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摘 要：概念是思维的基本单位．数学概念是构建数学理论大厦的基石，是推导数学定理和公式的逻辑基础，是提高解题能力的前提. 因此数学概念教学是“双基”教学的核心，在教学实际中要给予足够的重视．
关键词：高中数学；新课标；概念教学．
在教学实际中有不少学生学习很努力，但是成绩不理想. 其直接原因往往是对概念的理解不够透彻，以及对概念的应用和转化不灵活. 数学概念用于反映各个数学对象的本质属性，是形成各个知识系统的基本元素，是分析和解决各个数学问题的基础，是进行数学思维的基本出发点，是提高解题能力的前提. 正确理解和应用数学概念，是数学高考考查的重点之一. 因此，数学概念的教学已成为数学教学的重要环节，下面从几个具体的方面谈一谈数学概念教学的一点体会：
■合理创设教学情境，重视引入概念
《新课程标准》强调：教师要通过教学情境的创设，以任务启动学习，激活学生的已有经验，指导学生体验和感悟学习内容. 概念的引入是概念学习的第一步，它是形成概念的基础，教师应引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程． 合理设置情境，使学生积极参与教学，了解知识发生发展的背景和过程，使学生加深对概念的记忆和理解．
1. 关注概念产生的背景，提出问题，引入概念
例如：学习“导数”概念前这样提出问题：通过上节课学习，我们知道平均变化率是刻画函数在某个区间内变化快慢程度的量，并不能刻画函数在某一时刻的变化快慢程度，那么用一个什么量来刻画函数在某一时刻变化快慢程度呢？这就是我们这节课要学习的内容——导数．
又如：“学习异面直线所成的角”这个概念，以熟悉的正方体为例，观察图中的几对异面直线，从位置关系来说，同为异面直线，但它们的相对位置是有区别的，既然有区别，说明仅用“异面”来描述异面直线间的相对位置是不够的． 在实际数学问题中，有时还需要进一步考虑它们的相对位置，这就给数学提出了一个新任务：怎样刻画异面直线间的这种相对位置，或者说，引进一个什么数学量来刻画这种相对位置呢？——角和距离．
2. 在感性认识的基础上引入数学概念
形成准确概念的首要条件是使学生获得十分丰富的感性材料，所以在数学概念的教学中，要密切联系概念的现实原型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的实例，观察有关的实物模型，在感性认识的基础上逐步建立概念．比如：我们在讲圆柱、圆锥、球的概念时，由于圆柱、圆锥、球属于三维图形，用平面直观图难免会造成视角上的失真，我们可以借助教具，利用几何画板动画展示帮助学生理解；在讲数学归纳法时，为了帮助学生理解“递推”的含义，可以引进“多米诺”骨牌游戏，由于骨牌之间的特殊的排列方法，只要推倒了第一块骨牌，第二块骨牌就会倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，……，如此传递下去，所有的骨牌都会倒下，这种传递相推的方法叫递推．
3. 适当引入数学史，感知概念的文化内涵
新课标中明确指出要“努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”，在教学中要引导学生经历从具体实例抽象的过程． 充分揭示概念的来源可以借助恰当的数学史．
例如：“数列”的概念教学，教材引用了战国时期庄子的一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，将其作为引例之一，论述了有限长度可分割成一个无穷数列． 而墨子则指出：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点，指出了这种无限分割的变化和结果． 庄子和墨子的这种对比和碰撞，对中国古代数学理论的发展很有意义，教师引导得好在某种程度上也会激发学生学好数学的热情．
■“精确”表述概念，“准确”理解概念
1. 强调概念中的关键词语，做好概念理解．
数学概念都是用文字叙述的，且文字精练、简明、准确，所以对有些数学概念的辨析简直需要“咬文嚼字”．
例1 “数列中从第二项起，每一项与前一项的差都是一个常数，则此数列称为等差数列”，这句话对吗？
分析：这句话看起来符合等差数列的定义，似乎是对的，但仔细一想就会发现问题，应该将“常数”改为“同一常数”． 否则数列3，5，6，9，…不也成了等差数列吗．
又如对函数概念中的“任何”与“唯一”要重点强调． 然后举例y=x3，y2=x，前者可以称y是x的函数，后者不能称y是x的函数． 因为对于任何一个x，不是对应唯一的y． 这样通过正反实例，强调概念中的关键词语，更能加深概念的理解．
2. 理解概念不忘特例
对概念的理解往往遗忘特例的存在，所以学习数学概念时，我们必须注意特例．
例2 若向量a∥b且b∥c，则a∥c是真命题吗？
分析 此命题看起来是正确的，但当b=0时，就发现不正确了． 书中规定“零向量与任何向量都是平行向量”，所以此命题是假命题．
例3 已知集合A=｛x-2≤x≤5｝，B=｛xm+1≤x≤2m-1｝，若B?哿A，求实数m的取值范围．
分析：结合数轴和B?哿A可得不等式组2m－1≥m+1，m+1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3，
至此题目还没有解完，当B为空集时，也满足B?哿A，此时2m-1＜m+1，得m<2，?摇?摇故m的取值范围为m≤3．?摇
子集合的概念中有一句话，“空集是任何集合的子集”，这是子集合的一种特殊情况．
3. 从限制条件加深理解
对概念的理解产生偏差的常见病是“忽略条件”，其实，很多数学概念是有条件的，如果忽略了这些条件，就会曲解题意，造成错误．
例4 动点P到F1（1，0）的距离比它到定点F2（3，0）的距离小2，则P的轨迹是（ ）
A． 椭圆
B． 双曲线的一支
C． 一条射线
D． 两条射线
分析：很多学生在解题时，往往被PF2－PF1=2所吸引，把它理解成“在平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数”符合双曲线的定义，故选B． 此时，忽略了一个细节，课本定义双曲线时，有一个限定条件“常数小于两定点的距离”． 在本题中，两定点的距离恰好等于2，所以P的轨迹不是双曲线的一支，应是一条射线，选C．
例5 求过点（3，2）且在两坐标轴截距相等的直线方程．
分析：这是课本上的一个题目，但是学生做的时候经常出错，还一时找不到错因． 一般会这样做：因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以设直线方程是■+■=1． 又因为过点（3，2），所以有■+■=1，则a=5，因此所求的直线方程为x+y=5． 那么错在何处？其实设直线方程■+■=1已经迈出了错误的第一步，因为直线的截距式是有条件的，它要求截距存在且不为零，而在坐标轴上的截距相等，可能都是零，所以漏掉了过原点的情况，直线还可能是y=kx，则另一条直线方程是y=■x．
4. 逆向分析，加深对概念的理解．
教学中，有意识地培养学生的逆向思维，能加深对概念的理解与运用． 例如学习正棱锥的概念后，可以提出如下问题并思考：①侧棱相等的棱锥是否一定是正棱锥？（不一定）②底面是正多边形的棱锥是否一定是正棱锥？（不一定）③各侧面与底面所成的二面角都相等的棱锥是否一定是正棱锥？（不一定）这样做，使学生对正棱锥的概念更清楚了．
5. 概念辨析，加深对概念的理解
学习了奇函数和偶函数概念后，判断下列命题的真假：
例6 对于定义在R上的函数f（x），
（1）若f（－1）=f（1），则函数f（x）是偶函数；
（2）对于定义域内的无数个x，使得f（－x）=f（x），则函数f（x）是偶函数；
（3）对于定义域内的任意x，使得f（－x）－f（x）=0，则函数f（x）是偶函数；
（4）若f（－1）≠f（1），则函数f（x）不是偶函数
通过这几个小题的练习，强化了概念中的“任意”的含义，也帮助学生进一步理解了概念．
6. 抽象问题中，深化概念理解
例7 （1）已知函数y=f（x）为偶函数，则有（ ）
A． f（x+1）=f（-x-1）
B． f（x+1）=f（-x+1）
（2）已知函数y=f（x+1）为偶函数，则有（ ）
A． f（x+1）=f（-x+1）
B． f（x+1）=f（-x-1）
剖析：对奇偶性的理解应从以下几方面着手：①定义域要关于原点对称． ②函数y=f（x）中的对应法则“f”是对整体变量x的作用． ③对定义域中的任意x恒有f（x）=f（-x）（或f（x）=-f（-x））成立．
对于（1），因为函数y=f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x），把x+1视为整体变量，令t=x+1，则f（t）=f（-t），即f（x+1）=f（-x-1），故选A．
对于（2），y=f（x+1）是对应法则“f”对整体变量x+1作用，设作用后关于x的函数为g（x），则f（x+1）=g（x）．
因为y=f（x+1）=g（x）为偶函数，所以g（-x）=g（x），故f（x+1）=f（-x+1），选A．
综上可知，数学概念是学生形成良好的认知结构的纽带，是智能发展的重要因素． 学生对数学概念的掌握，必须通过数学活动完成． 只有这样才能使学生更深刻地理解数学，以至进行数学创造． 加强数学概念教学，既是深化教学改革的需要，也是培养“智能型”人才和提高教学有效性的需要．
关键词：高中数学；新课标；概念教学．
在教学实际中有不少学生学习很努力，但是成绩不理想. 其直接原因往往是对概念的理解不够透彻，以及对概念的应用和转化不灵活. 数学概念用于反映各个数学对象的本质属性，是形成各个知识系统的基本元素，是分析和解决各个数学问题的基础，是进行数学思维的基本出发点，是提高解题能力的前提. 正确理解和应用数学概念，是数学高考考查的重点之一. 因此，数学概念的教学已成为数学教学的重要环节，下面从几个具体的方面谈一谈数学概念教学的一点体会：
■合理创设教学情境，重视引入概念
《新课程标准》强调：教师要通过教学情境的创设，以任务启动学习，激活学生的已有经验，指导学生体验和感悟学习内容. 概念的引入是概念学习的第一步，它是形成概念的基础，教师应引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程． 合理设置情境，使学生积极参与教学，了解知识发生发展的背景和过程，使学生加深对概念的记忆和理解．
1. 关注概念产生的背景，提出问题，引入概念
例如：学习“导数”概念前这样提出问题：通过上节课学习，我们知道平均变化率是刻画函数在某个区间内变化快慢程度的量，并不能刻画函数在某一时刻的变化快慢程度，那么用一个什么量来刻画函数在某一时刻变化快慢程度呢？这就是我们这节课要学习的内容——导数．
又如：“学习异面直线所成的角”这个概念，以熟悉的正方体为例，观察图中的几对异面直线，从位置关系来说，同为异面直线，但它们的相对位置是有区别的，既然有区别，说明仅用“异面”来描述异面直线间的相对位置是不够的． 在实际数学问题中，有时还需要进一步考虑它们的相对位置，这就给数学提出了一个新任务：怎样刻画异面直线间的这种相对位置，或者说，引进一个什么数学量来刻画这种相对位置呢？——角和距离．
2. 在感性认识的基础上引入数学概念
形成准确概念的首要条件是使学生获得十分丰富的感性材料，所以在数学概念的教学中，要密切联系概念的现实原型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的实例，观察有关的实物模型，在感性认识的基础上逐步建立概念．比如：我们在讲圆柱、圆锥、球的概念时，由于圆柱、圆锥、球属于三维图形，用平面直观图难免会造成视角上的失真，我们可以借助教具，利用几何画板动画展示帮助学生理解；在讲数学归纳法时，为了帮助学生理解“递推”的含义，可以引进“多米诺”骨牌游戏，由于骨牌之间的特殊的排列方法，只要推倒了第一块骨牌，第二块骨牌就会倒下，接着第三块就会倒下，第四块也会倒下，……，如此传递下去，所有的骨牌都会倒下，这种传递相推的方法叫递推．
3. 适当引入数学史，感知概念的文化内涵
新课标中明确指出要“努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”，在教学中要引导学生经历从具体实例抽象的过程． 充分揭示概念的来源可以借助恰当的数学史．
例如：“数列”的概念教学，教材引用了战国时期庄子的一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，将其作为引例之一，论述了有限长度可分割成一个无穷数列． 而墨子则指出：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点，指出了这种无限分割的变化和结果． 庄子和墨子的这种对比和碰撞，对中国古代数学理论的发展很有意义，教师引导得好在某种程度上也会激发学生学好数学的热情．
■“精确”表述概念，“准确”理解概念
1. 强调概念中的关键词语，做好概念理解．
数学概念都是用文字叙述的，且文字精练、简明、准确，所以对有些数学概念的辨析简直需要“咬文嚼字”．
例1 “数列中从第二项起，每一项与前一项的差都是一个常数，则此数列称为等差数列”，这句话对吗？
分析：这句话看起来符合等差数列的定义，似乎是对的，但仔细一想就会发现问题，应该将“常数”改为“同一常数”． 否则数列3，5，6，9，…不也成了等差数列吗．
又如对函数概念中的“任何”与“唯一”要重点强调． 然后举例y=x3，y2=x，前者可以称y是x的函数，后者不能称y是x的函数． 因为对于任何一个x，不是对应唯一的y． 这样通过正反实例，强调概念中的关键词语，更能加深概念的理解．
2. 理解概念不忘特例
对概念的理解往往遗忘特例的存在，所以学习数学概念时，我们必须注意特例．
例2 若向量a∥b且b∥c，则a∥c是真命题吗？
分析 此命题看起来是正确的，但当b=0时，就发现不正确了． 书中规定“零向量与任何向量都是平行向量”，所以此命题是假命题．
例3 已知集合A=｛x-2≤x≤5｝，B=｛xm+1≤x≤2m-1｝，若B?哿A，求实数m的取值范围．
分析：结合数轴和B?哿A可得不等式组2m－1≥m+1，m+1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3，
至此题目还没有解完，当B为空集时，也满足B?哿A，此时2m-1＜m+1，得m<2，?摇?摇故m的取值范围为m≤3．?摇
子集合的概念中有一句话，“空集是任何集合的子集”，这是子集合的一种特殊情况．
3. 从限制条件加深理解
对概念的理解产生偏差的常见病是“忽略条件”，其实，很多数学概念是有条件的，如果忽略了这些条件，就会曲解题意，造成错误．
例4 动点P到F1（1，0）的距离比它到定点F2（3，0）的距离小2，则P的轨迹是（ ）
A． 椭圆
B． 双曲线的一支
C． 一条射线
D． 两条射线
分析：很多学生在解题时，往往被PF2－PF1=2所吸引，把它理解成“在平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数”符合双曲线的定义，故选B． 此时，忽略了一个细节，课本定义双曲线时，有一个限定条件“常数小于两定点的距离”． 在本题中，两定点的距离恰好等于2，所以P的轨迹不是双曲线的一支，应是一条射线，选C．
例5 求过点（3，2）且在两坐标轴截距相等的直线方程．
分析：这是课本上的一个题目，但是学生做的时候经常出错，还一时找不到错因． 一般会这样做：因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以设直线方程是■+■=1． 又因为过点（3，2），所以有■+■=1，则a=5，因此所求的直线方程为x+y=5． 那么错在何处？其实设直线方程■+■=1已经迈出了错误的第一步，因为直线的截距式是有条件的，它要求截距存在且不为零，而在坐标轴上的截距相等，可能都是零，所以漏掉了过原点的情况，直线还可能是y=kx，则另一条直线方程是y=■x．
4. 逆向分析，加深对概念的理解．
教学中，有意识地培养学生的逆向思维，能加深对概念的理解与运用． 例如学习正棱锥的概念后，可以提出如下问题并思考：①侧棱相等的棱锥是否一定是正棱锥？（不一定）②底面是正多边形的棱锥是否一定是正棱锥？（不一定）③各侧面与底面所成的二面角都相等的棱锥是否一定是正棱锥？（不一定）这样做，使学生对正棱锥的概念更清楚了．
5. 概念辨析，加深对概念的理解
学习了奇函数和偶函数概念后，判断下列命题的真假：
例6 对于定义在R上的函数f（x），
（1）若f（－1）=f（1），则函数f（x）是偶函数；
（2）对于定义域内的无数个x，使得f（－x）=f（x），则函数f（x）是偶函数；
（3）对于定义域内的任意x，使得f（－x）－f（x）=0，则函数f（x）是偶函数；
（4）若f（－1）≠f（1），则函数f（x）不是偶函数
通过这几个小题的练习，强化了概念中的“任意”的含义，也帮助学生进一步理解了概念．
6. 抽象问题中，深化概念理解
例7 （1）已知函数y=f（x）为偶函数，则有（ ）
A． f（x+1）=f（-x-1）
B． f（x+1）=f（-x+1）
（2）已知函数y=f（x+1）为偶函数，则有（ ）
A． f（x+1）=f（-x+1）
B． f（x+1）=f（-x-1）
剖析：对奇偶性的理解应从以下几方面着手：①定义域要关于原点对称． ②函数y=f（x）中的对应法则“f”是对整体变量x的作用． ③对定义域中的任意x恒有f（x）=f（-x）（或f（x）=-f（-x））成立．
对于（1），因为函数y=f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x），把x+1视为整体变量，令t=x+1，则f（t）=f（-t），即f（x+1）=f（-x-1），故选A．
对于（2），y=f（x+1）是对应法则“f”对整体变量x+1作用，设作用后关于x的函数为g（x），则f（x+1）=g（x）．
因为y=f（x+1）=g（x）为偶函数，所以g（-x）=g（x），故f（x+1）=f（-x+1），选A．
综上可知，数学概念是学生形成良好的认知结构的纽带，是智能发展的重要因素． 学生对数学概念的掌握，必须通过数学活动完成． 只有这样才能使学生更深刻地理解数学，以至进行数学创造． 加强数学概念教学，既是深化教学改革的需要，也是培养“智能型”人才和提高教学有效性的需要．