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摘 要：针对基于外辐射源进行定位具有抗干扰、反隐身等特点，提出了一种在方位角、俯仰角信息的基础上，增加角度变化率信息的单站无源定位方法。同时引入一种适应非线性系统的修正协方差扩展卡尔曼滤波(MVEKF) 算法, 与推广卡尔曼滤波器( EKF) 相比, MVEKF 能更好地解决量测模型非线性问题。计算机仿真结果表明，该定位方法具有较好的定位精度和定位速度，具有很大的实用价值。
关键词：无源定位；方位角；俯仰角；角度变化率
中图分类号：TN957文献标识码：A 文章编号：1672-1098(2010)04-0040-04
Research on Passive Location Algorithm Based on Spatial Information from Opportunity Transmitter
QIAO Liang
(Department of Computer Science and Technology,Guangdong University of Finance, Guangzhou Guangdong 510520, China)
Abstract:According to the characteristics of opportunity transmitter, such as electronic counter-countermeasure, detection of stealth targets, a passive location algorithm was proposed, which based on azimuth and elevation angle measurements adds to changing rates of angle. Meanwhile, a modified covariance extended Kalman filter (MGEKF) algorithm was introduced, which is good for nonlinear system. Compared with EKF, MVEKF can solve nonlinearity problem of observation model better. The computer simulation results indicated that the algorithm performs well in both the location precision and speed, which has good utility value.
Key words:passive location; azimuth angle; elevation angle; rate of angle change
在现代高科技战争中，单站被动定位技术起着至关重要的作用 ［1］。文献［2-3］分别提出了将加权最小二乘估计与卡尔曼滤波相结合的无源定位方法和对机动目标无源定位IMM（Interacting multiple model）算法，用不同的方式研究了无源定位问题。但是这些方法各有自己的适用范围和局限性。一方面，对于基于辐射源的无源定位，由于目标辐射源的开机时间可能很短,脉冲重复频率或者脉冲载频保持恒定的时间非常有限；另一方面，在传统EKF（Extendedkalmanfilter）滤波算法中，由于非线性方程的线性化舍弃了二阶以上的高次项,导致目标的跟踪精度降低。基于外辐射源的无源定位，是利用普通民用频段通讯系统，例如民用电视台等发射的电磁波作为照射源，对目标进行定位的方法，它具有设备简单、快速定位以及抗干扰、抗低空突防和反隐身等诸多优点。利用一个接收天线接收目标的散射信号，可以同时得到目标相对于观测器的方位信息，包括目标的方位角和俯仰角。根据外辐射源、目标及观测站之间的几何关系，建立方程组联合求解可得到目标在空间的位置坐标。根据国内外近年来研究的启示［4-7］，本文提出了一种利用外辐射源空域信息，并且采用修正协方差扩展卡尔曼滤波(Modified covariance extended Kalman filter ，MVEKF)算法对运动辐射源进行单站无源定位跟踪算法。由于它在只测向定位算法的基础上增加了方位角和俯仰角变化率信息，因此它比传统的只测向定位算法的收敛速度更快，同时还克服了EKF算法的缺欠。通过计算机仿真，验证了该方法的正确性与有效性。
1 系统数学模型的建立
在三维直角坐标系下，基于外辐射源进行无源定位的外辐射源、观测站以及目标之间的关系如图1所示。
图1 外辐射源空域信息无源定位几何关系
以观测器O为坐标原点，固定外辐射源的坐标为B（xBi，yBi，zBi），运动目标的坐标为T（xTi，yTi，zTi）。假设观测器和目标的相对运动状态变量为
Xi=（x1,yi,zi，x•i,y•i,z•i）T，观测器O作机动运动，第i个观测时刻的加速度为UOi=（aOxi，aOyi，aOzi）T，则列出观测器运动的状态方程为
XO，i+1=ΦXO，i+BUOi（1）
式中：Φ=I3TsI30I3为状态转移矩阵；B=T2s2I3TsI3
，其中I3为3阶单位阵，Ts为测量周期。
假设目标作匀速直线运动，则它的状态方程为
XT，i+1=ΦXT，i（2）
因此， 目标相对于观测器的相对运动状态方程为
Xi+1=XT，i+1-XO，i+1=ΦXi-BUOi（3）由β、ε、β•、ε•的定义
βi=arctgxiyi=△g1(Xi)
εi=arctgzix2i+y2i=△g3(Xi)
β•i=x•iyi-y•ixix2i+y2i=△g2(Xi)
ε•i=-zixix•i-ziyiy•i+(x2i+y2i)z•i
(x2i+y2i+z2i)(x2i+y2i)1/2=△g4(Xi)
设 Z′1mi=βmiβ•miεmiε•mi，
G(Xi)=g1(Xi)g2(Xi)g3(Xi)g4(Xi)，
N′1i=δβiδβ•iδεiδε•i，N′1i为角度及其变化率的测量误差。
则得到测量方程为
Z′1mi= G（X i）+ N ′1i (4 )
在某一个估计点X[DD(-*5/6]＾Ti中，将函数G（X i）进行泰勒展开
Z′1mi= G（X i）+ N ′1i=G（X[DD(-*5/6]＾i)+
H -i( X i- X[DD(-*5/6]＾i)+H.O.T.+N ′1i (5 )
其中H.O.T.为高次项，H -i为Jacobi矩阵，
由Xi=XTi-XOi，
X[DD(-*5/6]＾i=X[DD(-*5/6]＾Ti-X[DD(-*5/6]＾Omi代入式(5)整理并忽略高次项得到
Z′1mi-G(X[DD(-*5/6]＾i)+H-iX[DD(-*5/6]＾Ti=H-iXTi-
H-i(XOi-Xomi)+N′1i(6)
令：观测量Z1mi=Z′1mi-G(X[DD(-*5/6]＾i)+H-iX[DD(-*5/6]＾Ti，观测器位置误差δXOi=(XOi-Xomi)，测量误差N1i=H-iδXOi+N′1i，则得到扩展线性化测量方程
Z1mi=H-iXTi+N′1i(7)
2 MVEKF算法
在实际的EKF中， 由于系统的测量方程不是线性的， 且预测值存在一定的偏差， 导致在预测值处所求得的Jacobi矩阵也必然存在偏差， 使得
H-k•P-k≠0。MVEKF的基本思想是在EKF方程中计算出状态滤波值之后，采用状态滤波值重新计算Jacobi矩阵，对协方差矩阵进行更新，从而得到更加准确的协方差矩阵，使得
H+k•P+k≈0。这样得到的协方差阵中隐含了本次测量值信息，从而改善了估计的性能(见图2)。
图2 MVEKF算法程序框图
3 计算机仿真及结论
为验证这种定位算法的性能和有效性，对一种典型的机动目标航迹进行了计算机模拟。本仿真算例的设计参考了文献［8-10］。
仿真目的：比较不同观测参数子集1∶{β，ε}、子集2∶{β，ε，ε•}、子集3∶{β，ε，β•}和子集4∶{β，ε，β•，ε•}四种情况下的对运动辐射源单站无源定位性能。
仿真场景设计：假设观测器和运动辐射源的几何运动关系如图3所示，目标辐射源T处于巡航状态作匀速直线运动，观测器从原点开始运动，起始速度为vO，加速度为aO 。
试验条件： W=180km， L=120km， H=8km， vT=200m/s，T=200s，Ts=1s，σβ•=σε•=0.3mrad/s，σxo=σyo=10m，σvx=σvy=0.3m/s，σβ=σε=6mrad，20 m/s≤vO≤400 m/s，aO=±0.3 g。
图3 观测器和运动辐射源的几何运动关系
采用修正协方差扩展Kalman滤波（MVEKF）方法，可以得到图4所示的四种选择不同观测参数情况下的相对定位误差曲线。
t/s
1. 子集1；2. 子集2；3. 子集3；4. 子集4
图4 相对定位误差曲线
从图4仿真结果可以得到以下结论：
（1） 定位跟踪误差曲线从收敛速度上可以分为两类，第一类为子集1、子集2曲线，两者基本差不多，子集2曲线收敛误差比子集1曲线收敛误差略好；另一类为子集3、子集4曲线，两者也基本差不多。
（2） 通过子集1和子集2结果的比较可以看出，俯仰角变化率信息加入后对定位性能改善并不明显。比较子集3和子集4同样可以看出这一现象。产生这一结论的主要原因是，对于大多数空中运动目标而言，水平方向的速度远远大于俯仰方向的速度。所以通常情况下，单站无源定位时利用角度变化率信息可以只考虑方位角变化率。
（3） 从相对位置误差曲线还可以看出，加入方位角度变化率信息的测量子集3和子集4的定位结果，其性能要明显优于子集1和子集2的定位结果。在收敛到同样的定位误差条件下，第一类的曲线比第二类的曲线需要的时间大约长3~4倍甚至还要多。这个结论说明三维定位中方位角变化率的加入可以明显加快定位收敛速度并提高定位精度。证明了引入方位角变化率信息的有效性。
参考文献：
［1］ 隋红波,王鼎,吴瑛.基于运动学原理的单站无源定位改进算法［J］.信息工程大学学报,2008,9(1):66-69.
［2］ 焦淑红,刘申建,司锡才.机动目标时差无源定位自适应滤波算法研究［J］.哈尔滨工程大学学报,2001,22（5）：57-63.
［3］ 王杰贵，罗景青.固定单站对机动目标无源定位IMM算法［J］. 信息处理，2002,18（2）:137-140.
［4］ 郭福成,贾兴江,皇甫堪.仅用相位差变化率的机载单站无源定位方法及其误差分析［J］. 航空学报, 2009,30(6):1 091-1 095.
［5］ 郭福成，孙仲康，安玮.对运动辐射源的单站无源伪线性定位跟踪算法［J］.宇航学报，2002,23（5）:28-32.
［6］ 郭福成，李宗华，孙仲康.无源定位跟踪中修正协方差扩展卡尔曼滤波算法［J］.电子与信息学报，2004,26（6）:917-923.
［7］ VINCENT J AIDALA, STEVEN NARDONE. Biased estimation properties of the pseudolinear tracking filter［J］. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,1982,18(4): 432-441.
［8］ 杨莘元，郑思海.基于运动辐射体TOA和DOA测量的单站被动定位算法［J］ .电子学报，1996，24（12）：66-69.
［9］ 杨争斌,郭福成, 周一宇.基于UT变换的机动辐射源单站被动跟踪IMM算法［J］.系统工程与电子技术, 2007, 29(1) ： 5-8.
［10］ 王建钢,花兴来,朱元清,等. 利用波达方位角及其变化率对运动辐射源的无源定位［J］.现代防御技术, 2008,36(5)：119-124.
(责任编辑：何学华，吴晓红)
关键词：无源定位；方位角；俯仰角；角度变化率
中图分类号：TN957文献标识码：A 文章编号：1672-1098(2010)04-0040-04
Research on Passive Location Algorithm Based on Spatial Information from Opportunity Transmitter
QIAO Liang
(Department of Computer Science and Technology,Guangdong University of Finance, Guangzhou Guangdong 510520, China)
Abstract:According to the characteristics of opportunity transmitter, such as electronic counter-countermeasure, detection of stealth targets, a passive location algorithm was proposed, which based on azimuth and elevation angle measurements adds to changing rates of angle. Meanwhile, a modified covariance extended Kalman filter (MGEKF) algorithm was introduced, which is good for nonlinear system. Compared with EKF, MVEKF can solve nonlinearity problem of observation model better. The computer simulation results indicated that the algorithm performs well in both the location precision and speed, which has good utility value.
Key words:passive location; azimuth angle; elevation angle; rate of angle change
在现代高科技战争中，单站被动定位技术起着至关重要的作用 ［1］。文献［2-3］分别提出了将加权最小二乘估计与卡尔曼滤波相结合的无源定位方法和对机动目标无源定位IMM（Interacting multiple model）算法，用不同的方式研究了无源定位问题。但是这些方法各有自己的适用范围和局限性。一方面，对于基于辐射源的无源定位，由于目标辐射源的开机时间可能很短,脉冲重复频率或者脉冲载频保持恒定的时间非常有限；另一方面，在传统EKF（Extendedkalmanfilter）滤波算法中，由于非线性方程的线性化舍弃了二阶以上的高次项,导致目标的跟踪精度降低。基于外辐射源的无源定位，是利用普通民用频段通讯系统，例如民用电视台等发射的电磁波作为照射源，对目标进行定位的方法，它具有设备简单、快速定位以及抗干扰、抗低空突防和反隐身等诸多优点。利用一个接收天线接收目标的散射信号，可以同时得到目标相对于观测器的方位信息，包括目标的方位角和俯仰角。根据外辐射源、目标及观测站之间的几何关系，建立方程组联合求解可得到目标在空间的位置坐标。根据国内外近年来研究的启示［4-7］，本文提出了一种利用外辐射源空域信息，并且采用修正协方差扩展卡尔曼滤波(Modified covariance extended Kalman filter ，MVEKF)算法对运动辐射源进行单站无源定位跟踪算法。由于它在只测向定位算法的基础上增加了方位角和俯仰角变化率信息，因此它比传统的只测向定位算法的收敛速度更快，同时还克服了EKF算法的缺欠。通过计算机仿真，验证了该方法的正确性与有效性。
1 系统数学模型的建立
在三维直角坐标系下，基于外辐射源进行无源定位的外辐射源、观测站以及目标之间的关系如图1所示。
图1 外辐射源空域信息无源定位几何关系
以观测器O为坐标原点，固定外辐射源的坐标为B（xBi，yBi，zBi），运动目标的坐标为T（xTi，yTi，zTi）。假设观测器和目标的相对运动状态变量为
Xi=（x1,yi,zi，x•i,y•i,z•i）T，观测器O作机动运动，第i个观测时刻的加速度为UOi=（aOxi，aOyi，aOzi）T，则列出观测器运动的状态方程为
XO，i+1=ΦXO，i+BUOi（1）
式中：Φ=I3TsI30I3为状态转移矩阵；B=T2s2I3TsI3
，其中I3为3阶单位阵，Ts为测量周期。
假设目标作匀速直线运动，则它的状态方程为
XT，i+1=ΦXT，i（2）
因此， 目标相对于观测器的相对运动状态方程为
Xi+1=XT，i+1-XO，i+1=ΦXi-BUOi（3）由β、ε、β•、ε•的定义
βi=arctgxiyi=△g1(Xi)
εi=arctgzix2i+y2i=△g3(Xi)
β•i=x•iyi-y•ixix2i+y2i=△g2(Xi)
ε•i=-zixix•i-ziyiy•i+(x2i+y2i)z•i
(x2i+y2i+z2i)(x2i+y2i)1/2=△g4(Xi)
设 Z′1mi=βmiβ•miεmiε•mi，
G(Xi)=g1(Xi)g2(Xi)g3(Xi)g4(Xi)，
N′1i=δβiδβ•iδεiδε•i，N′1i为角度及其变化率的测量误差。
则得到测量方程为
Z′1mi= G（X i）+ N ′1i (4 )
在某一个估计点X[DD(-*5/6]＾Ti中，将函数G（X i）进行泰勒展开
Z′1mi= G（X i）+ N ′1i=G（X[DD(-*5/6]＾i)+
H -i( X i- X[DD(-*5/6]＾i)+H.O.T.+N ′1i (5 )
其中H.O.T.为高次项，H -i为Jacobi矩阵，
由Xi=XTi-XOi，
X[DD(-*5/6]＾i=X[DD(-*5/6]＾Ti-X[DD(-*5/6]＾Omi代入式(5)整理并忽略高次项得到
Z′1mi-G(X[DD(-*5/6]＾i)+H-iX[DD(-*5/6]＾Ti=H-iXTi-
H-i(XOi-Xomi)+N′1i(6)
令：观测量Z1mi=Z′1mi-G(X[DD(-*5/6]＾i)+H-iX[DD(-*5/6]＾Ti，观测器位置误差δXOi=(XOi-Xomi)，测量误差N1i=H-iδXOi+N′1i，则得到扩展线性化测量方程
Z1mi=H-iXTi+N′1i(7)
2 MVEKF算法
在实际的EKF中， 由于系统的测量方程不是线性的， 且预测值存在一定的偏差， 导致在预测值处所求得的Jacobi矩阵也必然存在偏差， 使得
H-k•P-k≠0。MVEKF的基本思想是在EKF方程中计算出状态滤波值之后，采用状态滤波值重新计算Jacobi矩阵，对协方差矩阵进行更新，从而得到更加准确的协方差矩阵，使得
H+k•P+k≈0。这样得到的协方差阵中隐含了本次测量值信息，从而改善了估计的性能(见图2)。
图2 MVEKF算法程序框图
3 计算机仿真及结论
为验证这种定位算法的性能和有效性，对一种典型的机动目标航迹进行了计算机模拟。本仿真算例的设计参考了文献［8-10］。
仿真目的：比较不同观测参数子集1∶{β，ε}、子集2∶{β，ε，ε•}、子集3∶{β，ε，β•}和子集4∶{β，ε，β•，ε•}四种情况下的对运动辐射源单站无源定位性能。
仿真场景设计：假设观测器和运动辐射源的几何运动关系如图3所示，目标辐射源T处于巡航状态作匀速直线运动，观测器从原点开始运动，起始速度为vO，加速度为aO 。
试验条件： W=180km， L=120km， H=8km， vT=200m/s，T=200s，Ts=1s，σβ•=σε•=0.3mrad/s，σxo=σyo=10m，σvx=σvy=0.3m/s，σβ=σε=6mrad，20 m/s≤vO≤400 m/s，aO=±0.3 g。
图3 观测器和运动辐射源的几何运动关系
采用修正协方差扩展Kalman滤波（MVEKF）方法，可以得到图4所示的四种选择不同观测参数情况下的相对定位误差曲线。
t/s
1. 子集1；2. 子集2；3. 子集3；4. 子集4
图4 相对定位误差曲线
从图4仿真结果可以得到以下结论：
（1） 定位跟踪误差曲线从收敛速度上可以分为两类，第一类为子集1、子集2曲线，两者基本差不多，子集2曲线收敛误差比子集1曲线收敛误差略好；另一类为子集3、子集4曲线，两者也基本差不多。
（2） 通过子集1和子集2结果的比较可以看出，俯仰角变化率信息加入后对定位性能改善并不明显。比较子集3和子集4同样可以看出这一现象。产生这一结论的主要原因是，对于大多数空中运动目标而言，水平方向的速度远远大于俯仰方向的速度。所以通常情况下，单站无源定位时利用角度变化率信息可以只考虑方位角变化率。
（3） 从相对位置误差曲线还可以看出，加入方位角度变化率信息的测量子集3和子集4的定位结果，其性能要明显优于子集1和子集2的定位结果。在收敛到同样的定位误差条件下，第一类的曲线比第二类的曲线需要的时间大约长3~4倍甚至还要多。这个结论说明三维定位中方位角变化率的加入可以明显加快定位收敛速度并提高定位精度。证明了引入方位角变化率信息的有效性。
参考文献：
［1］ 隋红波,王鼎,吴瑛.基于运动学原理的单站无源定位改进算法［J］.信息工程大学学报,2008,9(1):66-69.
［2］ 焦淑红,刘申建,司锡才.机动目标时差无源定位自适应滤波算法研究［J］.哈尔滨工程大学学报,2001,22（5）：57-63.
［3］ 王杰贵，罗景青.固定单站对机动目标无源定位IMM算法［J］. 信息处理，2002,18（2）:137-140.
［4］ 郭福成,贾兴江,皇甫堪.仅用相位差变化率的机载单站无源定位方法及其误差分析［J］. 航空学报, 2009,30(6):1 091-1 095.
［5］ 郭福成，孙仲康，安玮.对运动辐射源的单站无源伪线性定位跟踪算法［J］.宇航学报，2002,23（5）:28-32.
［6］ 郭福成，李宗华，孙仲康.无源定位跟踪中修正协方差扩展卡尔曼滤波算法［J］.电子与信息学报，2004,26（6）:917-923.
［7］ VINCENT J AIDALA, STEVEN NARDONE. Biased estimation properties of the pseudolinear tracking filter［J］. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,1982,18(4): 432-441.
［8］ 杨莘元，郑思海.基于运动辐射体TOA和DOA测量的单站被动定位算法［J］ .电子学报，1996，24（12）：66-69.
［9］ 杨争斌,郭福成, 周一宇.基于UT变换的机动辐射源单站被动跟踪IMM算法［J］.系统工程与电子技术, 2007, 29(1) ： 5-8.
［10］ 王建钢,花兴来,朱元清,等. 利用波达方位角及其变化率对运动辐射源的无源定位［J］.现代防御技术, 2008,36(5)：119-124.
(责任编辑：何学华，吴晓红)