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摘 要 运算素养是在运算能力基础上提出更高要求,应该包括运算能力、运算意识、运算品质、运算态度等。为了避免训练的盲目性和教条性,本文结合具体题目,谈一谈如何在学习过程中落实运算素养。
关键词 高中;数学运算;素养;提升策略
中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1002-7661(2018)07-0183-02
《普通高中数学课程标准2011版》指出:“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力”;《普通高中数学课程标准2017版》提出:“数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等”。
笔者认为,运算素养是在运算能力基础上提出更高要求,应该包括运算能力、运算意识、运算品质、运算态度等。
章建跃曾经提到运算素养的基本要求是:“会算而且知道怎么样算的更快更准”,还提出必须强调运算的“技术成分”。“技术”问题的提升唯有反复训练,为了避免训练的盲目性和教条性,本文结合具体题目,谈一谈如何在学习过程中落实运算素养。
例题展示:
例1:已知函数 且 是 的一个极值点。
(Ⅰ)讨论函数 在 的单调性;
(Ⅱ)若 , ,当 时, 恒成立,求实数 的取值范围。
例2:(2013年全国卷Ⅱ.理21)已知函数
(Ⅰ)设 是 的极值点,求 ,并讨论 的单调性;
(Ⅱ)当 时,证明 。
1.关注定义域,强化成意识。首先养成写出函数定义域的习惯,即使函数的定义域为R,也最好写出,这并不是画蛇添足,而是强化“考虑定义域”成为“意识”的一部分,因为“意识”会让人“自动”、“第一时间”地关注定义域。如例1的已知条件对自变量的范围进行了限制;例2含有对数函数,函数本身隐含了对定义域的限制,若没有考虑定义域,单调性的讨论将变得没有意义。
2.因式分解成习惯,运算化简有方向。导数作为研究函数性质的工具,必须让学生明白“求完导后要做什么”。受到三次函数求解经验的影响,有部分学生形成了求导后就直接解不等式的思维定势。由于导函数通常不是二次函数,最终因为式子结构复杂而影响了解题的推进。
求导后首先要进行整理,需要利用通分、提公因式、因式分解等方法,将一些复杂的代数式化为若干个因式的乘积和商的形式;其次,研究 的根,因为导函数的零点会将定义域分解为若干个区间,然后可以逐一判断各个区间内导函数的符号。
如例1(Ⅱ)中由“当 时, 恒成立”但可转化为“对 时, 恒成立”。令 ,若没有化简直接求导得 ,接下来将变得无法求解.观察 式子结构的特点,会发现有公因式 ,从而可得 ,又因为 可转化为“当 时, 恒成立的问题”。这个例子告诉我们不是所有的函数直接求导就能解决问题,化简是在求定义域后要关注的第二件事。
3.常量与变量,比较要分明。含参函数的单调性是导数的重要考点,学生也对分类讨论的标准源自何处,往往不明确,尽管反复地讲练,效果依然不好,究其原因在于学生对“变量内涵”的考虑不全面。分类讨论首先要关注变量自身的取值要求,其次考虑它与其它常量或变量的大小关系。
如例1(Ⅰ)易得 ,其导函数 ,常见的错误之一是直接由 得到“ 和 ”,默认“ ”,忽略了“ ”;另一种错误是没有比较“ 和 的大小”及“ 与端點1的大小”。
大小的比较可以通过作差找到分点,即由 与 得到 和 。因此 的取值范围可分为 , , ;另一种比较直观的方法,是对比 与区间 的关系,即:
若 时, ,当 时, ,则 在 上单调递增;若 时, ,当 , ;当 , ,所以 在 上递减,在 上递增;
若 时 ,当 时, ,得 ,所以 在 上单调递减。
4.弄清主元,运算求解不混淆。从算术到代数,最主要的特征就是字母(变量)的引入,在计算中不只是数与数的计算,更多是参变量之间的运算,当有多个字母或变量时,要注意谁就主元,利用主元的思想进行降维、消元的作用。
如例2(Ⅱ)当 时,要证明 ,学生通常会直接构造函数 ,求得导函数 ,由于含有参数 ,从而无法利用导数研究函数的性质,求出 的最小值。面对这样的情况时,学生就应当及时反思,运用主元的思想,以其中一个变量为主元,从而达到消元的目的。即要证 ,只需证 ,若以 为主元, 为常量,只需求出当时 的最大值。因为 时, 单调递增,所以 ,即只需证明 ,从而构造函数 。
5.试根与估算,实虚相结合。虽然求导后常需要“求零点”,但零点时常不易求,这就要求学生学会试根与估算。
如例2(Ⅰ)易得 ,若令导函数 ,虽无法直接求根,但容易观察出 ,然后结合函数的单调性说明根的唯一性。
例2(Ⅱ)所构造的函数 ,若令其导函数 ,发现无法解方程,也无法观察出其特殊的根,这时可利用零点存在定理寻找根所在的大致区间。函数 在 上单调递增,又由 , ,可知 在 上有唯一的零点 ,且 。所以当 时, ;当 时, 。于是 在 处取得最小值。此处采用虚设零点的方式,用 表示这个无法确定但又存在的点。
6.数形结合来帮忙,运算求解更直观。“数缺形时少直观”,压轴题中所给的函数,时常不是基本初等函数,学生因无法直接画出图象而影响了解题思路的推进,因此要求学生不但要常握基础初等函数的图象,也要能画出 , , 及 这几个常见函数的图象。
总之,要提升学生的运算素养,首先要改变高中教学过程中“重思维,轻运算”的现状,学会运算也将学会思考;其次,要将运算素养的培养落实到教学环节中,对常见题型的运算方向进行总结,形成规范化思考问题的品质;最后,学会运算后的反思和自查,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
基金项目:本文是福建省“十三五”第一批中学数学学科教学带头人培养对象科研课题《提升高中生数学运算素养的教学实践研究》(立项批准号:DTRSX2017025)的阶段性成果。
参考文献:
[1]沈剑华.计算数学基础[M].同济大学出版社,1989.
关键词 高中;数学运算;素养;提升策略
中图分类号:G632 文献标识码:A 文章编号:1002-7661(2018)07-0183-02
《普通高中数学课程标准2011版》指出:“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力”;《普通高中数学课程标准2017版》提出:“数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等”。
笔者认为,运算素养是在运算能力基础上提出更高要求,应该包括运算能力、运算意识、运算品质、运算态度等。
章建跃曾经提到运算素养的基本要求是:“会算而且知道怎么样算的更快更准”,还提出必须强调运算的“技术成分”。“技术”问题的提升唯有反复训练,为了避免训练的盲目性和教条性,本文结合具体题目,谈一谈如何在学习过程中落实运算素养。
例题展示:
例1:已知函数 且 是 的一个极值点。
(Ⅰ)讨论函数 在 的单调性;
(Ⅱ)若 , ,当 时, 恒成立,求实数 的取值范围。
例2:(2013年全国卷Ⅱ.理21)已知函数
(Ⅰ)设 是 的极值点,求 ,并讨论 的单调性;
(Ⅱ)当 时,证明 。
1.关注定义域,强化成意识。首先养成写出函数定义域的习惯,即使函数的定义域为R,也最好写出,这并不是画蛇添足,而是强化“考虑定义域”成为“意识”的一部分,因为“意识”会让人“自动”、“第一时间”地关注定义域。如例1的已知条件对自变量的范围进行了限制;例2含有对数函数,函数本身隐含了对定义域的限制,若没有考虑定义域,单调性的讨论将变得没有意义。
2.因式分解成习惯,运算化简有方向。导数作为研究函数性质的工具,必须让学生明白“求完导后要做什么”。受到三次函数求解经验的影响,有部分学生形成了求导后就直接解不等式的思维定势。由于导函数通常不是二次函数,最终因为式子结构复杂而影响了解题的推进。
求导后首先要进行整理,需要利用通分、提公因式、因式分解等方法,将一些复杂的代数式化为若干个因式的乘积和商的形式;其次,研究 的根,因为导函数的零点会将定义域分解为若干个区间,然后可以逐一判断各个区间内导函数的符号。
如例1(Ⅱ)中由“当 时, 恒成立”但可转化为“对 时, 恒成立”。令 ,若没有化简直接求导得 ,接下来将变得无法求解.观察 式子结构的特点,会发现有公因式 ,从而可得 ,又因为 可转化为“当 时, 恒成立的问题”。这个例子告诉我们不是所有的函数直接求导就能解决问题,化简是在求定义域后要关注的第二件事。
3.常量与变量,比较要分明。含参函数的单调性是导数的重要考点,学生也对分类讨论的标准源自何处,往往不明确,尽管反复地讲练,效果依然不好,究其原因在于学生对“变量内涵”的考虑不全面。分类讨论首先要关注变量自身的取值要求,其次考虑它与其它常量或变量的大小关系。
如例1(Ⅰ)易得 ,其导函数 ,常见的错误之一是直接由 得到“ 和 ”,默认“ ”,忽略了“ ”;另一种错误是没有比较“ 和 的大小”及“ 与端點1的大小”。
大小的比较可以通过作差找到分点,即由 与 得到 和 。因此 的取值范围可分为 , , ;另一种比较直观的方法,是对比 与区间 的关系,即:
若 时, ,当 时, ,则 在 上单调递增;若 时, ,当 , ;当 , ,所以 在 上递减,在 上递增;
若 时 ,当 时, ,得 ,所以 在 上单调递减。
4.弄清主元,运算求解不混淆。从算术到代数,最主要的特征就是字母(变量)的引入,在计算中不只是数与数的计算,更多是参变量之间的运算,当有多个字母或变量时,要注意谁就主元,利用主元的思想进行降维、消元的作用。
如例2(Ⅱ)当 时,要证明 ,学生通常会直接构造函数 ,求得导函数 ,由于含有参数 ,从而无法利用导数研究函数的性质,求出 的最小值。面对这样的情况时,学生就应当及时反思,运用主元的思想,以其中一个变量为主元,从而达到消元的目的。即要证 ,只需证 ,若以 为主元, 为常量,只需求出当时 的最大值。因为 时, 单调递增,所以 ,即只需证明 ,从而构造函数 。
5.试根与估算,实虚相结合。虽然求导后常需要“求零点”,但零点时常不易求,这就要求学生学会试根与估算。
如例2(Ⅰ)易得 ,若令导函数 ,虽无法直接求根,但容易观察出 ,然后结合函数的单调性说明根的唯一性。
例2(Ⅱ)所构造的函数 ,若令其导函数 ,发现无法解方程,也无法观察出其特殊的根,这时可利用零点存在定理寻找根所在的大致区间。函数 在 上单调递增,又由 , ,可知 在 上有唯一的零点 ,且 。所以当 时, ;当 时, 。于是 在 处取得最小值。此处采用虚设零点的方式,用 表示这个无法确定但又存在的点。
6.数形结合来帮忙,运算求解更直观。“数缺形时少直观”,压轴题中所给的函数,时常不是基本初等函数,学生因无法直接画出图象而影响了解题思路的推进,因此要求学生不但要常握基础初等函数的图象,也要能画出 , , 及 这几个常见函数的图象。
总之,要提升学生的运算素养,首先要改变高中教学过程中“重思维,轻运算”的现状,学会运算也将学会思考;其次,要将运算素养的培养落实到教学环节中,对常见题型的运算方向进行总结,形成规范化思考问题的品质;最后,学会运算后的反思和自查,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
基金项目:本文是福建省“十三五”第一批中学数学学科教学带头人培养对象科研课题《提升高中生数学运算素养的教学实践研究》(立项批准号:DTRSX2017025)的阶段性成果。
参考文献:
[1]沈剑华.计算数学基础[M].同济大学出版社,1989.