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许多问题具有不确定性，例如，掷一枚均匀的硬币，事先并不能说准硬币落地后是哪一面向上的；射击打靶之前，不能确定子弹落在靶上的确切位置；年初时，很难准确地预报某地区全年的降水量，这类问题被称为不确定性问题或随机性问题.
为了研究不确定性问题，更深入地研究已发生的现象和较准确地预测未发生的现象，人们想到了利用统计数据的方法.具有不确定性的对象虽然不好把握，但是人们可以收集与其相关的数据，通过分析这些数据，来发现对象的变化规律，从而作出更接近于客观的估计.这就是统计的作用.
每一个统计过程都是从收集数据起步的，收集到的数据叫做原始数据.虽然原始数据包含了研究对象的大量信息，但是它们往往是初级的、表层的，人们经常要对其加工整理，从中挖掘出更有用的深层信息.在加工整理原始数据时，人们会得到一些能从某个角度反映研究对象的某些特征的数值.常用的平均数、中位数和众数都是反映研究对象的集中趋势的数值，方差则是反映研究对象离散（波动）程度的数值.
一、平均数
在一个具有不确定性的问题中，与研究对象相关的数据可能有大有小.数据的平均数是反映研究对象的平均水平的数值.数据的算术平均数为.这是最简单的平均数，
例l 甲、乙两名选手各射击10次，所取得的成绩如表1所示.试比较每人的单枪平均成绩，并说明其含义.
解析：甲的单枪平均成绩为
从另一个角度看，甲10枪中命中6环2次.7环3次，8环2次，9环1次，10环2次，共5种成绩，所以他的单枪平均成绩也可以如下计算：
用同样的算法可得乙的单枪平均成绩为
由可知，虽然甲、乙两人的成绩不完全相同，但是从单枪平均水平的角度看两人的成绩相同.
一般地，如果一组数据中共有m种不同的值，记它们为并且其中分别叫做的权.数值叫做这组数据的加权平均数，例如，上面的和都是加权平均数.可以看出，这里的加权平均数是算术平均数的一个简化形式，它在计算上会更加简便.
二、中位数
除了用平均数反映对象的平均水平外，还可以用中位数来反映对象的居中水平.
把n个数据从小到大排成一列，相同的数重复进行排列.当n是奇数时，排在正中间位置的一个数，叫做这n个数据的中位数；当n是偶数时，排在中间位置的两个数的平均数，叫做这n个数据的中位数.例如，1，l，2，3，5，6，7这7个数的中位数是3；l，l，2，3，4，5，6，7这8个数的中位数是.中位数体现了一组数据中间位置的数据水平，它反映了具有不确定性的研究对象在中等状态下的水平.
例2 根据表1，比较甲、乙射击成绩的中位数，并说明其含义.
解析：把甲、乙的各次成绩分别从小到大依次排列，得到如下两组数据：
甲 6 6 7 7 7 8 8 9 10 10
乙 7 7 7 7 8 8 8 8
9
9
甲射击成绩的中位数为（7 8）÷2=7.5，乙射击成绩的中位数为（8 8）÷2=8.这说明，在一般情形下，甲发挥到中等水平时成绩约介于7环和8环之间，乙发挥到中等水平时成绩可能为8环.乙的中位数较大，如果两人都是中等水平发挥，乙的成绩略好的可能性要大些.
三、众数
具有不确定性的研究对象，在相同的试验条件下，可能有不同的表现，哪种表现的可能性最大呢？这可以用统计数据的众数来反映，
一组数据中出现的次数最多的数，叫做这组数据的众数.例如，数据1，2，1，3，3，6，4，5，3的众数是3；数据3，1，2，l，5，1，2，3，2的众数是1和2.如果一组数据中各个不同的数出现的次数都相同，则这组数据中不存在众数.众数表现了一组数据的聚集点（或称为“热点”），它反映了具有不确定性的研究对象通常最可能呈现的水平.
例3 根据表1，比较甲、乙射击成绩的众数，并说明其含义.
解析：甲的成绩有5种，其中6环出现2次，7环出现3次，8环出现2次，9环出现1次，10环出现2次.7环出现的次数最多，所以众数是7.
乙的成绩有3种，其中7环出现4次.8环出现4次，9环出现2次，出现次数最多的是7环和8环，所以众数是7和8.
从比较两组数据的众数的角度来看，在一般情形下，甲射中7环比取得其他成绩的可能性要大些，乙射中7环或8环比取得其他成绩的可能性要大些，
一组数据的集中趋势，包括数据的平均水平、居中水平和聚集水平，平均数、中位数和众数分别代表了这三个水平.所以说它们是描述数据的集中趋势的三个代表，
四、方差
考察具有不确定性的对象的特征时，除了从集中趋势的角度研究以外，还可以研究与研究对象相关的数据的变化幅度，即数据的离散程度，从整体上看，如果一组数据的值比较接近，则说这组数据分布得比较紧密，它的离散程度较小；反之，如果一组数据的值差距较大，则说这组数据分布得比较松散，它的离散程度较大，离散程度较小的一组数据，从整体上看各数据偏离平均数的程度较小；离散程度较大的一组数据，从整体上看各数据偏离平均数的程度较大.
为了精确地反映一组数据的离散程度，可以把一组数据中的全部n个数据，的平均数x作为基准，计算各数据与x的差的平方，这些平方的平均数就叫做这组数据的方差.因为方差可以从整体上反映数据偏离平均数的程度，所以它成为了反映研究对象离散程度的数值.
例4 根据表l，比较甲、乙射击成绩的方差，并说明其含义.
解析：从例1可知，甲、乙射击成绩的平均数都是7.8.把甲、乙的各次成绩依次代人下式：得
比较两个方差可以估计：就目前的情况来说，甲射击成绩的离散程度较大.这说明，两人相比甲的表现波动大些，乙相对更稳定些.这可以为选拔选手和制定有针对性的训练计划提供依据.
以上围绕一个射击问题，简单地说明了反映对象特征的四种数值.同学们在学习统计知识时应注意结合一些具体事例去理解它们，要逐步体会统计在实际生活中的应用，而不是仅仅关注一些具体的计算.
为了研究不确定性问题，更深入地研究已发生的现象和较准确地预测未发生的现象，人们想到了利用统计数据的方法.具有不确定性的对象虽然不好把握，但是人们可以收集与其相关的数据，通过分析这些数据，来发现对象的变化规律，从而作出更接近于客观的估计.这就是统计的作用.
每一个统计过程都是从收集数据起步的，收集到的数据叫做原始数据.虽然原始数据包含了研究对象的大量信息，但是它们往往是初级的、表层的，人们经常要对其加工整理，从中挖掘出更有用的深层信息.在加工整理原始数据时，人们会得到一些能从某个角度反映研究对象的某些特征的数值.常用的平均数、中位数和众数都是反映研究对象的集中趋势的数值，方差则是反映研究对象离散（波动）程度的数值.
一、平均数
在一个具有不确定性的问题中，与研究对象相关的数据可能有大有小.数据的平均数是反映研究对象的平均水平的数值.数据的算术平均数为.这是最简单的平均数，
例l 甲、乙两名选手各射击10次，所取得的成绩如表1所示.试比较每人的单枪平均成绩，并说明其含义.
解析：甲的单枪平均成绩为
从另一个角度看，甲10枪中命中6环2次.7环3次，8环2次，9环1次，10环2次，共5种成绩，所以他的单枪平均成绩也可以如下计算：
用同样的算法可得乙的单枪平均成绩为
由可知，虽然甲、乙两人的成绩不完全相同，但是从单枪平均水平的角度看两人的成绩相同.
一般地，如果一组数据中共有m种不同的值，记它们为并且其中分别叫做的权.数值叫做这组数据的加权平均数，例如，上面的和都是加权平均数.可以看出，这里的加权平均数是算术平均数的一个简化形式，它在计算上会更加简便.
二、中位数
除了用平均数反映对象的平均水平外，还可以用中位数来反映对象的居中水平.
把n个数据从小到大排成一列，相同的数重复进行排列.当n是奇数时，排在正中间位置的一个数，叫做这n个数据的中位数；当n是偶数时，排在中间位置的两个数的平均数，叫做这n个数据的中位数.例如，1，l，2，3，5，6，7这7个数的中位数是3；l，l，2，3，4，5，6，7这8个数的中位数是.中位数体现了一组数据中间位置的数据水平，它反映了具有不确定性的研究对象在中等状态下的水平.
例2 根据表1，比较甲、乙射击成绩的中位数，并说明其含义.
解析：把甲、乙的各次成绩分别从小到大依次排列，得到如下两组数据：
甲 6 6 7 7 7 8 8 9 10 10
乙 7 7 7 7 8 8 8 8
9
9
甲射击成绩的中位数为（7 8）÷2=7.5，乙射击成绩的中位数为（8 8）÷2=8.这说明，在一般情形下，甲发挥到中等水平时成绩约介于7环和8环之间，乙发挥到中等水平时成绩可能为8环.乙的中位数较大，如果两人都是中等水平发挥，乙的成绩略好的可能性要大些.
三、众数
具有不确定性的研究对象，在相同的试验条件下，可能有不同的表现，哪种表现的可能性最大呢？这可以用统计数据的众数来反映，
一组数据中出现的次数最多的数，叫做这组数据的众数.例如，数据1，2，1，3，3，6，4，5，3的众数是3；数据3，1，2，l，5，1，2，3，2的众数是1和2.如果一组数据中各个不同的数出现的次数都相同，则这组数据中不存在众数.众数表现了一组数据的聚集点（或称为“热点”），它反映了具有不确定性的研究对象通常最可能呈现的水平.
例3 根据表1，比较甲、乙射击成绩的众数，并说明其含义.
解析：甲的成绩有5种，其中6环出现2次，7环出现3次，8环出现2次，9环出现1次，10环出现2次.7环出现的次数最多，所以众数是7.
乙的成绩有3种，其中7环出现4次.8环出现4次，9环出现2次，出现次数最多的是7环和8环，所以众数是7和8.
从比较两组数据的众数的角度来看，在一般情形下，甲射中7环比取得其他成绩的可能性要大些，乙射中7环或8环比取得其他成绩的可能性要大些，
一组数据的集中趋势，包括数据的平均水平、居中水平和聚集水平，平均数、中位数和众数分别代表了这三个水平.所以说它们是描述数据的集中趋势的三个代表，
四、方差
考察具有不确定性的对象的特征时，除了从集中趋势的角度研究以外，还可以研究与研究对象相关的数据的变化幅度，即数据的离散程度，从整体上看，如果一组数据的值比较接近，则说这组数据分布得比较紧密，它的离散程度较小；反之，如果一组数据的值差距较大，则说这组数据分布得比较松散，它的离散程度较大，离散程度较小的一组数据，从整体上看各数据偏离平均数的程度较小；离散程度较大的一组数据，从整体上看各数据偏离平均数的程度较大.
为了精确地反映一组数据的离散程度，可以把一组数据中的全部n个数据，的平均数x作为基准，计算各数据与x的差的平方，这些平方的平均数就叫做这组数据的方差.因为方差可以从整体上反映数据偏离平均数的程度，所以它成为了反映研究对象离散程度的数值.
例4 根据表l，比较甲、乙射击成绩的方差，并说明其含义.
解析：从例1可知，甲、乙射击成绩的平均数都是7.8.把甲、乙的各次成绩依次代人下式：得
比较两个方差可以估计：就目前的情况来说，甲射击成绩的离散程度较大.这说明，两人相比甲的表现波动大些，乙相对更稳定些.这可以为选拔选手和制定有针对性的训练计划提供依据.
以上围绕一个射击问题，简单地说明了反映对象特征的四种数值.同学们在学习统计知识时应注意结合一些具体事例去理解它们，要逐步体会统计在实际生活中的应用，而不是仅仅关注一些具体的计算.