近日，笔者在琢磨2005年全国高考题的时候，一不留神发现“2005年全国Ⅱ文理第16题”的答案有问题，现将理由简述如下，与大家共勉．
　　原题再现： 下面关于三棱锥的四个命题：
　　① 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
　　② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
　　③ 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
　　④ 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
　　其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号）
　　参考答案： ①④
　　事实上，①是错误的！只不过不容易发现而已！
　　常规理由： 顶点在底面的射影是内心，又底面是等边三角形，故为中心．
　　反驳理由： 事实上，三棱锥侧面与底面所成的二面角相等，顶点在底面内的射影可以是底面三角形的内心，也可以是旁心．
　　现证明如下：
　　 图1 如图1，在三棱锥S-ABC中，△ABC是等边三角形，顶点S在底面内的射影O是△ABC的一个旁心，⊙O与△ABC三边的切点分别为M、N，K
　　所以 OM⊥BC，
　　ON⊥AB， OK⊥AC
　　连结SM，SN，SK，则
　　SM⊥BC， SN⊥AB， SK⊥AC
　　所以 ∠SMO，∠SNO，∠SKO分别是三棱锥S-ABC各侧面与底面所成二面角的平面角
　　显然，Rt△SMO≌Rt△SNO≌Rt△SKO
　　所以 ∠SMO=∠SNO=∠SKO，即三棱锥S-ABC各侧面与底面所成二面角相等．
　　此时，显然三棱锥S-ABC不是正三棱锥！
　　说明：（1） 由“不共线三点确定一个平面．”知，此处将“侧面、底面”理解为“侧面、底面所在的平面”是没有问题的！
　　（2） 旁心是三角形旁切圆的圆心；是三角形两个外角平分线的交点；一个三角形有三个旁心．
　　补救措施： 将①表述为“底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角相等”， 且顶点在底面内的射影在底面三角形内 的三棱锥是正三棱锥！
　　引申问题： （1） 已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影；
　　1） 若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的二面角相等，且O在△ABC内，则O是△ABC的 ；
　　2） 若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的二面角相等，则O是△ABC的 ．
　　（2） 在空间中，到△ABC三边所在直线距离都相等的点的集合是（）
　　（A） 四条直线． （B） 三条直线．
　　（C） 二条直线． （D） 一条直线．
　　参考答案：（1） 1） 内心； 2） 内心或旁心．（2）A．
　　
　　注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文