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例1.abc是三位数，若a是奇数，且abc是3的倍数，则abc最小是（）。（2017年小学“希望杯”全国数学邀请赛四年級第1试第3题）
已知abc是三位数，a是奇数，则abc最小是100。再由3的倍数的特征知，100至少应增加2，才能成为3的倍数。即abc最小是100+2=102。
例2.已知x、y是大于0的自然数，且x+y=150，若x是3的倍数，y是5的倍数，则（戈x，y）的不同取值有（ ）对。（2017年小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第5题）
由5的倍数的特征可知，y的个位数字是0或5。根据题意，可从145起进行列举，再看150与它们的差是不是3的倍数。当列举到135、120、105、90、75、60、45、30、15时，差分别是3的倍数。反之，也符合题意。如，1 5是5的倍数，则3的倍数是135。由此可知，（x，y）的不同取值有9对。
例3.6个大于零的连续奇数的乘积是135135，则这6个数中最大的是（）。（2017年小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第1试第6题）
此题的常规解法是：先将这6个数的乘积分解质因数，然后再组成6个连续奇数乘积的形式。还有一种方法，先取从1开始的6个连续奇数，算出它们的积，再进行比较。1×3×5×7×9×11=10395<135135，与题意不符。因此，将这6个数依次向后推移一个数，再试算。10395÷1×13=135135，正好符合题意。即这6个数中最大的是13。
例4.能同时被5和6整除，并且数字中至少有一个6的三位数有（）个。（2017年小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第1试第10题）
“能被5和6整除，并且数字中至少有一个6的三位数”也就是“既是5的倍数，又是6的倍数，并且数字中至少有一个6的三位数。”因为“既是5的倍数，又是6的倍数的最小的两位数是30”，所以要求的三位数要是30的倍数。是30的倍数，并且数字中至少有一个6的三位数有360、630、600、660、690、960六个。
例5.若十位数a201662017能被33整除，那么，这样的十位数有（）个。（2017年小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第1试第20题）
题中所说的能被33整除的数就是指33的倍数。这道题涉及到两个课外知识。一个是11的倍数的特征：把一个数的奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就是11的倍数。另一个是倍数的性质：如果a同时是b、c的倍数，并且b与c互质，则a一定是b和c的积的倍数，反过来也成立。因为33=3×11，3和11互质，所以这个十位数一定是3和11的倍数。由3的倍数的特征知，a与b的和可能是2、5、8、11、14、17。再由11的倍数的特征知，a-b=1。经观察可知，在2、5、8、11、14、17这几个数中，5=3+2、11=6+5、17=9+8。也就是有3-2=1、6-5=1、9-8=1。即这样的十位数有3201622017、6201652017和9201682017三个。
例6.从1至9这9个数字中选出4个不同的数字，组成一个四位数，使得这个四位数能被未选出的5个数字整除，而不能被选出的4个数字整除。那么，这个四位数是（）。（2017年“数学花园探秘”科普活动六年级组初试试卷A第10题）
题中条件“使得这个四位数能被未选出的5个数字整除，而不能被选出的4个数字整除”就是说这个数是未选出的5个数字的倍数，而不是被选出的4个数字的倍数。仔细分析题目可知：①只要5不放在个位上，这个四位数就不是5的倍数，所以选择5；②因为9的倍数的特征是“各位上的数字和是9的倍数”，经试选，选不出哪四个数字的和能被9整除，所以再选出9：③因为3的倍数的特征与9的倍数的特征类似，所以又选出3；④已选出了5、9、3后，1、2、4、7不能选，只能选剩余的数字8或6。经试算可知，符合题意的四位数是5936。
例7.如右图所示，立方体的每个面上都写有一个自然数，并且相对的两个面所写的两个数之和相等。若已知三个数14、18、35的对面写的是三个质数a、b、c，则a2+b2+c2-ab-bc-ca=（）。（2017年小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级<特>第2试第5题）
因为除了2以外的所有质数都是奇数，由两数和的奇偶性可知，14+奇数=奇数，18+奇数=奇数。由此可知，35的对面就只能是2（两数和为奇数；相对的两个面所写的两个数之和相等）。35的对面是2，则18的对面是19，14的对面是23，符合题意。因此，有22+192+232-2×19-19×23-23×2=373。
已知abc是三位数，a是奇数，则abc最小是100。再由3的倍数的特征知，100至少应增加2，才能成为3的倍数。即abc最小是100+2=102。
例2.已知x、y是大于0的自然数，且x+y=150，若x是3的倍数，y是5的倍数，则（戈x，y）的不同取值有（ ）对。（2017年小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试第5题）
由5的倍数的特征可知，y的个位数字是0或5。根据题意，可从145起进行列举，再看150与它们的差是不是3的倍数。当列举到135、120、105、90、75、60、45、30、15时，差分别是3的倍数。反之，也符合题意。如，1 5是5的倍数，则3的倍数是135。由此可知，（x，y）的不同取值有9对。
例3.6个大于零的连续奇数的乘积是135135，则这6个数中最大的是（）。（2017年小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第1试第6题）
此题的常规解法是：先将这6个数的乘积分解质因数，然后再组成6个连续奇数乘积的形式。还有一种方法，先取从1开始的6个连续奇数，算出它们的积，再进行比较。1×3×5×7×9×11=10395<135135，与题意不符。因此，将这6个数依次向后推移一个数，再试算。10395÷1×13=135135，正好符合题意。即这6个数中最大的是13。
例4.能同时被5和6整除，并且数字中至少有一个6的三位数有（）个。（2017年小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第1试第10题）
“能被5和6整除，并且数字中至少有一个6的三位数”也就是“既是5的倍数，又是6的倍数，并且数字中至少有一个6的三位数。”因为“既是5的倍数，又是6的倍数的最小的两位数是30”，所以要求的三位数要是30的倍数。是30的倍数，并且数字中至少有一个6的三位数有360、630、600、660、690、960六个。
例5.若十位数a201662017能被33整除，那么，这样的十位数有（）个。（2017年小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第1试第20题）
题中所说的能被33整除的数就是指33的倍数。这道题涉及到两个课外知识。一个是11的倍数的特征：把一个数的奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就是11的倍数。另一个是倍数的性质：如果a同时是b、c的倍数，并且b与c互质，则a一定是b和c的积的倍数，反过来也成立。因为33=3×11，3和11互质，所以这个十位数一定是3和11的倍数。由3的倍数的特征知，a与b的和可能是2、5、8、11、14、17。再由11的倍数的特征知，a-b=1。经观察可知，在2、5、8、11、14、17这几个数中，5=3+2、11=6+5、17=9+8。也就是有3-2=1、6-5=1、9-8=1。即这样的十位数有3201622017、6201652017和9201682017三个。
例6.从1至9这9个数字中选出4个不同的数字，组成一个四位数，使得这个四位数能被未选出的5个数字整除，而不能被选出的4个数字整除。那么，这个四位数是（）。（2017年“数学花园探秘”科普活动六年级组初试试卷A第10题）
题中条件“使得这个四位数能被未选出的5个数字整除，而不能被选出的4个数字整除”就是说这个数是未选出的5个数字的倍数，而不是被选出的4个数字的倍数。仔细分析题目可知：①只要5不放在个位上，这个四位数就不是5的倍数，所以选择5；②因为9的倍数的特征是“各位上的数字和是9的倍数”，经试选，选不出哪四个数字的和能被9整除，所以再选出9：③因为3的倍数的特征与9的倍数的特征类似，所以又选出3；④已选出了5、9、3后，1、2、4、7不能选，只能选剩余的数字8或6。经试算可知，符合题意的四位数是5936。
例7.如右图所示，立方体的每个面上都写有一个自然数，并且相对的两个面所写的两个数之和相等。若已知三个数14、18、35的对面写的是三个质数a、b、c，则a2+b2+c2-ab-bc-ca=（）。（2017年小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级<特>第2试第5题）
因为除了2以外的所有质数都是奇数，由两数和的奇偶性可知，14+奇数=奇数，18+奇数=奇数。由此可知，35的对面就只能是2（两数和为奇数；相对的两个面所写的两个数之和相等）。35的对面是2，则18的对面是19，14的对面是23，符合题意。因此，有22+192+232-2×19-19×23-23×2=373。