解题思路方面存在较大的困难。[2]本文仅就定理的一般推导和应用进行基本阐述，希望藉此形成动力学部分的知识链，利于教师的日常教学和学生的学习。
一、定理的推导
从定理的推导过程来看，动量定理、动量矩定理、动能定理都源于牛顿第二定律。本文仅对研究对象为质点的情况进行讨论。
1.动量定理
即质点动量对时间的一阶导数等于作用于质点上的力。
如果作用于质点的外力主矢恒等于零，则质点的动量保持不变，即得动量守恒定律。
P=P0=恒矢量
2.动量矩定理
即质点对某固定轴（或某固定点）的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点上的力对该轴或该点的矩。
如果作用于质点的力对于某定点O的矩恒等于零，则该质点的动量矩保持不变，即得动量矩守恒定律：
MO（mv）=恒矢量
3.动能定理
即质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。
二、不同定理的比较学习
1.牛顿第二定律和动量定理的比较
牛顿第二定律是牛顿力学的核心内容，它揭示了物体运动和受力之间的关系：1）力是使物体产生加速度的原因：用ma来量度力F的作用效果；2）加速度跟力之间存在瞬时关系：加速度跟力同时产生、同时变化、同时消失，并存在正比、同向的关系。
动量定理则解释了冲量是引起运动状态改变的原因：物体由于受到冲量的作用而引起动量的变化；冲量的大小决定了物体动量变化的多少；作用在质点上的合外力冲量的矢量和等于质点动量的增量。
动量定理的微分形式其实是牛顿第二定律的另一种表述，牛顿第二定律和动量定理都反映了外力作用与物体运动状态变化的因果关系。在经典力学范围内，因为质量m恒定不变，牛顿第二定律与动量定理是完全等效的，动量定理只不过是从动量的角度对牛顿第二定律进行表述。但是在相对论力学中由于质点的相对论质量（简称动质量）随质点速率的增大而增大。当物体的速度v接近到光速c时，F=ma不再成立，但牛顿第二定律（或动量定理）的微分形式依然成立。[3]由此可见，比F=ma具有更广泛的适用性和更普遍的意义。
2.牛顿第二定律和动能定理的比较
牛顿第二定律是力的瞬时作用规律，力和加速度同时产生、同时变化、同时消失。动能定理则刻画了合外力的功与动能之间的变化关系，它是力对位移的积累作用规律：在某一过程中力对物体做的功使物体的动能发生了变化。由于动能定理只涉及运动过程中各力做功及物体运动过程的始、末状态，不涉及物体的加速度、时间及过程中物体的运动性质、物体受力性质（所受力是变力还是恒力）等，所以一般来说用动能定理解决问题要比用牛顿第二定律和运动学公式求解简单，并且动能定理可求解对牛顿第二定律和运动学公式不能解决的变力作用问题。
3.动量定理和动量矩定理的比较
动量定理建立了作用力与动量变化之间的关系，它揭示了质点系运动规律的一个侧面而不是全貌。因为在求质点系动量时我们经常利用公式p=mvC，而对于绕质心的刚体定轴转动问题因为vC=0则p=0。这样我们利用动量定理就无法求解绕质心的刚体定轴转动问题以及诸如此类的动力学问题。
而动量矩定理给出质点系的动量矩与质点系受机械作用的力矩之间的关系。对于绕质心定轴转动的问题，刚体的动量为零，但动量矩一般不为零。例如绕过质心的轴做定轴转动的刚体，对质心的转动惯量为JO，角速度为ω，其动量矩为JOω。这样就可以利用动量矩定理来求解绕质心的刚体定轴转动问题的角速度、角加速度等运动参量。所以牵扯到运动学的转动问题一般多利用动量矩定理求解。
4.动量定理和动能定理的比较
动量定理和动能定理都反映了运动物体过程量和状态量之间的关系：动量定理反映了力对时间的积累效果和动量之间的关系，动能定理则反映力对空间的积累和动能间的关系。两定理都可由牛顿运动定律和运动学公式的结合推导。但动量定理和动能定理遵循的变化规律不同，并且从不同的角度来描述物体的机械运动。动量是矢量，它的变化与外力的冲量相等，动量的变化决定了物体克服阻力的影响运动时间的长短；动能是标量，其大小与速度的平方成正比，它的变化与外力做功相等，动能的变化决定了物体克服阻力能够运动多少路程。[4]从解题的切入点来看，有关时间的问题常用动量定理来解，有关位移距离的问题常用动能定理来解。
三、应用技巧浅析
动力学普遍定理根据物理量的性质一般可分为两类：一类是物理量为矢量形式的动量定理和动量矩定理，它们在不同的坐标轴下都有其对应的投影方程，用它们解题可求解未知量的大小和方向；另一类是动能定理，它所包含的物理量是标量，用它一般只能求解未知量的大小，关于未知量的方向要利用其他方法分析得到。对质点系而言，动量定理和动量矩定理中的力只是质点系的外力，利用其解题时只需考虑系统的外力，不需要分析其内力；而在一些情况下，尽管系统的内力等值而反向，但所做功之和并不一定为零，因此用动能定理解题时，既要考虑质点系外力的功，又要考虑内力做功。[5]
一般来说，动力学是研究物体的机械运动与作用力之间的关系，不管用什么方法求解动力学问题，进行受力分析和运动分析是必需的，这里给出了从受力分析到选择不同定理求解的一般过程，如图1所示。
解决动力学问题时，在各个定理的选择过程中，先应认真审清题意，选用恰当的定理。在选择研究对象时，若不需要求质点系的内力，则一般选取整个系统为研究对象；对于两个转轴以上物体组成的系统，若用动量矩定理时，必须取单个轴为研究对象；另外，用动力学普遍定理列出的方程，其未知量的个数常多于独立的方程式的个数，需要列出运动学补充方程。
从求解对象来看：若求约束反力的问题，可选用动量定理、质心运动定理、动量矩定理或相对于质心的动量矩定理；一般不用动能定理直接求约束反力，因为在理论力学中，约束常被看成是理想约束，约束反力做功之和常常等于零。若待求量是加速度或角加速度时，对质点系可用动量定理、质心运动定理；对定轴转动刚体，可用动量矩定理或定轴转动微分方程；对平面运动刚体，常用平面运动微分方程。
从求解自由度来看，若为求解单自由度的综合性问题，比较简单有效的方法是取整个系统为研究对象，然后用动能定理求运动，再由其他定理求力。表1给出了动力学定理和其一般适用场合小结。
四、结束语
在求解动力学问题时，从不同的角度分析往往有多种解法可供选择，这就需要根据问题的特点和自己对定理理解掌握的程度来选用定理，一般应选择力学意义直观明确、数学形式简单的方法求解。
参考文献：
[1]哈尔落工业大学理论力学教研组.理论力学(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2]周长春.牛顿第二定律与动量定理刍议[J].中学物理教学参考,2005,(9).
[3]贾玉华.动量与动能的比较教学[J].内蒙古林业调查设计,2007,30(2):76-77.
[4]陈云信.关于动力学普遍定理综合应用中的迁移效应[J].高等函授学报(自然科学版),2006,19(1):35-41.
[5]朱伯靖.应用运动学普遍定理解题的一般思路[J].华南热带农业大学学报,2001,7(1):62-67.
（责任编辑：沈清）