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摘 要:概念是思维的基本单位.数学概念是构建数学理论大厦的基石,是推导数学定理和公式的逻辑基础,是提高解题能力的前提. 因此数学概念教学是“双基”教学的核心,在教学实际中要给予足够的重视.
关键词:高中数学;新课标;概念教学.
在教学实际中有不少学生学习很努力,但是成绩不理想. 其直接原因往往是对概念的理解不够透彻,以及对概念的应用和转化不灵活. 数学概念用于反映各个数学对象的本质属性,是形成各个知识系统的基本元素,是分析和解决各个数学问题的基础,是进行数学思维的基本出发点,是提高解题能力的前提. 正确理解和应用数学概念,是数学高考考查的重点之一. 因此,数学概念的教学已成为数学教学的重要环节,下面从几个具体的方面谈一谈数学概念教学的一点体会:
■合理创设教学情境,重视引入概念
《新课程标准》强调:教师要通过教学情境的创设,以任务启动学习,激活学生的已有经验,指导学生体验和感悟学习内容. 概念的引入是概念学习的第一步,它是形成概念的基础,教师应引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程. 合理设置情境,使学生积极参与教学,了解知识发生发展的背景和过程,使学生加深对概念的记忆和理解.
1. 关注概念产生的背景,提出问题,引入概念
例如:学习“导数”概念前这样提出问题:通过上节课学习,我们知道平均变化率是刻画函数在某个区间内变化快慢程度的量,并不能刻画函数在某一时刻的变化快慢程度,那么用一个什么量来刻画函数在某一时刻变化快慢程度呢?这就是我们这节课要学习的内容——导数.
又如:“学习异面直线所成的角”这个概念,以熟悉的正方体为例,观察图中的几对异面直线,从位置关系来说,同为异面直线,但它们的相对位置是有区别的,既然有区别,说明仅用“异面”来描述异面直线间的相对位置是不够的. 在实际数学问题中,有时还需要进一步考虑它们的相对位置,这就给数学提出了一个新任务:怎样刻画异面直线间的这种相对位置,或者说,引进一个什么数学量来刻画这种相对位置呢?——角和距离.
2. 在感性认识的基础上引入数学概念
形成准确概念的首要条件是使学生获得十分丰富的感性材料,所以在数学概念的教学中,要密切联系概念的现实原型,引导学生分析日常生活和生产实际中常见的实例,观察有关的实物模型,在感性认识的基础上逐步建立概念.比如:我们在讲圆柱、圆锥、球的概念时,由于圆柱、圆锥、球属于三维图形,用平面直观图难免会造成视角上的失真,我们可以借助教具,利用几何画板动画展示帮助学生理解;在讲数学归纳法时,为了帮助学生理解“递推”的含义,可以引进“多米诺”骨牌游戏,由于骨牌之间的特殊的排列方法,只要推倒了第一块骨牌,第二块骨牌就会倒下,接着第三块就会倒下,第四块也会倒下,……,如此传递下去,所有的骨牌都会倒下,这种传递相推的方法叫递推.
3. 适当引入数学史,感知概念的文化内涵
新课标中明确指出要“努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”,在教学中要引导学生经历从具体实例抽象的过程. 充分揭示概念的来源可以借助恰当的数学史.
例如:“数列”的概念教学,教材引用了战国时期庄子的一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,将其作为引例之一,论述了有限长度可分割成一个无穷数列. 而墨子则指出:将一线段按一半一半地无限分割下去,就必将出现一个不能再分割的“非半”,这个“非半”就是点,指出了这种无限分割的变化和结果. 庄子和墨子的这种对比和碰撞,对中国古代数学理论的发展很有意义,教师引导得好在某种程度上也会激发学生学好数学的热情.
■“精确”表述概念,“准确”理解概念
1. 强调概念中的关键词语,做好概念理解.
数学概念都是用文字叙述的,且文字精练、简明、准确,所以对有些数学概念的辨析简直需要“咬文嚼字”.
例1 “数列中从第二项起,每一项与前一项的差都是一个常数,则此数列称为等差数列”,这句话对吗?
分析:这句话看起来符合等差数列的定义,似乎是对的,但仔细一想就会发现问题,应该将“常数”改为“同一常数”. 否则数列3,5,6,9,…不也成了等差数列吗.
又如对函数概念中的“任何”与“唯一”要重点强调. 然后举例y=x3,y2=x,前者可以称y是x的函数,后者不能称y是x的函数. 因为对于任何一个x,不是对应唯一的y. 这样通过正反实例,强调概念中的关键词语,更能加深概念的理解.
2. 理解概念不忘特例
对概念的理解往往遗忘特例的存在,所以学习数学概念时,我们必须注意特例.
例2 若向量a∥b且b∥c,则a∥c是真命题吗?
分析 此命题看起来是正确的,但当b=0时,就发现不正确了. 书中规定“零向量与任何向量都是平行向量”,所以此命题是假命题.
例3 已知集合A={x-2≤x≤5},B={xm+1≤x≤2m-1},若B?哿A,求实数m的取值范围.
分析:结合数轴和B?哿A可得不等式组2m-1≥m+1,m+1≥-2,2m-1≤5,解得2≤m≤3,
至此题目还没有解完,当B为空集时,也满足B?哿A,此时2m-1<m+1,得m<2,?摇?摇故m的取值范围为m≤3.?摇
子集合的概念中有一句话,“空集是任何集合的子集”,这是子集合的一种特殊情况.
3. 从限制条件加深理解
对概念的理解产生偏差的常见病是“忽略条件”,其实,很多数学概念是有条件的,如果忽略了这些条件,就会曲解题意,造成错误.
例4 动点P到F1(1,0)的距离比它到定点F2(3,0)的距离小2,则P的轨迹是( )
A. 椭圆
B. 双曲线的一支
C. 一条射线
D. 两条射线
分析:很多学生在解题时,往往被PF2-PF1=2所吸引,把它理解成“在平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数”符合双曲线的定义,故选B. 此时,忽略了一个细节,课本定义双曲线时,有一个限定条件“常数小于两定点的距离”. 在本题中,两定点的距离恰好等于2,所以P的轨迹不是双曲线的一支,应是一条射线,选C.
例5 求过点(3,2)且在两坐标轴截距相等的直线方程.
分析:这是课本上的一个题目,但是学生做的时候经常出错,还一时找不到错因. 一般会这样做:因为直线在两坐标轴上的截距相等,所以设直线方程是■+■=1. 又因为过点(3,2),所以有■+■=1,则a=5,因此所求的直线方程为x+y=5. 那么错在何处?其实设直线方程■+■=1已经迈出了错误的第一步,因为直线的截距式是有条件的,它要求截距存在且不为零,而在坐标轴上的截距相等,可能都是零,所以漏掉了过原点的情况,直线还可能是y=kx,则另一条直线方程是y=■x.
4. 逆向分析,加深对概念的理解.
教学中,有意识地培养学生的逆向思维,能加深对概念的理解与运用. 例如学习正棱锥的概念后,可以提出如下问题并思考:①侧棱相等的棱锥是否一定是正棱锥?(不一定)②底面是正多边形的棱锥是否一定是正棱锥?(不一定)③各侧面与底面所成的二面角都相等的棱锥是否一定是正棱锥?(不一定)这样做,使学生对正棱锥的概念更清楚了.
5. 概念辨析,加深对概念的理解
学习了奇函数和偶函数概念后,判断下列命题的真假:
例6 对于定义在R上的函数f(x),
(1)若f(-1)=f(1),则函数f(x)是偶函数;
(2)对于定义域内的无数个x,使得f(-x)=f(x),则函数f(x)是偶函数;
(3)对于定义域内的任意x,使得f(-x)-f(x)=0,则函数f(x)是偶函数;
(4)若f(-1)≠f(1),则函数f(x)不是偶函数
通过这几个小题的练习,强化了概念中的“任意”的含义,也帮助学生进一步理解了概念.
6. 抽象问题中,深化概念理解
例7 (1)已知函数y=f(x)为偶函数,则有( )
A. f(x+1)=f(-x-1)
B. f(x+1)=f(-x+1)
(2)已知函数y=f(x+1)为偶函数,则有( )
A. f(x+1)=f(-x+1)
B. f(x+1)=f(-x-1)
剖析:对奇偶性的理解应从以下几方面着手:①定义域要关于原点对称. ②函数y=f(x)中的对应法则“f”是对整体变量x的作用. ③对定义域中的任意x恒有f(x)=f(-x)(或f(x)=-f(-x))成立.
对于(1),因为函数y=f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),把x+1视为整体变量,令t=x+1,则f(t)=f(-t),即f(x+1)=f(-x-1),故选A.
对于(2),y=f(x+1)是对应法则“f”对整体变量x+1作用,设作用后关于x的函数为g(x),则f(x+1)=g(x).
因为y=f(x+1)=g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),故f(x+1)=f(-x+1),选A.
综上可知,数学概念是学生形成良好的认知结构的纽带,是智能发展的重要因素. 学生对数学概念的掌握,必须通过数学活动完成. 只有这样才能使学生更深刻地理解数学,以至进行数学创造. 加强数学概念教学,既是深化教学改革的需要,也是培养“智能型”人才和提高教学有效性的需要.
关键词:高中数学;新课标;概念教学.
在教学实际中有不少学生学习很努力,但是成绩不理想. 其直接原因往往是对概念的理解不够透彻,以及对概念的应用和转化不灵活. 数学概念用于反映各个数学对象的本质属性,是形成各个知识系统的基本元素,是分析和解决各个数学问题的基础,是进行数学思维的基本出发点,是提高解题能力的前提. 正确理解和应用数学概念,是数学高考考查的重点之一. 因此,数学概念的教学已成为数学教学的重要环节,下面从几个具体的方面谈一谈数学概念教学的一点体会:
■合理创设教学情境,重视引入概念
《新课程标准》强调:教师要通过教学情境的创设,以任务启动学习,激活学生的已有经验,指导学生体验和感悟学习内容. 概念的引入是概念学习的第一步,它是形成概念的基础,教师应引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程. 合理设置情境,使学生积极参与教学,了解知识发生发展的背景和过程,使学生加深对概念的记忆和理解.
1. 关注概念产生的背景,提出问题,引入概念
例如:学习“导数”概念前这样提出问题:通过上节课学习,我们知道平均变化率是刻画函数在某个区间内变化快慢程度的量,并不能刻画函数在某一时刻的变化快慢程度,那么用一个什么量来刻画函数在某一时刻变化快慢程度呢?这就是我们这节课要学习的内容——导数.
又如:“学习异面直线所成的角”这个概念,以熟悉的正方体为例,观察图中的几对异面直线,从位置关系来说,同为异面直线,但它们的相对位置是有区别的,既然有区别,说明仅用“异面”来描述异面直线间的相对位置是不够的. 在实际数学问题中,有时还需要进一步考虑它们的相对位置,这就给数学提出了一个新任务:怎样刻画异面直线间的这种相对位置,或者说,引进一个什么数学量来刻画这种相对位置呢?——角和距离.
2. 在感性认识的基础上引入数学概念
形成准确概念的首要条件是使学生获得十分丰富的感性材料,所以在数学概念的教学中,要密切联系概念的现实原型,引导学生分析日常生活和生产实际中常见的实例,观察有关的实物模型,在感性认识的基础上逐步建立概念.比如:我们在讲圆柱、圆锥、球的概念时,由于圆柱、圆锥、球属于三维图形,用平面直观图难免会造成视角上的失真,我们可以借助教具,利用几何画板动画展示帮助学生理解;在讲数学归纳法时,为了帮助学生理解“递推”的含义,可以引进“多米诺”骨牌游戏,由于骨牌之间的特殊的排列方法,只要推倒了第一块骨牌,第二块骨牌就会倒下,接着第三块就会倒下,第四块也会倒下,……,如此传递下去,所有的骨牌都会倒下,这种传递相推的方法叫递推.
3. 适当引入数学史,感知概念的文化内涵
新课标中明确指出要“努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”,在教学中要引导学生经历从具体实例抽象的过程. 充分揭示概念的来源可以借助恰当的数学史.
例如:“数列”的概念教学,教材引用了战国时期庄子的一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,将其作为引例之一,论述了有限长度可分割成一个无穷数列. 而墨子则指出:将一线段按一半一半地无限分割下去,就必将出现一个不能再分割的“非半”,这个“非半”就是点,指出了这种无限分割的变化和结果. 庄子和墨子的这种对比和碰撞,对中国古代数学理论的发展很有意义,教师引导得好在某种程度上也会激发学生学好数学的热情.
■“精确”表述概念,“准确”理解概念
1. 强调概念中的关键词语,做好概念理解.
数学概念都是用文字叙述的,且文字精练、简明、准确,所以对有些数学概念的辨析简直需要“咬文嚼字”.
例1 “数列中从第二项起,每一项与前一项的差都是一个常数,则此数列称为等差数列”,这句话对吗?
分析:这句话看起来符合等差数列的定义,似乎是对的,但仔细一想就会发现问题,应该将“常数”改为“同一常数”. 否则数列3,5,6,9,…不也成了等差数列吗.
又如对函数概念中的“任何”与“唯一”要重点强调. 然后举例y=x3,y2=x,前者可以称y是x的函数,后者不能称y是x的函数. 因为对于任何一个x,不是对应唯一的y. 这样通过正反实例,强调概念中的关键词语,更能加深概念的理解.
2. 理解概念不忘特例
对概念的理解往往遗忘特例的存在,所以学习数学概念时,我们必须注意特例.
例2 若向量a∥b且b∥c,则a∥c是真命题吗?
分析 此命题看起来是正确的,但当b=0时,就发现不正确了. 书中规定“零向量与任何向量都是平行向量”,所以此命题是假命题.
例3 已知集合A={x-2≤x≤5},B={xm+1≤x≤2m-1},若B?哿A,求实数m的取值范围.
分析:结合数轴和B?哿A可得不等式组2m-1≥m+1,m+1≥-2,2m-1≤5,解得2≤m≤3,
至此题目还没有解完,当B为空集时,也满足B?哿A,此时2m-1<m+1,得m<2,?摇?摇故m的取值范围为m≤3.?摇
子集合的概念中有一句话,“空集是任何集合的子集”,这是子集合的一种特殊情况.
3. 从限制条件加深理解
对概念的理解产生偏差的常见病是“忽略条件”,其实,很多数学概念是有条件的,如果忽略了这些条件,就会曲解题意,造成错误.
例4 动点P到F1(1,0)的距离比它到定点F2(3,0)的距离小2,则P的轨迹是( )
A. 椭圆
B. 双曲线的一支
C. 一条射线
D. 两条射线
分析:很多学生在解题时,往往被PF2-PF1=2所吸引,把它理解成“在平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数”符合双曲线的定义,故选B. 此时,忽略了一个细节,课本定义双曲线时,有一个限定条件“常数小于两定点的距离”. 在本题中,两定点的距离恰好等于2,所以P的轨迹不是双曲线的一支,应是一条射线,选C.
例5 求过点(3,2)且在两坐标轴截距相等的直线方程.
分析:这是课本上的一个题目,但是学生做的时候经常出错,还一时找不到错因. 一般会这样做:因为直线在两坐标轴上的截距相等,所以设直线方程是■+■=1. 又因为过点(3,2),所以有■+■=1,则a=5,因此所求的直线方程为x+y=5. 那么错在何处?其实设直线方程■+■=1已经迈出了错误的第一步,因为直线的截距式是有条件的,它要求截距存在且不为零,而在坐标轴上的截距相等,可能都是零,所以漏掉了过原点的情况,直线还可能是y=kx,则另一条直线方程是y=■x.
4. 逆向分析,加深对概念的理解.
教学中,有意识地培养学生的逆向思维,能加深对概念的理解与运用. 例如学习正棱锥的概念后,可以提出如下问题并思考:①侧棱相等的棱锥是否一定是正棱锥?(不一定)②底面是正多边形的棱锥是否一定是正棱锥?(不一定)③各侧面与底面所成的二面角都相等的棱锥是否一定是正棱锥?(不一定)这样做,使学生对正棱锥的概念更清楚了.
5. 概念辨析,加深对概念的理解
学习了奇函数和偶函数概念后,判断下列命题的真假:
例6 对于定义在R上的函数f(x),
(1)若f(-1)=f(1),则函数f(x)是偶函数;
(2)对于定义域内的无数个x,使得f(-x)=f(x),则函数f(x)是偶函数;
(3)对于定义域内的任意x,使得f(-x)-f(x)=0,则函数f(x)是偶函数;
(4)若f(-1)≠f(1),则函数f(x)不是偶函数
通过这几个小题的练习,强化了概念中的“任意”的含义,也帮助学生进一步理解了概念.
6. 抽象问题中,深化概念理解
例7 (1)已知函数y=f(x)为偶函数,则有( )
A. f(x+1)=f(-x-1)
B. f(x+1)=f(-x+1)
(2)已知函数y=f(x+1)为偶函数,则有( )
A. f(x+1)=f(-x+1)
B. f(x+1)=f(-x-1)
剖析:对奇偶性的理解应从以下几方面着手:①定义域要关于原点对称. ②函数y=f(x)中的对应法则“f”是对整体变量x的作用. ③对定义域中的任意x恒有f(x)=f(-x)(或f(x)=-f(-x))成立.
对于(1),因为函数y=f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),把x+1视为整体变量,令t=x+1,则f(t)=f(-t),即f(x+1)=f(-x-1),故选A.
对于(2),y=f(x+1)是对应法则“f”对整体变量x+1作用,设作用后关于x的函数为g(x),则f(x+1)=g(x).
因为y=f(x+1)=g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),故f(x+1)=f(-x+1),选A.
综上可知,数学概念是学生形成良好的认知结构的纽带,是智能发展的重要因素. 学生对数学概念的掌握,必须通过数学活动完成. 只有这样才能使学生更深刻地理解数学,以至进行数学创造. 加强数学概念教学,既是深化教学改革的需要,也是培养“智能型”人才和提高教学有效性的需要.