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突破难点是影响课堂教学有效性的关键因素之一。所谓难点，是指对于大多数学生来说不易理解的知识或不易掌握的技能技巧。产生难点的原因通常有两个方面：一是由于教材的逻辑起点较高或比较抽象，学生理解起来比较困难；二是由于学生缺乏相应生活经验，或已有生活经验存在片面甚或错误认知，影响学生正确理解相关知识。在数学教学中，教师只有吃透教材、明了学情，准确把握教学难点的“症结”所在，并选择恰当的教学方法，彰显本质特征，做到“对症下药”，才可能突破教学难点，取得好的教学效果。下面，笔者结合苏教版五年级下册“圆的认识”一课的教学谈谈体会。
一、 选择典型实物图片，彰显本质特征
在数学课堂教学中，教师经常要列举一些实物或者利用挂图、课件出示一些实物图，让学生通过观察，形象直观地感知相关数学知识。教师所选择的实物或实物图应能够彰显所学知识的本质特征，尽可能减少实物或实物图所蕴含知识的非本质特征，从而，让学生在准确感知中深化理解，突破教学难点。比如：在教学“圆的认识”时，课始，教师所出示的生活中的“圆”分别是铁环、玉镯、钥匙圈等“空心圆”实物，而出示的实物图则是方向盘、碗口、茶杯口和自行车车轮钢圈等“空心圆”实物图。这样，就有了如下教学片段：
师：在我们生活中，随处可见圆形的物体，比如：铁环、玉镯和钥匙圈（教师依次出示实物）。
生1：圆形的铁环。
生2：圆形的玉镯。
生3：圆形的钥匙圈。
师：除了这些圆形的实物，老师还准备了一些圆形物体的实物图，比如（教师用课件出示实物图）：方向盘、碗口、茶杯口和自行车车轮钢圈。
生1：圆形的方向盘。
生2：圆形的碗口。
生3：圆形的茶杯口。
生4：圆形的自行车钢圈。
师：刚才，我们一起观察了圆形的实物或实物图。大家能再举一些生活中圆形的例子吗？
生1：1元硬币的外圈是圆。
生2：5角、1角硬币的外圈都是圆。
生3：透明胶带的内圈、外圈都是圆。
“圆的认识”是一节概念教学课，最重要的就是让学生认识圆的本质属性。圆的本质属性有两个：圆是平面内的一条封闭的曲线；圆上任何一点到一个定点的距离相等。而要使学生准确认识“圆是平面内的一条封闭的曲线”这一本质属性，教师所选择的实物、实物图起着至关重要的作用。在以往的教学中，教师往往选择硬币、圆形纸片、圆柱体物品底面等“实心圆”实物、实物图教学。其结果就是，学生错误地认为：“圆就是这样的一个面”。学生自己举例子时，也就错误的说：硬币是圆、瓶盖是圆、车轮是圆等等。在上述教学片段中，正是因为教师精心选择了“空心圆”的实物、实物图，彰显“圆”的本质属性，让学生准确感知圆是一条封闭的曲线这一本质特征，再让学生自己举例子时，学生都会准确地说：“一元钱硬币的外圈是圆”、“5角钱、1角钱硬币的外圈都是圆”、“透明胶带的内圈、外圈都是圆”等。因此，教师在选择教学用的实物、实物图时，一定要深入研究教材，明了知识本质属性，选择典型的实物或实物图，彰显数学知识的本质特征，让学生准确感知，从而，有效突破教学难点。
二、 展示定义发生过程，彰显概念“拔节”
在小学数学中，用得比较多的是属加种差的定义方式，圆的半径、直径定义都是属加种差这种方式定义的。在“圆的认识”一节中（教材第86页），圆的半径定义为：连接圆心和圆上任意一点的线段是半径。圆的直径定义为：通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径。要让学生理解这样的定义，关键是让学生经历半径、直径定义的发生过程。在实际教学中，教师有意识地引导学生观察教师画半径、直径的过程，然后让学生自主画出半径、直径，继而引领学生交流、讨论画出的是怎样的线段，进而水到渠成地引领学生自主给出半径、直径的定义。于是，就有了如下教学片段：
师：随手在圆外、圆内、圆上分别点一点并标上字母A、B、C，然后提问：这三个点分别在圆的哪儿？
生1：点A在圆的外部。
生2：点B在圆的内部。
生3：点C刚好在圆上。
师：对！现在，看看老师连接的是哪两个点呢（教师连接圆心和圆上一点）？
生：连接圆心和圆上的一点。
师：这样的线段有个名称叫什么呢？
生：叫半径，用字母r表示。
师：你怎么知道的呢？
生：我在课前看过书。
师：好！课前预习是很好的学习习惯。这条线段叫半径，用字母r表示。请你们在刚才画的圆中也画一条半径并标上字母r。
学生画半径，标上字母r。
师：谁能说说半径是一条怎样的线段？
生：连接圆心和圆上任意一点的线段是半径。
师：看看我又画了一条怎样的线段（教师示范画直径）？
生1：这是一条直径。
生2：这条线段通过圆心并且两端都在圆上，它叫直径。
……
教师依次在圆外、圆内、圆上点一个点，引导学生通过观察、分析、讨论、抽象和概括，对圆外、圆内、圆上的点有清晰、准确的认识，为学生进一步学习圆的半径、直径的概念做好铺垫。继而，教师通过连点成线，让学生用语言加以描述，直观展示定义的发生过程，从而准确揭示圆的半径、直径的概念。此时，半径、直径概念的获得过程是学生自主建构概念的思维过程，半径、直径概念的“诞生”过程更加生动鲜活，半径、直径概念的本质特征更加外显，抽象的半径、直径概念变得形象具体，学生对半径、直径概念的理解则更为深刻，学生的观察、思维能力得到很好的发展。而这一精彩片段是教师在准确把握教材、明了学情基础上的精心预设，充分展示定义发生过程，有效引领学生观察、操作、概括后的应然生成，教学难点即被轻松突破。 三、 反思圆规画圆要领，彰显内在规律
“圆的认识”一课例2（教材第86页）为：在同一个圆内，有多少条半径，多少条直径？直径的长度和半径的长度有什么关系？
教材还设计了提示语：任意画一个圆，折一折，画一画，比一比，说说你的发现。
显然，教材编写者的意图是：让学生通过“画一画”，感知同一圆里有无数条半径、直径；通过“比一比”，感知同一圆里半径长度都相等，直径长度也都相等，直径是半径的2倍……
在实际教学中，当学生探索“半径”“直径”的长度关系时，往往是通过“比一比”操作认知的。这里的“比一比”更多的是用折叠比较的方法，但折叠比较的方法不便操作。因为，学生将画有半径的圆形纸片对折后，要么难以看清“面对面”的半径是否重合，要么难以将“背对背”的半径重合，学生操作感知的效果并不理想。显然，当教师想当然地引导学生，试图通过“画出半径——折叠比较”的方法发现半径、直径特征时，实质是教师人为制造“教学难点”。其实，同一圆中半径的长度关系完全可以由学生根据用圆规画圆的操作要领思考、推理得出，而学生自主思考、推理得出的结论更易于理解、掌握。把握了这一实际情况后，笔者又设计了如下教学片段：
师：在一个圆中能画多少条半径？这些半径长度有怎样关系？
生：圆中有无数条半径，这些半径都相等。
师：怎样做才能知道它们是否相等呢？
生1：看上去就相等。
生2：画几条半径，再量一量就知道了。
生3：画几条半径，折叠一下，比一比长短就知道是否相等了……
师：仅仅凭眼睛看还不能证明，测量、折叠比较都是好方法。老师以前教的班级中有一位同学脾气特别的犟，他在证明圆的半径相等时，也是用“画出半径——测量比较”的方法。他在圆中大约画了20条半径，测量、折叠后发现长度都相等。因而，他不无感慨的说：“我算服了，看来圆的半径真的都相等。”他的同桌笑着看他测量、折叠，就是不动手操作。老师就问：“你笑什么？不测量、不折叠能证明圆的半径相等吗？”那位同桌说：“我才不用这两种笨方法呢！画圆时，圆规的两个脚尖距离没变……”他真是“太有才”啦！你们猜猜看：那位“太有才”的学生是怎样证明同一圆中的半径长度都相等的呢？
生1：我知道了！画圆时要“定长”，就是圆规两脚尖的距离不变，要是脚尖距离变了就画不好圆。这个“定长”就是圆的半径，所以圆的半径都相等。
生2：画圆时，圆规两脚尖的距离没变，就是圆的半径没变。所以说在同一个圆中圆的半径都相等。但要是在两个圆中，就不一定相等了。
生3：对，应该是在同一个圆中，所有的半径都相等。
师：好！深刻。同一个圆中，半径都相等。直径呢？这些直径与半径又有怎样关系？
生：圆中有无数条直径，这些直径都相等，直径的长度是半径的2倍。
……
教师对同一圆中半径长度关系的证明可谓匠心独具，“太有才”的故事看似随意编撰，实质是教师知晓“测量比较”和“折叠比较”两种方法都不利于学生操作这一实际情况后的精心设计。教师一句“怎样做才能知道它是否相等”的提示语，自然将学生的思维引向“画出半径——测量比较”或“画出半径——折叠比较”的方法，但当学生产生“画出半径——测量比较”或“画出半径——折叠比较”的想法并予以实施时，教师再以“太有才”故事将学生的思维引向反思画圆时“定长”的意义，彰显圆规画圆“定长”的内在规律。从而，让学生根据画圆时的操作要领思考、推理得出“同一圆中，所有的半径都相等，所有直径也都相等，直径是半径的2倍”的结论。
由此可见，在数学教学中，教师惟有吃透教材、掌握学情，准确把握教学难点的“症结”，并在此基础上选择典型实物、实物图，彰显知识的本质特征，展示定义的发生过程，呈现知识生长节律，引导学生反思操作要领，彰显内在规律，做到“对症下药”，教学难点才会被轻松而富有智慧地突破。
【责任编辑：陈国庆】
一、 选择典型实物图片，彰显本质特征
在数学课堂教学中，教师经常要列举一些实物或者利用挂图、课件出示一些实物图，让学生通过观察，形象直观地感知相关数学知识。教师所选择的实物或实物图应能够彰显所学知识的本质特征，尽可能减少实物或实物图所蕴含知识的非本质特征，从而，让学生在准确感知中深化理解，突破教学难点。比如：在教学“圆的认识”时，课始，教师所出示的生活中的“圆”分别是铁环、玉镯、钥匙圈等“空心圆”实物，而出示的实物图则是方向盘、碗口、茶杯口和自行车车轮钢圈等“空心圆”实物图。这样，就有了如下教学片段：
师：在我们生活中，随处可见圆形的物体，比如：铁环、玉镯和钥匙圈（教师依次出示实物）。
生1：圆形的铁环。
生2：圆形的玉镯。
生3：圆形的钥匙圈。
师：除了这些圆形的实物，老师还准备了一些圆形物体的实物图，比如（教师用课件出示实物图）：方向盘、碗口、茶杯口和自行车车轮钢圈。
生1：圆形的方向盘。
生2：圆形的碗口。
生3：圆形的茶杯口。
生4：圆形的自行车钢圈。
师：刚才，我们一起观察了圆形的实物或实物图。大家能再举一些生活中圆形的例子吗？
生1：1元硬币的外圈是圆。
生2：5角、1角硬币的外圈都是圆。
生3：透明胶带的内圈、外圈都是圆。
“圆的认识”是一节概念教学课，最重要的就是让学生认识圆的本质属性。圆的本质属性有两个：圆是平面内的一条封闭的曲线；圆上任何一点到一个定点的距离相等。而要使学生准确认识“圆是平面内的一条封闭的曲线”这一本质属性，教师所选择的实物、实物图起着至关重要的作用。在以往的教学中，教师往往选择硬币、圆形纸片、圆柱体物品底面等“实心圆”实物、实物图教学。其结果就是，学生错误地认为：“圆就是这样的一个面”。学生自己举例子时，也就错误的说：硬币是圆、瓶盖是圆、车轮是圆等等。在上述教学片段中，正是因为教师精心选择了“空心圆”的实物、实物图，彰显“圆”的本质属性，让学生准确感知圆是一条封闭的曲线这一本质特征，再让学生自己举例子时，学生都会准确地说：“一元钱硬币的外圈是圆”、“5角钱、1角钱硬币的外圈都是圆”、“透明胶带的内圈、外圈都是圆”等。因此，教师在选择教学用的实物、实物图时，一定要深入研究教材，明了知识本质属性，选择典型的实物或实物图，彰显数学知识的本质特征，让学生准确感知，从而，有效突破教学难点。
二、 展示定义发生过程，彰显概念“拔节”
在小学数学中，用得比较多的是属加种差的定义方式，圆的半径、直径定义都是属加种差这种方式定义的。在“圆的认识”一节中（教材第86页），圆的半径定义为：连接圆心和圆上任意一点的线段是半径。圆的直径定义为：通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径。要让学生理解这样的定义，关键是让学生经历半径、直径定义的发生过程。在实际教学中，教师有意识地引导学生观察教师画半径、直径的过程，然后让学生自主画出半径、直径，继而引领学生交流、讨论画出的是怎样的线段，进而水到渠成地引领学生自主给出半径、直径的定义。于是，就有了如下教学片段：
师：随手在圆外、圆内、圆上分别点一点并标上字母A、B、C，然后提问：这三个点分别在圆的哪儿？
生1：点A在圆的外部。
生2：点B在圆的内部。
生3：点C刚好在圆上。
师：对！现在，看看老师连接的是哪两个点呢（教师连接圆心和圆上一点）？
生：连接圆心和圆上的一点。
师：这样的线段有个名称叫什么呢？
生：叫半径，用字母r表示。
师：你怎么知道的呢？
生：我在课前看过书。
师：好！课前预习是很好的学习习惯。这条线段叫半径，用字母r表示。请你们在刚才画的圆中也画一条半径并标上字母r。
学生画半径，标上字母r。
师：谁能说说半径是一条怎样的线段？
生：连接圆心和圆上任意一点的线段是半径。
师：看看我又画了一条怎样的线段（教师示范画直径）？
生1：这是一条直径。
生2：这条线段通过圆心并且两端都在圆上，它叫直径。
……
教师依次在圆外、圆内、圆上点一个点，引导学生通过观察、分析、讨论、抽象和概括，对圆外、圆内、圆上的点有清晰、准确的认识，为学生进一步学习圆的半径、直径的概念做好铺垫。继而，教师通过连点成线，让学生用语言加以描述，直观展示定义的发生过程，从而准确揭示圆的半径、直径的概念。此时，半径、直径概念的获得过程是学生自主建构概念的思维过程，半径、直径概念的“诞生”过程更加生动鲜活，半径、直径概念的本质特征更加外显，抽象的半径、直径概念变得形象具体，学生对半径、直径概念的理解则更为深刻，学生的观察、思维能力得到很好的发展。而这一精彩片段是教师在准确把握教材、明了学情基础上的精心预设，充分展示定义发生过程，有效引领学生观察、操作、概括后的应然生成，教学难点即被轻松突破。 三、 反思圆规画圆要领，彰显内在规律
“圆的认识”一课例2（教材第86页）为：在同一个圆内，有多少条半径，多少条直径？直径的长度和半径的长度有什么关系？
教材还设计了提示语：任意画一个圆，折一折，画一画，比一比，说说你的发现。
显然，教材编写者的意图是：让学生通过“画一画”，感知同一圆里有无数条半径、直径；通过“比一比”，感知同一圆里半径长度都相等，直径长度也都相等，直径是半径的2倍……
在实际教学中，当学生探索“半径”“直径”的长度关系时，往往是通过“比一比”操作认知的。这里的“比一比”更多的是用折叠比较的方法，但折叠比较的方法不便操作。因为，学生将画有半径的圆形纸片对折后，要么难以看清“面对面”的半径是否重合，要么难以将“背对背”的半径重合，学生操作感知的效果并不理想。显然，当教师想当然地引导学生，试图通过“画出半径——折叠比较”的方法发现半径、直径特征时，实质是教师人为制造“教学难点”。其实，同一圆中半径的长度关系完全可以由学生根据用圆规画圆的操作要领思考、推理得出，而学生自主思考、推理得出的结论更易于理解、掌握。把握了这一实际情况后，笔者又设计了如下教学片段：
师：在一个圆中能画多少条半径？这些半径长度有怎样关系？
生：圆中有无数条半径，这些半径都相等。
师：怎样做才能知道它们是否相等呢？
生1：看上去就相等。
生2：画几条半径，再量一量就知道了。
生3：画几条半径，折叠一下，比一比长短就知道是否相等了……
师：仅仅凭眼睛看还不能证明，测量、折叠比较都是好方法。老师以前教的班级中有一位同学脾气特别的犟，他在证明圆的半径相等时，也是用“画出半径——测量比较”的方法。他在圆中大约画了20条半径，测量、折叠后发现长度都相等。因而，他不无感慨的说：“我算服了，看来圆的半径真的都相等。”他的同桌笑着看他测量、折叠，就是不动手操作。老师就问：“你笑什么？不测量、不折叠能证明圆的半径相等吗？”那位同桌说：“我才不用这两种笨方法呢！画圆时，圆规的两个脚尖距离没变……”他真是“太有才”啦！你们猜猜看：那位“太有才”的学生是怎样证明同一圆中的半径长度都相等的呢？
生1：我知道了！画圆时要“定长”，就是圆规两脚尖的距离不变，要是脚尖距离变了就画不好圆。这个“定长”就是圆的半径，所以圆的半径都相等。
生2：画圆时，圆规两脚尖的距离没变，就是圆的半径没变。所以说在同一个圆中圆的半径都相等。但要是在两个圆中，就不一定相等了。
生3：对，应该是在同一个圆中，所有的半径都相等。
师：好！深刻。同一个圆中，半径都相等。直径呢？这些直径与半径又有怎样关系？
生：圆中有无数条直径，这些直径都相等，直径的长度是半径的2倍。
……
教师对同一圆中半径长度关系的证明可谓匠心独具，“太有才”的故事看似随意编撰，实质是教师知晓“测量比较”和“折叠比较”两种方法都不利于学生操作这一实际情况后的精心设计。教师一句“怎样做才能知道它是否相等”的提示语，自然将学生的思维引向“画出半径——测量比较”或“画出半径——折叠比较”的方法，但当学生产生“画出半径——测量比较”或“画出半径——折叠比较”的想法并予以实施时，教师再以“太有才”故事将学生的思维引向反思画圆时“定长”的意义，彰显圆规画圆“定长”的内在规律。从而，让学生根据画圆时的操作要领思考、推理得出“同一圆中，所有的半径都相等，所有直径也都相等，直径是半径的2倍”的结论。
由此可见，在数学教学中，教师惟有吃透教材、掌握学情，准确把握教学难点的“症结”，并在此基础上选择典型实物、实物图，彰显知识的本质特征，展示定义的发生过程，呈现知识生长节律，引导学生反思操作要领，彰显内在规律，做到“对症下药”，教学难点才会被轻松而富有智慧地突破。
【责任编辑：陈国庆】