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数列可以看成是以正整数集[N*]（或它的有限子集[1,2,3,⋅⋅⋅,n]）为定义域的函数[an=fn]，在研究数列的有些问题时，可以借鉴函数的研究方法，但又要和函数区别开来（比如在研究数列的单调性时）.下面就将这部分容易出错的一些问题同大家交流一下.
1. 数列的单调性问题
例1 已知数列[an]的通项公式是[an=n2+2λn+3]，且数列[an]是递增数列，求[λ]的取值范围.
分析 本题很容易直接应用函数的单调性得[an=n2+2λn+3]在[1,+∞]上是递增函数，求得[λ≥-1]. 这种错解是误将函数完全借用到数列的单调性中，使得求出的[λ≥-1]是[an]是递增数列的充分不必要条件.
解 方法1：用函数的单调性来解答.分两步，首先要保证数列[an]在[n∈N*]上是递增数列，必有[an=n2+2λn+3]在[2,+∞]上是递增函数，故对称轴[n=-λ≤2]；其次，要[a1-32.]
方法2：用恒成立思想来解答. 由数列[an]是递增数列有：[an+1>an]在[n∈N*]时恒成立. 故[n+12+2λn+1+3>n2+2λn+3]，即[λ>-2n+12]在[n∈N*]时恒成立，则[λ>-32.]
2. [Sn]与[an]的关系问题
例2 如果数列[an]的前[n]项和[Sn=32an-3]，求数列[an]的通项公式.
分析 由[Sn]求[an]有[an=a1 n=1,Sn-Sn-1 n≥2,]要注意分段讨论，最后还要检验两段能否统一成一个式子.
解 当[n=1]时，[a1=S1=32a1-3]，∴[a1=6].
当[n≥2]时，[an=3an-1]，由数列[a1≠0]知：数列[an]是以6为首项，公比是3的等比数列，故[an=6×3n-1=2×3n].
3. 等差数列中求前[n]项和最值问题
例3 在数列[an]中，[an=an-1-3 n≥2]，且[a10=180]，求使数列的前[n]项和最大时[n]的值.
分析 在等差数列中，求前[n]项和的最值时，有如下方法：（1）将前[n]项和表示成关于[n]的二次函数，借用二次函数的单调性求其最值. （2）若求前[n]项和的最大值，则找到所有正项或非负项，则需[an≥0,an+1≤0.]若求前[n]项和的最小值，则找到所有负项或非正项，则需[an≤0,an+1≥0,]这里很容易忽视其中的等号（当有项为0时，会漏掉一种情况）.
解 由[an=an-1-3]有[an-an-1=-3]，
故数列是公差是[-3]的等差数列，
则[an=a10+n-10×-3=210-3n]，
显然数列是递减数列，且[a1>0].
故令[an=210-3n≥0,an+1=207-3n≤0,]解得[69≤n≤70].
故数列[an]的前69项或前70项的和最大.
4. 由递推关系判断等比数列问题
例4 已知[Sn]是等比数列[an]的前[n]项和，那[Sn]、[S2n-Sn]、[S3n-S2n]一定是等比数列吗？
分析 有两种常用思路：1.先求和，再判断，在求和时要分[q=1]与[q≠1]两种情况；2.用原等比数列中的项的和来表示，再寻找和之间的关系规律. 无论是哪一种方法都容易忽视判断首项[Sn]是否为0.
解 设[an]的公比是[q]，
∵[Sn=a1+a2+⋅⋅⋅+an],
[S2n-Sn=an+1+an+2+⋅⋅⋅+a2n]，
[S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+⋅⋅⋅+a3n]，
∴[S2n-Sn=qnSn]，[S3n-S2n=qnS2n-Sn].
（1）[n]为奇数，
当[q=1]时，[Sn=na1≠0]，有[Sn]、[S2n-Sn]、[S3n-S2n]是等比数列.
当[q≠1]时，[Sn=a11-qn1-q]，显然，[a11-q≠0].
（2）[n]为偶数，
当[q=-1]时，[1-qn=0]，即[Sn=0]，则[Sn]、[S2n-Sn]、[S3n-S2n]不为等比数列.
当[q≠-1]时，[Sn≠0]，故[Sn]、[S2n-Sn]、[S3n-S2n]是等比数列.
故仅当[n]为偶数，且[q=-1]时，[Sn]、[S2n-Sn]、[S3n-S2n]不为等比数列.
5. 等比数列中项的特征问题
例5 在等比数列[an]中，已知[a3=3]，[a9=27]，求[a6].
分析 一般来说，此题可以先求公比[q]，再用[a6=a3q3]得到答案. 但我们想到等比数列的性质，可由[a26=a3a9=81,]有[a6=±9],而没有考虑到[a6=a3q3]，即[a6]与[a3]的符号相同. 实际上，在等比数列中，奇数项和偶数项的符号分别相同，值得注意.
解 由等比数列的性质得[a26=a3a9=81]，故[a6=±9]，而由[a6=a3q3]知，[a6]与[a3]的符号是相同的，故[a6=9.]
6. 探究含参的数列为等比或等差数列问题
例6 在等差数列[an]中，[a2=5]，[a5=17]，且前[n]项和为[Sn]，通过公式[bn=Snn+c]构造一个新的数列[bn]，若[bn]也是等差数列，求非零常数[c].
分析 据题意很容易求出[Sn=2n2-n]，则[bn=2n2-nn+c]，要[bn]也是等差数列，首先须满足前三项成等差数列，有[2b2=b1+b3]，即[2⋅62+c=11+c+153+c]，解得[c1=-12,c2=0]（舍去）.这当然是一个较好的方法，但没有考虑到前三项成等差数列的数列不一定是等差数列，故需要检验.其实这类问题还有如下两种方法：（1）由等差数列[bn⇔2bn+1][=bn+bn+2]，将式子[2bn+1=bn+bn+2]整理成关于[n]的式子，由式子恒成立，即与[n]无关，可解得[c]；（2）由等差数列的定义可知，[bn+1-bn]为常数，即与[n]无关，可得[c].
解 ∵[a2=5,a5=17]，∴[d=17-55-2=4].
故[an=4n-3]，[Sn=2n2-n].
则[bn=2n2-nn+c]，[b1=11+c]，[b2=62+c]，[b3=153+c]，要[bn]也是等差数列，首先须满足前三项成等差数列，有[2b2=b1+b3]，即[2⋅62+c=11+c+][153+c]，解得[c1=-12,c2=0]（舍去）.
当[c=-12]时，[bn=2n2-nn-12=2n2n-12n-1=2n]，
[∴]数列[bn]是等差数列.
1. 已知数列[an]的通项[an=1n2-99n2]，求数列的最小项.
2. 数列[an]的前[n]项和[Sn=2n2+n-2]，求数列[an]的通项公式.
3. 已知数列[an]是等差数列，且[a3=a9]，[d<0]，求使数列的前[n]项和最大时[n]的值.
4. 数列[an]是等比数列的充要条件是（ ）
A. [an+1=anq]([q]为常数)
B. [a2n+1=anan+2≠0]
C. [an=a1qn-1] ([q]为常数)
D. [an+1=anan+2]
5.设两个数列[an]、[bn]满足[bn=a1+2a2+3a3+⋯+nan1+2+3+⋯+n]，若[bn]为等差数列，求证：[an]也为等差数列.
1.[a1=-972] 2.[an=1 n=14n-1 n≥2]
3. [5]或[6] 4. B
5. 略
1. 数列的单调性问题
例1 已知数列[an]的通项公式是[an=n2+2λn+3]，且数列[an]是递增数列，求[λ]的取值范围.
分析 本题很容易直接应用函数的单调性得[an=n2+2λn+3]在[1,+∞]上是递增函数，求得[λ≥-1]. 这种错解是误将函数完全借用到数列的单调性中，使得求出的[λ≥-1]是[an]是递增数列的充分不必要条件.
解 方法1：用函数的单调性来解答.分两步，首先要保证数列[an]在[n∈N*]上是递增数列，必有[an=n2+2λn+3]在[2,+∞]上是递增函数，故对称轴[n=-λ≤2]；其次，要[a1
方法2：用恒成立思想来解答. 由数列[an]是递增数列有：[an+1>an]在[n∈N*]时恒成立. 故[n+12+2λn+1+3>n2+2λn+3]，即[λ>-2n+12]在[n∈N*]时恒成立，则[λ>-32.]
2. [Sn]与[an]的关系问题
例2 如果数列[an]的前[n]项和[Sn=32an-3]，求数列[an]的通项公式.
分析 由[Sn]求[an]有[an=a1 n=1,Sn-Sn-1 n≥2,]要注意分段讨论，最后还要检验两段能否统一成一个式子.
解 当[n=1]时，[a1=S1=32a1-3]，∴[a1=6].
当[n≥2]时，[an=3an-1]，由数列[a1≠0]知：数列[an]是以6为首项，公比是3的等比数列，故[an=6×3n-1=2×3n].
3. 等差数列中求前[n]项和最值问题
例3 在数列[an]中，[an=an-1-3 n≥2]，且[a10=180]，求使数列的前[n]项和最大时[n]的值.
分析 在等差数列中，求前[n]项和的最值时，有如下方法：（1）将前[n]项和表示成关于[n]的二次函数，借用二次函数的单调性求其最值. （2）若求前[n]项和的最大值，则找到所有正项或非负项，则需[an≥0,an+1≤0.]若求前[n]项和的最小值，则找到所有负项或非正项，则需[an≤0,an+1≥0,]这里很容易忽视其中的等号（当有项为0时，会漏掉一种情况）.
解 由[an=an-1-3]有[an-an-1=-3]，
故数列是公差是[-3]的等差数列，
则[an=a10+n-10×-3=210-3n]，
显然数列是递减数列，且[a1>0].
故令[an=210-3n≥0,an+1=207-3n≤0,]解得[69≤n≤70].
故数列[an]的前69项或前70项的和最大.
4. 由递推关系判断等比数列问题
例4 已知[Sn]是等比数列[an]的前[n]项和，那[Sn]、[S2n-Sn]、[S3n-S2n]一定是等比数列吗？
分析 有两种常用思路：1.先求和，再判断，在求和时要分[q=1]与[q≠1]两种情况；2.用原等比数列中的项的和来表示，再寻找和之间的关系规律. 无论是哪一种方法都容易忽视判断首项[Sn]是否为0.
解 设[an]的公比是[q]，
∵[Sn=a1+a2+⋅⋅⋅+an],
[S2n-Sn=an+1+an+2+⋅⋅⋅+a2n]，
[S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+⋅⋅⋅+a3n]，
∴[S2n-Sn=qnSn]，[S3n-S2n=qnS2n-Sn].
（1）[n]为奇数，
当[q=1]时，[Sn=na1≠0]，有[Sn]、[S2n-Sn]、[S3n-S2n]是等比数列.
当[q≠1]时，[Sn=a11-qn1-q]，显然，[a11-q≠0].
（2）[n]为偶数，
当[q=-1]时，[1-qn=0]，即[Sn=0]，则[Sn]、[S2n-Sn]、[S3n-S2n]不为等比数列.
当[q≠-1]时，[Sn≠0]，故[Sn]、[S2n-Sn]、[S3n-S2n]是等比数列.
故仅当[n]为偶数，且[q=-1]时，[Sn]、[S2n-Sn]、[S3n-S2n]不为等比数列.
5. 等比数列中项的特征问题
例5 在等比数列[an]中，已知[a3=3]，[a9=27]，求[a6].
分析 一般来说，此题可以先求公比[q]，再用[a6=a3q3]得到答案. 但我们想到等比数列的性质，可由[a26=a3a9=81,]有[a6=±9],而没有考虑到[a6=a3q3]，即[a6]与[a3]的符号相同. 实际上，在等比数列中，奇数项和偶数项的符号分别相同，值得注意.
解 由等比数列的性质得[a26=a3a9=81]，故[a6=±9]，而由[a6=a3q3]知，[a6]与[a3]的符号是相同的，故[a6=9.]
6. 探究含参的数列为等比或等差数列问题
例6 在等差数列[an]中，[a2=5]，[a5=17]，且前[n]项和为[Sn]，通过公式[bn=Snn+c]构造一个新的数列[bn]，若[bn]也是等差数列，求非零常数[c].
分析 据题意很容易求出[Sn=2n2-n]，则[bn=2n2-nn+c]，要[bn]也是等差数列，首先须满足前三项成等差数列，有[2b2=b1+b3]，即[2⋅62+c=11+c+153+c]，解得[c1=-12,c2=0]（舍去）.这当然是一个较好的方法，但没有考虑到前三项成等差数列的数列不一定是等差数列，故需要检验.其实这类问题还有如下两种方法：（1）由等差数列[bn⇔2bn+1][=bn+bn+2]，将式子[2bn+1=bn+bn+2]整理成关于[n]的式子，由式子恒成立，即与[n]无关，可解得[c]；（2）由等差数列的定义可知，[bn+1-bn]为常数，即与[n]无关，可得[c].
解 ∵[a2=5,a5=17]，∴[d=17-55-2=4].
故[an=4n-3]，[Sn=2n2-n].
则[bn=2n2-nn+c]，[b1=11+c]，[b2=62+c]，[b3=153+c]，要[bn]也是等差数列，首先须满足前三项成等差数列，有[2b2=b1+b3]，即[2⋅62+c=11+c+][153+c]，解得[c1=-12,c2=0]（舍去）.
当[c=-12]时，[bn=2n2-nn-12=2n2n-12n-1=2n]，
[∴]数列[bn]是等差数列.
1. 已知数列[an]的通项[an=1n2-99n2]，求数列的最小项.
2. 数列[an]的前[n]项和[Sn=2n2+n-2]，求数列[an]的通项公式.
3. 已知数列[an]是等差数列，且[a3=a9]，[d<0]，求使数列的前[n]项和最大时[n]的值.
4. 数列[an]是等比数列的充要条件是（ ）
A. [an+1=anq]([q]为常数)
B. [a2n+1=anan+2≠0]
C. [an=a1qn-1] ([q]为常数)
D. [an+1=anan+2]
5.设两个数列[an]、[bn]满足[bn=a1+2a2+3a3+⋯+nan1+2+3+⋯+n]，若[bn]为等差数列，求证：[an]也为等差数列.
1.[a1=-972] 2.[an=1 n=14n-1 n≥2]
3. [5]或[6] 4. B
5. 略