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摘要：在当前落实“立德树人”根本任务的背景下，挖掘数学教学内容蕴含的素养资源，充分发挥数学教育的育人功能，提升学生跨学科素养和数学素养，是家常课变“单薄”为“厚重”的重要途径。以《有理数加法运算律》教学设计为例，说明具体做法：经历新知引入过程，提升发现和提出问题能力，培养创新意识;经历新知形成过程，渗透抽象和推理基本思想，培养创新能力;经历新知应用过程，落实模型和推理基本思想，培养应用意识。
关键词：素养资源 家常课 厚重 《有理数加法运算律》
数学教学中有许多重点课题、难点课题，经过合力打磨、精雕细琢，可以成为亮点纷呈、高潮迭起的经典课例，但更多的是平淡的家常课——教学内容一般比较“单薄”。家常课要上好不容易。当前，许多教师在家常课中缺少对教材和教学内容的深入研究和思考，要么把新授内容教得寡淡无味，要么在快速讲授新授内容后靠题型归类训练或大量的高难度训练来增加所谓的“数学味”。如何避免这一现象，让家常课变“单薄”为“厚重”？笔者结合教学实践对此进行了探索、思考，并尝试提炼、总结了一些可借鉴的经验（做法）。下面以苏科版初中数学七年级上册《有理数加法运算律》一课为例进行说明。
一、教学设计简述
（一）问题导入
创设情境：前面我们学习了两个有理数加法的运算法则，那么三个及以上，也就是多个有理数相加如何运算呢？尝试计算：（-2.36）+837+（-5.64）。
前面的问题是一个引导性问题，学生无须回答。后面的问题，学生要在尝试思考的基础上，汇报计算过程并说明运算依据：加法交换律和加法结合律。
追问：大家对刚才的计算过程有问题吗？有什么问题？
对于学生来说，加法交换律和加法结合律是小学阶段学习的、运用于非负数范围的加法运算律。现在数系扩张到了有理数范围，所以引导学生主动提出问题：小学学过的加法交换律和加法结合律在有理数范围内还适用吗？
从而揭示本课课题，并且强调：为了解决多个有理数的加法运算问题，必须解决加法运算律在数系扩张后是否仍然适用的问题。
（二）自主探究
1.探究加法交换律在有理数范围内是否仍然适用。
问题1：自己选择两个有理数（至少有一个是负数），探究加法交换律是否仍然适用，写出你得到的关系式。再换几组有理数试一试。
学生独立尝试探究。教师选择部分学生汇报交流，并且板书部分探究结果，如5+（-3）=（-3）+5。
问题2：这样的等式举例举得尽吗？（预设：举不尽。）举不尽怎么办？（预设：用字母a、b表示。）这里的a、b可以表示哪些数？
逐步出示问题2，引导学生主动用字母表示加法交换律a+b=b+a，感悟字母表示数的一般性和简洁性。
问题3：通过几组有理数就能说明加法交换律在有理数范围内仍然适用吗？（预设：不能。）还需要做什么工作？（预设：一般化推理论证。）你能说明其合理性吗？
逐步出示问题3，引导学生认识到不完全归纳得到的猜想结论需要经过推理论证才能成为一个正确的定理法则。当然，有理数加法交换律的严格证明很复杂。对此，可以引导学生运用有理数加法法则说明其合理性：无论同号相加，还是异号相加，抑或一个数与零相加，其结果的符号和绝对值均与加数的位置无关。或者从几何直观的角度，将有理数加法理解成线段拼接，从而说明交换律的合理性。由此，强化学生对有理数加法交换律的接受程度。
2.探究加法结合律在有理数范围内是否仍然适用。
类似地，引导学生探究加法结合律在有理数范围内是否仍然适用。有理数加法结合律的严格证明同样很复杂。对此，可以引导学生运用有理数加法交换律说明其合理性：三个数相加，按照同级运算从左向右的运算顺序，先把前两个数相加;先把后两个数相加相当于运用有理数加法交换律把后两个数交换到前面。由此，强化学生对有理数加法结合律的接受程度。
反思小结：我们是如何探究有理数加法运算律的？
引导学生回顾有理数加法运算律的探究过程，体会“从特殊到一般”“先猜想再论证”的科学研究的基本思想方法。
（三）尝试运用
例题示范：（教材第33页例2）计算——（1） （-23）+（+58）+（-17）;（2） （-2.8）+（-3.6）+（-1.5）+3.6;（3） 1/6+（-2/7）+（-5/6）+（+5/7）。
引导学生分析算式结构特征，规划运算路径，反思运算依据。然后，做好板书示范。
反思小结：通过例题的尝试运用，你对多个有理数的加法运算有什么体会和经验？
引导学生回顾例题的运算过程，体会有理数加法运算律简化运算的作用，小结有理数加法运算律简化运算的经验：能得整数的先相加（凑整），互为相反数的先相加（凑零），同号的先相加（同号结合），同分母的先相加（同分母结合）。然后，请学生板演教材第34页“练一练”的六道练习题（具体过程省略）。
实践应用：小明遥控一辆玩具赛车，让它从A点出发，先向东行驶15m，再向西行驶25m，然后又向东行驶20m，再向西行驶35m，问：玩具赛车最后停在何处？
通过一些启发性问题，如“向东15m既有方向又有距离，如何用数学的语言表示？你想到了什么？”“停在何处需要知道哪几方面的信息？”等，引导学生将实际问题数学化;通过“-25m在实际问题中代表什么含义？”等问题，引导学生将数学问题的解阐释为实际问题的解。然后，通过投影结合引导分析，逐步呈现解题过程：
解：规定向东为正，行驶的距離为（+15）+（-25）+（+20）+（-35）=[（+15）+（+20）]+[（-25）+（-35）]=（+35）+（-60）=-25（m）。（数学化）
答：玩具赛车最后停在A点向西25m处。（阐释） 反思小结：刚才，我们是如何解决一个实际问题的？
引导学生反思小结解决实际问题的数学建模过程，得到图1。
（四）反思总结
问题1：今天我们主要研究了什么？它有什么用？怎么用？
引导学生回顾有理数加法运算律的内容和应用，落实知识与技能目标和数学运算素养。
问题2：我们是如何研究有理数加法运算律的？
引导学生回顾有理数加法运算律的探究过程，再次感悟“数学的发展源于应用的需要”和“从特殊到一般”“先猜想再论证”的科学研究的基本思想方法，落实数学抽象和逻辑推理素养。
二、教学立意阐释
课程标准和教材安排的每一个数学教学内容都是有价值、有意义的，它的引入、形成、应用过程都是素养培育的载体。在当前落实“立德树人”根本任务的背景下，挖掘数学教学内容蕴含的素养资源，充分发挥数学教育的育人功能，提升学生跨学科素养和数学素养，是家常课变“单薄”为“厚重”的重要途径。
教材对本节课的编排是先通过实例验证加法运算律在有理数范围内仍然适用（“做一做”），再运用加法运算律进行有理数加法运算（例2和“练一练”）。看上去，教材内容少而简单。实际上，有理数加法运算律问题的提出、有理数加法运算律的获得和运用的过程，蕴含了丰富的素养资源，内容不少也不简单。
（一）经历新知引入过程，提升发现和提出问题能力，培养创新意识
“发明千千万，起点在一问。”《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《2011年版课程标准》）指出：“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础。”课堂教学，应让学生经历新知的引入过程，或在解决生活实际问题的需要中，或在研究其他学科问题的需要中，或在突破数学内部发展的需要中，自主发现和提出问题，从而提出研究课题，揭示学习主题。这样，有利于解决学生“为什么要学习本节课内容”“怎么想到研究本节课内容”的问题，提升学生学习的内驱力，培养学生的创新意识。
本节课中，有理数加法运算从加法法则的两个加数拓展到多个加数，体现了数学知识发生、发展的逻辑线索。从学生无意识地运用加法运算律尝试多个有理数的加法运算，引导学生认识加法运算律学习的必要性，主动思考尝试运算中不够严谨的地方，从而自主提出本节课的研究问题：小学学过的加法交换律和结合律在有理数范围内还适用吗？这样的设计在“如何使学生想到”上下了较多的功夫，力求通过问题情境，使学生自主发现和提出问题成为必然，而不是“撞大运”，真正落实了创新意识的培养。
（二）经历新知形成过程，渗透抽象和推理基本思想，培养创新能力
《2011年版课程标准》指出：“独立思考、学会思考是创新的核心;归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。”傅种孙先生曾经说过：“几何之务不在知其然，而在知其所以然;不在知其然，而在知何由以知其所以然。”这说明数学理解有三个递进的层次：知其然→知其所以然→知何由以知其所以然。“知道怎么想”是数学理解的最高层次，是创新能力形成的思维之道。课堂教学，应让学生经历新知的形成过程，在分析与综合、归纳与概括中，经历概念的抽象过程，提升数学抽象、直观想象等数学核心素养;在尝试与探索、猜想与论证中，经历定理、法则和公式的推理过程，提升逻辑推理、数学运算等数学核心素养。通过抽象和推理等基本思想的渗透，向学生展示思维之道，解决学生“怎么想”“怎么想到”的问题，提升学生数学理解的层次，培养学生的创新能力。
本节课中，让学生自己任意选择两个（或三个）有理数，探究加法交换律（或结合律）是否仍然适用;通过“举例举不尽如何处理”的矛盾冲突，引导学生学习归纳概括，体会用字母表示数的一般性和简明性;再通过“几组有理数能否说明加法交换律（或结合律）在有理数范围内仍然适用”的矛盾冲突，引导学生感受推理论证的必要性，体会数学学科的严谨性;最后通过对有理数加法运算律探究过程的回顾反思，引导感悟“从特殊到一般”“先猜想再论证”的科学研究的基本思想方法，促进学生创新能力的提升。
（三）经历新知应用过程，落实模型和推理基本思想，培养应用意识
学生提升数学核心素养的过程是不断发现和提出问题、不断分析和解决问题的过程，其中既包括学习数学的过程，也包括应用数学的过程。《2011年版课程标准》指出：“应用意识有两個方面的含义：一方面，有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题;另一方面，认识到现实生活中蕴含大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。”课堂教学，应让学生经历新知的应用过程。应用所学知识解决数学内部问题，落实推理的基本思想，培育逻辑推理、数学运算等素养;应用所学知识解决生活实际问题，落实模型的基本思想，培育数学建模、数据分析等素养。
本节课中，让学生尝试运用有理数加法运算律进行多个有理数的加法运算，并引导学生分析算式结构特征，规划运算路径，反思运算依据，有利于学生数学运算素养的形成;补充玩具赛车直线运动的实际问题，引导学生经历应用数学知识解决实际问题的一般过程，特别是实际问题数学化和数学解答实际化的过程，有利于学生数学建模素养的形成，培养了学生的应用意识。
参考文献：
[1] 石树伟.落实“三个理解”，提升“教学自然”[J].中小学教师培训，2016（4）.
[2] 伍鸿熙.数学家讲解小学数学[M].赵洁，林开亮，译.北京：北京大学出版社，2016.
关键词：素养资源 家常课 厚重 《有理数加法运算律》
数学教学中有许多重点课题、难点课题，经过合力打磨、精雕细琢，可以成为亮点纷呈、高潮迭起的经典课例，但更多的是平淡的家常课——教学内容一般比较“单薄”。家常课要上好不容易。当前，许多教师在家常课中缺少对教材和教学内容的深入研究和思考，要么把新授内容教得寡淡无味，要么在快速讲授新授内容后靠题型归类训练或大量的高难度训练来增加所谓的“数学味”。如何避免这一现象，让家常课变“单薄”为“厚重”？笔者结合教学实践对此进行了探索、思考，并尝试提炼、总结了一些可借鉴的经验（做法）。下面以苏科版初中数学七年级上册《有理数加法运算律》一课为例进行说明。
一、教学设计简述
（一）问题导入
创设情境：前面我们学习了两个有理数加法的运算法则，那么三个及以上，也就是多个有理数相加如何运算呢？尝试计算：（-2.36）+837+（-5.64）。
前面的问题是一个引导性问题，学生无须回答。后面的问题，学生要在尝试思考的基础上，汇报计算过程并说明运算依据：加法交换律和加法结合律。
追问：大家对刚才的计算过程有问题吗？有什么问题？
对于学生来说，加法交换律和加法结合律是小学阶段学习的、运用于非负数范围的加法运算律。现在数系扩张到了有理数范围，所以引导学生主动提出问题：小学学过的加法交换律和加法结合律在有理数范围内还适用吗？
从而揭示本课课题，并且强调：为了解决多个有理数的加法运算问题，必须解决加法运算律在数系扩张后是否仍然适用的问题。
（二）自主探究
1.探究加法交换律在有理数范围内是否仍然适用。
问题1：自己选择两个有理数（至少有一个是负数），探究加法交换律是否仍然适用，写出你得到的关系式。再换几组有理数试一试。
学生独立尝试探究。教师选择部分学生汇报交流，并且板书部分探究结果，如5+（-3）=（-3）+5。
问题2：这样的等式举例举得尽吗？（预设：举不尽。）举不尽怎么办？（预设：用字母a、b表示。）这里的a、b可以表示哪些数？
逐步出示问题2，引导学生主动用字母表示加法交换律a+b=b+a，感悟字母表示数的一般性和简洁性。
问题3：通过几组有理数就能说明加法交换律在有理数范围内仍然适用吗？（预设：不能。）还需要做什么工作？（预设：一般化推理论证。）你能说明其合理性吗？
逐步出示问题3，引导学生认识到不完全归纳得到的猜想结论需要经过推理论证才能成为一个正确的定理法则。当然，有理数加法交换律的严格证明很复杂。对此，可以引导学生运用有理数加法法则说明其合理性：无论同号相加，还是异号相加，抑或一个数与零相加，其结果的符号和绝对值均与加数的位置无关。或者从几何直观的角度，将有理数加法理解成线段拼接，从而说明交换律的合理性。由此，强化学生对有理数加法交换律的接受程度。
2.探究加法结合律在有理数范围内是否仍然适用。
类似地，引导学生探究加法结合律在有理数范围内是否仍然适用。有理数加法结合律的严格证明同样很复杂。对此，可以引导学生运用有理数加法交换律说明其合理性：三个数相加，按照同级运算从左向右的运算顺序，先把前两个数相加;先把后两个数相加相当于运用有理数加法交换律把后两个数交换到前面。由此，强化学生对有理数加法结合律的接受程度。
反思小结：我们是如何探究有理数加法运算律的？
引导学生回顾有理数加法运算律的探究过程，体会“从特殊到一般”“先猜想再论证”的科学研究的基本思想方法。
（三）尝试运用
例题示范：（教材第33页例2）计算——（1） （-23）+（+58）+（-17）;（2） （-2.8）+（-3.6）+（-1.5）+3.6;（3） 1/6+（-2/7）+（-5/6）+（+5/7）。
引导学生分析算式结构特征，规划运算路径，反思运算依据。然后，做好板书示范。
反思小结：通过例题的尝试运用，你对多个有理数的加法运算有什么体会和经验？
引导学生回顾例题的运算过程，体会有理数加法运算律简化运算的作用，小结有理数加法运算律简化运算的经验：能得整数的先相加（凑整），互为相反数的先相加（凑零），同号的先相加（同号结合），同分母的先相加（同分母结合）。然后，请学生板演教材第34页“练一练”的六道练习题（具体过程省略）。
实践应用：小明遥控一辆玩具赛车，让它从A点出发，先向东行驶15m，再向西行驶25m，然后又向东行驶20m，再向西行驶35m，问：玩具赛车最后停在何处？
通过一些启发性问题，如“向东15m既有方向又有距离，如何用数学的语言表示？你想到了什么？”“停在何处需要知道哪几方面的信息？”等，引导学生将实际问题数学化;通过“-25m在实际问题中代表什么含义？”等问题，引导学生将数学问题的解阐释为实际问题的解。然后，通过投影结合引导分析，逐步呈现解题过程：
解：规定向东为正，行驶的距離为（+15）+（-25）+（+20）+（-35）=[（+15）+（+20）]+[（-25）+（-35）]=（+35）+（-60）=-25（m）。（数学化）
答：玩具赛车最后停在A点向西25m处。（阐释） 反思小结：刚才，我们是如何解决一个实际问题的？
引导学生反思小结解决实际问题的数学建模过程，得到图1。
（四）反思总结
问题1：今天我们主要研究了什么？它有什么用？怎么用？
引导学生回顾有理数加法运算律的内容和应用，落实知识与技能目标和数学运算素养。
问题2：我们是如何研究有理数加法运算律的？
引导学生回顾有理数加法运算律的探究过程，再次感悟“数学的发展源于应用的需要”和“从特殊到一般”“先猜想再论证”的科学研究的基本思想方法，落实数学抽象和逻辑推理素养。
二、教学立意阐释
课程标准和教材安排的每一个数学教学内容都是有价值、有意义的，它的引入、形成、应用过程都是素养培育的载体。在当前落实“立德树人”根本任务的背景下，挖掘数学教学内容蕴含的素养资源，充分发挥数学教育的育人功能，提升学生跨学科素养和数学素养，是家常课变“单薄”为“厚重”的重要途径。
教材对本节课的编排是先通过实例验证加法运算律在有理数范围内仍然适用（“做一做”），再运用加法运算律进行有理数加法运算（例2和“练一练”）。看上去，教材内容少而简单。实际上，有理数加法运算律问题的提出、有理数加法运算律的获得和运用的过程，蕴含了丰富的素养资源，内容不少也不简单。
（一）经历新知引入过程，提升发现和提出问题能力，培养创新意识
“发明千千万，起点在一问。”《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《2011年版课程标准》）指出：“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础。”课堂教学，应让学生经历新知的引入过程，或在解决生活实际问题的需要中，或在研究其他学科问题的需要中，或在突破数学内部发展的需要中，自主发现和提出问题，从而提出研究课题，揭示学习主题。这样，有利于解决学生“为什么要学习本节课内容”“怎么想到研究本节课内容”的问题，提升学生学习的内驱力，培养学生的创新意识。
本节课中，有理数加法运算从加法法则的两个加数拓展到多个加数，体现了数学知识发生、发展的逻辑线索。从学生无意识地运用加法运算律尝试多个有理数的加法运算，引导学生认识加法运算律学习的必要性，主动思考尝试运算中不够严谨的地方，从而自主提出本节课的研究问题：小学学过的加法交换律和结合律在有理数范围内还适用吗？这样的设计在“如何使学生想到”上下了较多的功夫，力求通过问题情境，使学生自主发现和提出问题成为必然，而不是“撞大运”，真正落实了创新意识的培养。
（二）经历新知形成过程，渗透抽象和推理基本思想，培养创新能力
《2011年版课程标准》指出：“独立思考、学会思考是创新的核心;归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。”傅种孙先生曾经说过：“几何之务不在知其然，而在知其所以然;不在知其然，而在知何由以知其所以然。”这说明数学理解有三个递进的层次：知其然→知其所以然→知何由以知其所以然。“知道怎么想”是数学理解的最高层次，是创新能力形成的思维之道。课堂教学，应让学生经历新知的形成过程，在分析与综合、归纳与概括中，经历概念的抽象过程，提升数学抽象、直观想象等数学核心素养;在尝试与探索、猜想与论证中，经历定理、法则和公式的推理过程，提升逻辑推理、数学运算等数学核心素养。通过抽象和推理等基本思想的渗透，向学生展示思维之道，解决学生“怎么想”“怎么想到”的问题，提升学生数学理解的层次，培养学生的创新能力。
本节课中，让学生自己任意选择两个（或三个）有理数，探究加法交换律（或结合律）是否仍然适用;通过“举例举不尽如何处理”的矛盾冲突，引导学生学习归纳概括，体会用字母表示数的一般性和简明性;再通过“几组有理数能否说明加法交换律（或结合律）在有理数范围内仍然适用”的矛盾冲突，引导学生感受推理论证的必要性，体会数学学科的严谨性;最后通过对有理数加法运算律探究过程的回顾反思，引导感悟“从特殊到一般”“先猜想再论证”的科学研究的基本思想方法，促进学生创新能力的提升。
（三）经历新知应用过程，落实模型和推理基本思想，培养应用意识
学生提升数学核心素养的过程是不断发现和提出问题、不断分析和解决问题的过程，其中既包括学习数学的过程，也包括应用数学的过程。《2011年版课程标准》指出：“应用意识有两個方面的含义：一方面，有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题;另一方面，认识到现实生活中蕴含大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。”课堂教学，应让学生经历新知的应用过程。应用所学知识解决数学内部问题，落实推理的基本思想，培育逻辑推理、数学运算等素养;应用所学知识解决生活实际问题，落实模型的基本思想，培育数学建模、数据分析等素养。
本节课中，让学生尝试运用有理数加法运算律进行多个有理数的加法运算，并引导学生分析算式结构特征，规划运算路径，反思运算依据，有利于学生数学运算素养的形成;补充玩具赛车直线运动的实际问题，引导学生经历应用数学知识解决实际问题的一般过程，特别是实际问题数学化和数学解答实际化的过程，有利于学生数学建模素养的形成，培养了学生的应用意识。
参考文献：
[1] 石树伟.落实“三个理解”，提升“教学自然”[J].中小学教师培训，2016（4）.
[2] 伍鸿熙.数学家讲解小学数学[M].赵洁，林开亮，译.北京：北京大学出版社，2016.