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“授之以鱼不如授之以渔”这是教学千古不变的真理.“鱼”作为教学一线的教师都能较好的授予,但更好的“渔”是教学一线的教师一直在探索的、改革的、创新的,笔者在这方面也一直在努力着.
1问题背景:
以下考题是浙江省绍兴市2005年度高二数学(上)期末统考试题,相信每一位一线教师在上课时也一定都给出过这个结论,甚至更多,此题看上去可能很普通,放在测试中你也会觉得难度一般.笔者参与了此试题的改卷,从得分上看就令人诧异,全县平均得分不超过6分.在这么低的得分下不得不让我们深思:我们的教学与学生的解题是否存在着一定的缺陷.
2问题展示:
(本题12分) (1) 证明:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点,则当AB与抛物线的对称轴垂直时,AB的长度最短;(2)试将上述命题中的抛物线改为其他圆锥曲线,写出相应的一个真命题并加以证明.
典型错误:
3分析与讨论
3.1典型错误分析:
(1) 问题(1)写不出的多数是普通高中的学生,可能基础较薄弱;
(2) 求证中的错误 1)在设直线时遗漏k不存在的情况,使得后面被忽略;2)基本不等式求最值需“一正、二定、三等”,忽略了“二定”的说明,尽管在抛物线中定值是对的.3)过于记忆结论,本身这个公式就需要推导的.4)图形代替不了证明.
(3) (2)小题是个类比题,出错(1)、(2)学生根本就没有类比的概念;3)、4)、5)都不严谨,3)应改对称轴为实轴,4)、5)正确应改为“过双曲线的焦点作一直线与双曲线交于A、B两点在同支上,则当AB与实轴垂直时,AB的长度最短.
3.2失分的根本原由:
部分教师教学中重结论、轻过程,通过数量求质量.在一些典型例题的讲解后很少挖深、拓展、变式、类比等,使得学生在试题的变通、创新的能力上缺乏;学生由于认知结构水平的限制,表现出对知识不求甚解,热衷于做大量题,不善于解题后对题目进行反思,普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节,也不善于纠正和找出自己的错误,缺乏解题后对解题方法、数学思维的概括,掌握知识的系统性较弱、结构性较差,思维仅仅停留在试题的表面.笔者以为出现此类问题最根本原因在于缺少“题后反思”的习惯.波利亚的“解题表”中第四阶段的回顾有三点:① 检查结果并检验其正确性;② 换一个方法做做这道题.③ 尝试把你的结果和方法用到其他问题上去.足见“题后反思”的重要.
4解决策略:“题后反思”让学生思维得以升华
4.1思什么:
在知识方面,题目中涉及哪些概念、定理、公式等基础知识,在解题过程中是如何应用这些知识的,哪些步骤知识运用的比较灵活,哪些步骤知识运用错了.命题的意图是什么?考核的概念、知识和能力是什么?验证结论是否正确,命题中条件的应用是否完备?
在方法方面,解题的切入点在哪里,用到了哪些解题方法和思想方法.也就是分析一下“题眼”,一般数学题都有个关键点(称之为“题眼”),抓住了“题眼”,问题就易于解决.
在思想方面,是否注意到常用的思想方法:函数和方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化和化归的思想,还有极限的思想和运动变化的思想.
在步骤方面,能不能把解题过程概括、归纳成几个步骤,求解论证过程是否判断有据,严密完善?一题多解?多题一解?进而掌握这类题目的解题通法,有些试题(包括高考题)虽然没有固定的题型,但我们鼓励自己总结、归纳题目类型.
4.2怎么思:
(1) 题后反思→查缺补漏,确保解题合理和正确
解数学题,有时由于审题不准,概念不清,忽视条件,套用相近知识,考虑不周或计算出错,难免产生这样或那样的错误,不能保证一次性正确和完善.所以解题后,必须对解题过程进行回顾和评价,对结论的正确性和合理性进行验证.
(2) 题后反思→重一题多解和多题一解,做到触类旁通与举一反三
数学知识有机联系纵横交错,解题思路灵活多变,解题方法途径繁多,但最终却能殊途同归.即使一次性解题合理正确,也未必能保证一次性解题就是最佳思路,最优最简捷的解法.不能解完题就此罢手,如释重负.应该进一步反思,探求一题多解,多题一解的问题,开拓思路,勾通知识,掌握规律,权衡解法优劣,在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结,使自己的解题能力更胜一筹.一题多解,每一种解法可能用到不同章节的知识,这样一来可以复习相关知识,掌握不同解法技巧,同时每一种解法又能解很多道题,然后比较众多解法中对这一道题哪一种最简捷,最合理?把本题的每一种解法和结论进一步推广,同时既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用,又可梳理出推证恒等式的一般方法和思路:从左到右、从右到左、中间会师、转化条件等,善于总结,掌握规律,探求共性,再由共性指导我们去解决碰到的这类问题,便会迎刃而解,这对提高解题能力尤其重要.
(3) 题后反思→重系统小结,使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理创新化
在问题解决之后,要不断地反思:解题过程是否浪费了重要的信息,能否开辟新的解题通道?解题过程多走了哪些思维回路,思维、运算能否变得简捷?是否拘泥于思维定势,照搬了熟悉的解法?通过这样不断地质疑、不断改进,让解题过程更具有合理性、科学性、简捷性.
例如:讲到公式tan(α+β)=tanα+tanβ/1-tanαtanβ,公式中隐含着“韦达定理”的因子有否注意,你有否归纳过其他哪些公式中也隐含着“韦达定理”的因子.
(4) 题后反思→重知识的迁移和类比,探究问题所含知识的系统性
解题之后,要不断地探究问题的知识结构和系统性.能否对问题蕴含的知识进行纵向深入地探究?能否加强知识的横向联系?把问题所蕴含孤立的知识“点”,扩展到系统的知识“面”.通过不断拓展、联系、加强对知识结构的理解,进而形成认知结构中知识的系统性.”
(5) 题后反思→重知识整合,促使知识建构
问题与问题之间不是孤立的,许多表面上看似无关的问题却有着内在的联系,解题不能就题论题,要寻找问题与问题之间本质的联系,要质疑为什么有这样的问题?它和哪些问题有联系?能否受这个问题的启发.将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合,创造性地设问?在不断的知识联系和知识整合中,丰富认知结构中的内容,体验“创造”带来的乐趣,这对培养创造性思维是非常有利的.
(6)题后反思→重探究与拓展,促使创新与创造
对每个问题都要寻根问底,能否得到一般性的结果,有规律性的发现?能否形成独到的见解,有自己的小发明?点滴的发现,长期的积累,更有利于认知结构的个性特征的形成,并增加知识的存储量.
4.3思之果
通过解题后改进解题过程、探讨知识联系、知识整合、探究规律等一系列思维活动,让思维在题后反思中得以升华为“八方联系,浑然一体,漫江碧透,鱼翔浅底”.笔者有幸带重点中学的重点班与竞赛班,通过一学期的试验已初见成效.“有心人,天不负”,相信题后反思教学会给我带来惊喜,相信同样也会给你带来收获.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1问题背景:
以下考题是浙江省绍兴市2005年度高二数学(上)期末统考试题,相信每一位一线教师在上课时也一定都给出过这个结论,甚至更多,此题看上去可能很普通,放在测试中你也会觉得难度一般.笔者参与了此试题的改卷,从得分上看就令人诧异,全县平均得分不超过6分.在这么低的得分下不得不让我们深思:我们的教学与学生的解题是否存在着一定的缺陷.
2问题展示:
(本题12分) (1) 证明:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A、B两点,则当AB与抛物线的对称轴垂直时,AB的长度最短;(2)试将上述命题中的抛物线改为其他圆锥曲线,写出相应的一个真命题并加以证明.
典型错误:
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=http://img.resource.qikan.cn/qkimages/sxjj/sxjj200610/sxjj20061010-1-l.jpg)
![](https://www.soolun.com/img/pic.php?url=http://img.resource.qikan.cn/qkimages/sxjj/sxjj200610/sxjj20061010-2-l.jpg)
3分析与讨论
3.1典型错误分析:
(1) 问题(1)写不出的多数是普通高中的学生,可能基础较薄弱;
(2) 求证中的错误 1)在设直线时遗漏k不存在的情况,使得后面被忽略;2)基本不等式求最值需“一正、二定、三等”,忽略了“二定”的说明,尽管在抛物线中定值是对的.3)过于记忆结论,本身这个公式就需要推导的.4)图形代替不了证明.
(3) (2)小题是个类比题,出错(1)、(2)学生根本就没有类比的概念;3)、4)、5)都不严谨,3)应改对称轴为实轴,4)、5)正确应改为“过双曲线的焦点作一直线与双曲线交于A、B两点在同支上,则当AB与实轴垂直时,AB的长度最短.
3.2失分的根本原由:
部分教师教学中重结论、轻过程,通过数量求质量.在一些典型例题的讲解后很少挖深、拓展、变式、类比等,使得学生在试题的变通、创新的能力上缺乏;学生由于认知结构水平的限制,表现出对知识不求甚解,热衷于做大量题,不善于解题后对题目进行反思,普遍欠缺一个提高解题能力的重要环节,也不善于纠正和找出自己的错误,缺乏解题后对解题方法、数学思维的概括,掌握知识的系统性较弱、结构性较差,思维仅仅停留在试题的表面.笔者以为出现此类问题最根本原因在于缺少“题后反思”的习惯.波利亚的“解题表”中第四阶段的回顾有三点:① 检查结果并检验其正确性;② 换一个方法做做这道题.③ 尝试把你的结果和方法用到其他问题上去.足见“题后反思”的重要.
4解决策略:“题后反思”让学生思维得以升华
4.1思什么:
在知识方面,题目中涉及哪些概念、定理、公式等基础知识,在解题过程中是如何应用这些知识的,哪些步骤知识运用的比较灵活,哪些步骤知识运用错了.命题的意图是什么?考核的概念、知识和能力是什么?验证结论是否正确,命题中条件的应用是否完备?
在方法方面,解题的切入点在哪里,用到了哪些解题方法和思想方法.也就是分析一下“题眼”,一般数学题都有个关键点(称之为“题眼”),抓住了“题眼”,问题就易于解决.
在思想方面,是否注意到常用的思想方法:函数和方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化和化归的思想,还有极限的思想和运动变化的思想.
在步骤方面,能不能把解题过程概括、归纳成几个步骤,求解论证过程是否判断有据,严密完善?一题多解?多题一解?进而掌握这类题目的解题通法,有些试题(包括高考题)虽然没有固定的题型,但我们鼓励自己总结、归纳题目类型.
4.2怎么思:
(1) 题后反思→查缺补漏,确保解题合理和正确
解数学题,有时由于审题不准,概念不清,忽视条件,套用相近知识,考虑不周或计算出错,难免产生这样或那样的错误,不能保证一次性正确和完善.所以解题后,必须对解题过程进行回顾和评价,对结论的正确性和合理性进行验证.
(2) 题后反思→重一题多解和多题一解,做到触类旁通与举一反三
数学知识有机联系纵横交错,解题思路灵活多变,解题方法途径繁多,但最终却能殊途同归.即使一次性解题合理正确,也未必能保证一次性解题就是最佳思路,最优最简捷的解法.不能解完题就此罢手,如释重负.应该进一步反思,探求一题多解,多题一解的问题,开拓思路,勾通知识,掌握规律,权衡解法优劣,在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结,使自己的解题能力更胜一筹.一题多解,每一种解法可能用到不同章节的知识,这样一来可以复习相关知识,掌握不同解法技巧,同时每一种解法又能解很多道题,然后比较众多解法中对这一道题哪一种最简捷,最合理?把本题的每一种解法和结论进一步推广,同时既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用,又可梳理出推证恒等式的一般方法和思路:从左到右、从右到左、中间会师、转化条件等,善于总结,掌握规律,探求共性,再由共性指导我们去解决碰到的这类问题,便会迎刃而解,这对提高解题能力尤其重要.
(3) 题后反思→重系统小结,使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理创新化
在问题解决之后,要不断地反思:解题过程是否浪费了重要的信息,能否开辟新的解题通道?解题过程多走了哪些思维回路,思维、运算能否变得简捷?是否拘泥于思维定势,照搬了熟悉的解法?通过这样不断地质疑、不断改进,让解题过程更具有合理性、科学性、简捷性.
例如:讲到公式tan(α+β)=tanα+tanβ/1-tanαtanβ,公式中隐含着“韦达定理”的因子有否注意,你有否归纳过其他哪些公式中也隐含着“韦达定理”的因子.
(4) 题后反思→重知识的迁移和类比,探究问题所含知识的系统性
解题之后,要不断地探究问题的知识结构和系统性.能否对问题蕴含的知识进行纵向深入地探究?能否加强知识的横向联系?把问题所蕴含孤立的知识“点”,扩展到系统的知识“面”.通过不断拓展、联系、加强对知识结构的理解,进而形成认知结构中知识的系统性.”
(5) 题后反思→重知识整合,促使知识建构
问题与问题之间不是孤立的,许多表面上看似无关的问题却有着内在的联系,解题不能就题论题,要寻找问题与问题之间本质的联系,要质疑为什么有这样的问题?它和哪些问题有联系?能否受这个问题的启发.将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合,创造性地设问?在不断的知识联系和知识整合中,丰富认知结构中的内容,体验“创造”带来的乐趣,这对培养创造性思维是非常有利的.
(6)题后反思→重探究与拓展,促使创新与创造
对每个问题都要寻根问底,能否得到一般性的结果,有规律性的发现?能否形成独到的见解,有自己的小发明?点滴的发现,长期的积累,更有利于认知结构的个性特征的形成,并增加知识的存储量.
4.3思之果
通过解题后改进解题过程、探讨知识联系、知识整合、探究规律等一系列思维活动,让思维在题后反思中得以升华为“八方联系,浑然一体,漫江碧透,鱼翔浅底”.笔者有幸带重点中学的重点班与竞赛班,通过一学期的试验已初见成效.“有心人,天不负”,相信题后反思教学会给我带来惊喜,相信同样也会给你带来收获.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文