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“授之以鱼不如授之以渔”这是教学千古不变的真理．“鱼”作为教学一线的教师都能较好的授予，但更好的“渔”是教学一线的教师一直在探索的、改革的、创新的，笔者在这方面也一直在努力着．
1问题背景：
以下考题是浙江省绍兴市2005年度高二数学(上)期末统考试题，相信每一位一线教师在上课时也一定都给出过这个结论，甚至更多，此题看上去可能很普通，放在测试中你也会觉得难度一般．笔者参与了此试题的改卷，从得分上看就令人诧异，全县平均得分不超过6分．在这么低的得分下不得不让我们深思：我们的教学与学生的解题是否存在着一定的缺陷．
2问题展示：
(本题12分) (1） 证明：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点，则当AB与抛物线的对称轴垂直时，AB的长度最短；(2)试将上述命题中的抛物线改为其他圆锥曲线，写出相应的一个真命题并加以证明．
典型错误：
3分析与讨论
3．1典型错误分析：
（1） 问题(1）写不出的多数是普通高中的学生，可能基础较薄弱；
（2） 求证中的错误 1）在设直线时遗漏k不存在的情况，使得后面被忽略；2)基本不等式求最值需“一正、二定、三等”，忽略了“二定”的说明，尽管在抛物线中定值是对的．3)过于记忆结论，本身这个公式就需要推导的．4)图形代替不了证明．
（3） (2)小题是个类比题，出错(1）、(2)学生根本就没有类比的概念；3)、4)、5)都不严谨，3)应改对称轴为实轴，4)、5)正确应改为“过双曲线的焦点作一直线与双曲线交于A、B两点在同支上，则当AB与实轴垂直时，AB的长度最短．
3．2失分的根本原由：
部分教师教学中重结论、轻过程，通过数量求质量．在一些典型例题的讲解后很少挖深、拓展、变式、类比等，使得学生在试题的变通、创新的能力上缺乏；学生由于认知结构水平的限制，表现出对知识不求甚解，热衷于做大量题，不善于解题后对题目进行反思，普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节，也不善于纠正和找出自己的错误，缺乏解题后对解题方法、数学思维的概括，掌握知识的系统性较弱、结构性较差，思维仅仅停留在试题的表面．笔者以为出现此类问题最根本原因在于缺少“题后反思”的习惯．波利亚的“解题表”中第四阶段的回顾有三点：① 检查结果并检验其正确性；② 换一个方法做做这道题．③ 尝试把你的结果和方法用到其他问题上去．足见“题后反思”的重要．
4解决策略：“题后反思”让学生思维得以升华
4．1思什么：
在知识方面，题目中涉及哪些概念、定理、公式等基础知识，在解题过程中是如何应用这些知识的，哪些步骤知识运用的比较灵活，哪些步骤知识运用错了．命题的意图是什么?考核的概念、知识和能力是什么?验证结论是否正确，命题中条件的应用是否完备?
在方法方面，解题的切入点在哪里，用到了哪些解题方法和思想方法．也就是分析一下“题眼”，一般数学题都有个关键点(称之为“题眼”)，抓住了“题眼”，问题就易于解决．
在思想方面，是否注意到常用的思想方法：函数和方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化和化归的思想，还有极限的思想和运动变化的思想．
在步骤方面，能不能把解题过程概括、归纳成几个步骤，求解论证过程是否判断有据，严密完善?一题多解?多题一解?进而掌握这类题目的解题通法，有些试题(包括高考题)虽然没有固定的题型，但我们鼓励自己总结、归纳题目类型．
4．2怎么思：
（1) 题后反思→查缺补漏,确保解题合理和正确
解数学题，有时由于审题不准，概念不清，忽视条件，套用相近知识，考虑不周或计算出错，难免产生这样或那样的错误，不能保证一次性正确和完善．所以解题后，必须对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证．
(2) 题后反思→重一题多解和多题一解，做到触类旁通与举一反三
数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归．即使一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解题就是最佳思路，最优最简捷的解法．不能解完题就此罢手，如释重负．应该进一步反思，探求一题多解，多题一解的问题，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹．一题多解，每一种解法可能用到不同章节的知识，这样一来可以复习相关知识，掌握不同解法技巧，同时每一种解法又能解很多道题，然后比较众多解法中对这一道题哪一种最简捷，最合理?把本题的每一种解法和结论进一步推广，同时既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，又可梳理出推证恒等式的一般方法和思路：从左到右、从右到左、中间会师、转化条件等，善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的这类问题，便会迎刃而解，这对提高解题能力尤其重要．
(3) 题后反思→重系统小结，使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理创新化
在问题解决之后，要不断地反思：解题过程是否浪费了重要的信息，能否开辟新的解题通道?解题过程多走了哪些思维回路，思维、运算能否变得简捷?是否拘泥于思维定势，照搬了熟悉的解法?通过这样不断地质疑、不断改进，让解题过程更具有合理性、科学性、简捷性．
例如：讲到公式tan(α+β)=tanα+tanβ/1-tanαtanβ，公式中隐含着“韦达定理”的因子有否注意，你有否归纳过其他哪些公式中也隐含着“韦达定理”的因子．
(4) 题后反思→重知识的迁移和类比，探究问题所含知识的系统性
解题之后，要不断地探究问题的知识结构和系统性．能否对问题蕴含的知识进行纵向深入地探究?能否加强知识的横向联系?把问题所蕴含孤立的知识“点”，扩展到系统的知识“面”．通过不断拓展、联系、加强对知识结构的理解，进而形成认知结构中知识的系统性．”
(5) 题后反思→重知识整合，促使知识建构
问题与问题之间不是孤立的，许多表面上看似无关的问题却有着内在的联系，解题不能就题论题，要寻找问题与问题之间本质的联系，要质疑为什么有这样的问题?它和哪些问题有联系?能否受这个问题的启发．将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合，创造性地设问?在不断的知识联系和知识整合中，丰富认知结构中的内容，体验“创造”带来的乐趣，这对培养创造性思维是非常有利的．
(6)题后反思→重探究与拓展，促使创新与创造
对每个问题都要寻根问底，能否得到一般性的结果，有规律性的发现?能否形成独到的见解，有自己的小发明?点滴的发现，长期的积累，更有利于认知结构的个性特征的形成，并增加知识的存储量．
4．3思之果
通过解题后改进解题过程、探讨知识联系、知识整合、探究规律等一系列思维活动，让思维在题后反思中得以升华为“八方联系，浑然一体，漫江碧透，鱼翔浅底”．笔者有幸带重点中学的重点班与竞赛班，通过一学期的试验已初见成效．“有心人，天不负”，相信题后反思教学会给我带来惊喜，相信同样也会给你带来收获．
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1问题背景：
以下考题是浙江省绍兴市2005年度高二数学(上)期末统考试题，相信每一位一线教师在上课时也一定都给出过这个结论，甚至更多，此题看上去可能很普通，放在测试中你也会觉得难度一般．笔者参与了此试题的改卷，从得分上看就令人诧异，全县平均得分不超过6分．在这么低的得分下不得不让我们深思：我们的教学与学生的解题是否存在着一定的缺陷．
2问题展示：
(本题12分) (1） 证明：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点，则当AB与抛物线的对称轴垂直时，AB的长度最短；(2)试将上述命题中的抛物线改为其他圆锥曲线，写出相应的一个真命题并加以证明．
典型错误：
3分析与讨论
3．1典型错误分析：
（1） 问题(1）写不出的多数是普通高中的学生，可能基础较薄弱；
（2） 求证中的错误 1）在设直线时遗漏k不存在的情况，使得后面被忽略；2)基本不等式求最值需“一正、二定、三等”，忽略了“二定”的说明，尽管在抛物线中定值是对的．3)过于记忆结论，本身这个公式就需要推导的．4)图形代替不了证明．
（3） (2)小题是个类比题，出错(1）、(2)学生根本就没有类比的概念；3)、4)、5)都不严谨，3)应改对称轴为实轴，4)、5)正确应改为“过双曲线的焦点作一直线与双曲线交于A、B两点在同支上，则当AB与实轴垂直时，AB的长度最短．
3．2失分的根本原由：
部分教师教学中重结论、轻过程，通过数量求质量．在一些典型例题的讲解后很少挖深、拓展、变式、类比等，使得学生在试题的变通、创新的能力上缺乏；学生由于认知结构水平的限制，表现出对知识不求甚解，热衷于做大量题，不善于解题后对题目进行反思，普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节，也不善于纠正和找出自己的错误，缺乏解题后对解题方法、数学思维的概括，掌握知识的系统性较弱、结构性较差，思维仅仅停留在试题的表面．笔者以为出现此类问题最根本原因在于缺少“题后反思”的习惯．波利亚的“解题表”中第四阶段的回顾有三点：① 检查结果并检验其正确性；② 换一个方法做做这道题．③ 尝试把你的结果和方法用到其他问题上去．足见“题后反思”的重要．
4解决策略：“题后反思”让学生思维得以升华
4．1思什么：
在知识方面，题目中涉及哪些概念、定理、公式等基础知识，在解题过程中是如何应用这些知识的，哪些步骤知识运用的比较灵活，哪些步骤知识运用错了．命题的意图是什么?考核的概念、知识和能力是什么?验证结论是否正确，命题中条件的应用是否完备?
在方法方面，解题的切入点在哪里，用到了哪些解题方法和思想方法．也就是分析一下“题眼”，一般数学题都有个关键点(称之为“题眼”)，抓住了“题眼”，问题就易于解决．
在思想方面，是否注意到常用的思想方法：函数和方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化和化归的思想，还有极限的思想和运动变化的思想．
在步骤方面，能不能把解题过程概括、归纳成几个步骤，求解论证过程是否判断有据，严密完善?一题多解?多题一解?进而掌握这类题目的解题通法，有些试题(包括高考题)虽然没有固定的题型，但我们鼓励自己总结、归纳题目类型．
4．2怎么思：
（1) 题后反思→查缺补漏,确保解题合理和正确
解数学题，有时由于审题不准，概念不清，忽视条件，套用相近知识，考虑不周或计算出错，难免产生这样或那样的错误，不能保证一次性正确和完善．所以解题后，必须对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证．
(2) 题后反思→重一题多解和多题一解，做到触类旁通与举一反三
数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归．即使一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解题就是最佳思路，最优最简捷的解法．不能解完题就此罢手，如释重负．应该进一步反思，探求一题多解，多题一解的问题，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹．一题多解，每一种解法可能用到不同章节的知识，这样一来可以复习相关知识，掌握不同解法技巧，同时每一种解法又能解很多道题，然后比较众多解法中对这一道题哪一种最简捷，最合理?把本题的每一种解法和结论进一步推广，同时既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，又可梳理出推证恒等式的一般方法和思路：从左到右、从右到左、中间会师、转化条件等，善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的这类问题，便会迎刃而解，这对提高解题能力尤其重要．
(3) 题后反思→重系统小结，使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理创新化
在问题解决之后，要不断地反思：解题过程是否浪费了重要的信息，能否开辟新的解题通道?解题过程多走了哪些思维回路，思维、运算能否变得简捷?是否拘泥于思维定势，照搬了熟悉的解法?通过这样不断地质疑、不断改进，让解题过程更具有合理性、科学性、简捷性．
例如：讲到公式tan(α+β)=tanα+tanβ/1-tanαtanβ，公式中隐含着“韦达定理”的因子有否注意，你有否归纳过其他哪些公式中也隐含着“韦达定理”的因子．
(4) 题后反思→重知识的迁移和类比，探究问题所含知识的系统性
解题之后，要不断地探究问题的知识结构和系统性．能否对问题蕴含的知识进行纵向深入地探究?能否加强知识的横向联系?把问题所蕴含孤立的知识“点”，扩展到系统的知识“面”．通过不断拓展、联系、加强对知识结构的理解，进而形成认知结构中知识的系统性．”
(5) 题后反思→重知识整合，促使知识建构
问题与问题之间不是孤立的，许多表面上看似无关的问题却有着内在的联系，解题不能就题论题，要寻找问题与问题之间本质的联系，要质疑为什么有这样的问题?它和哪些问题有联系?能否受这个问题的启发．将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合，创造性地设问?在不断的知识联系和知识整合中，丰富认知结构中的内容，体验“创造”带来的乐趣，这对培养创造性思维是非常有利的．
(6)题后反思→重探究与拓展，促使创新与创造
对每个问题都要寻根问底，能否得到一般性的结果，有规律性的发现?能否形成独到的见解，有自己的小发明?点滴的发现，长期的积累，更有利于认知结构的个性特征的形成，并增加知识的存储量．
4．3思之果
通过解题后改进解题过程、探讨知识联系、知识整合、探究规律等一系列思维活动，让思维在题后反思中得以升华为“八方联系，浑然一体，漫江碧透，鱼翔浅底”．笔者有幸带重点中学的重点班与竞赛班，通过一学期的试验已初见成效．“有心人，天不负”，相信题后反思教学会给我带来惊喜，相信同样也会给你带来收获．
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文