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一、研究背景
由于“统计与概率”的广泛应用，导致当今各国都非常关注对教学内容“统计与概率”的改革.为了认识世界、理解世界，形成正确的世界观和方法论，学生必须学会处理各种信息，尤其是数据信息，这其中涉及的正是大量的与统计、概率有关的数学知识.因此，掌握基本的统计与概率知识已经成为信息时代每个公民的基本素养.
新课改实施以来，全国各地不同版本的数学教材相继问世，这其中大多数都是紧扣《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写的，但上海市根据城市发展需要和时代特点，独立制定课标、编写教材，由上海课程改革委员会制定了《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》.两种课标中有相同之处，也有不同之处，根据这两种课标编写的教材在内容、方式、顺序和素材选取方面也形成了自己的风格.另外，初中数学“统计与概率”部分内容虽然在初中数学中所占比例不重，但却颇受重视，这部分内容的学习目的是为学生后续学习以及今后的发展打下基础.
20世纪中期“新数学运动”之后，一些发达国家开始把包括“统计与概率”纳入到中小学教材中.20世纪70年代以来，西方教育家对统计与概率的研究成为热点问题. 从20世纪80年代开始，全球范围把“统计与概率”的初步知识作为数学素养的一部分引入小学到高中的课程中.其中澳大利亚、美国、新西兰等国家的课程改革建议：应该在学校教育的早期就让学生开始学习统计与概率.
从我国的数学教育历史来看，“统计与概率”纳入基础教育的过程是曲折的.从20世纪30年代的把“统计与概率”内容单独成章，作为必修内容，到50年代把中学教材中“统计与概率”相关内容删除，再到60年代的重回又退出教育舞台.1978年，教育部颁布的《全日制中学数学教学大纲（试行草案）》增加了“统计与概率”内容，但由于现实的种种困难因素以及应试教育的影响，一直没有引起人们真正的重视.直到教育部2001年3月颁布《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，才明确规定把“统计与概率”归入九年义务教育，让它成为和“数与代数”、“图形与几何”并列的三大数学模块.
国内的教材比较研究，多是选择按《义务教育数学课程标准》要求编写的两种教材进行比较，鲜有对这两种不同课程标准下编写的课标教材进行比较研究.基于此，研究选用人民教育出版社编写的教材（以下简称“人教版”）和上海教育出版社出版的教材（以下简称“上教版”）7～9年级数学教材中“统计与概率”部分内容的难度进行比较研究，以期为教材研究和教材编写提供参考.
二、研究过程
（一）课程难度的刻画
研究采用了史宁中教授建立的课程难度模型[1]，对两版本教材统计与概率课程难度进行比较.该模型认为，影响课程难度的诸多因素中，至少应该包含课程广度、课程深度、课程时间等三个基本要素.
课程广度，研究以该内容学习的知识点数量来衡量课程广度.
课程时间，研究以课标要求的时间来衡量.
课程深度，研究以目标要求的程度来刻画课程深度，见表1.
通过给目标动词赋值的办法，研究按表1规则，进行两种课标教材的课程深度计算.
表1 课程深度赋值
研究用N来表示课程难度，用S表示课程深度，用G表示课程广度，用T表示课程时间，课程难度用关系式：N=+（0<α<1，一般情况下取α=0.5）来刻画课程的难度.其中α被称为加权系数，满足单位时间的课程深度和单位时间的课程广度分别称之为“可比深度”和“可比广度”.那么，课程难度N就可以用可比深度和可比广度的加权平均值来衡量.虽然有学者对策提出异议[2]，如不应以知识点来确定课程的广度，而应代之以“三维目标”，但由于过程与方法，情感、态度和价值观不利于量化，而且“三维目标”本身也包含对知识的要求，故研究仍采用知识点的数量来刻画课程的广度.
（二）研究对象
研究对象选择按照两种不同课标编写的教材，其中，按《义务教育数学课程标准》编写的教材选择人民教育出版社的初中数学教材，按《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》编写的教材上海教育出版社出版的7～9年级数学教材.人教版7～9年级“统计与概率”内容出现在三本教科书中，七年级上册、八年级下册和九年级上册;上教版7～9年级“统计与概率”内容仅出现在两本教材中，包括八年级下册、九年义九年级下册.
两种不同版本的课标教材分别在以上每册教材中均出现一章“统计与概率”内容.
（三）研究方法
研究分别对人教版和上教版两种不同课标教材的课程广度、课程深度、课程时间等三个基本要素进行定量统计分析，统计相关数据，再根据史宁中教授等提出的课程难度模型，计算出两种不同课标教材的统计与概率内容的课程难度.
三、研究结果
（一）课程时间
人教版在课程时间安排上：“数据的搜集和描述”为9课时，“数据的分析”为14课时，“概率初步”设置为14课时，即统计部分的课时总设置为23课时.概率部分的总课时设置为14课时，“统计与概率”部分总课时为37课时，因此取T1=37;上教版在“概率初步”安排8课时，“统计初步”设置为15课时，“统计与概率”总课时为23课时，因此T2=23.
（二）课程广度
表2 知识点比较
从表2可以看出，人教版中“统计与概率”部分合计24个知识点，即课程广度G1=24.上教版中“统计与概率”部分合计28个知识点，即课程广度G2=28.
从表2也可看出，人教版知识学习的数量相对少些，其中四个知识点在上教版教材中没有出现;而上教版教材中有8个知识点在人教版教材中没有出现.两种不同的课标教材共有的知识点有20个.这表明两种不同的课标教材的课程内容在聚合化趋向下又各有特色. （三）课程深度
基于表1标准，两种版本中相应知识点的课程深度值分别如表3.
表3 两种版本中知识点难度
根据表3，可以看出人教版教材对7～9年级“统计与概率”部分的要求相对不高.人教版“统计与概率”内容总计有24个知识点，赋值为1的知识点有3个，赋值为2的知识点有21个.由此，可计算出该版本教材的课程深度：S1==1.75.
同理，可计算上教版“统计与概率”部分的课程深度为S2==2.
从课程深度来看，研究发现人教版7～9年级数学教材对“统计与概率”部分的要求一般都是了解、知道、认识、经历（感受）和理解、会求、能、体验（体会），没有要求掌握、灵活应用或探索的知识.而上教版7～9年级数学教材对“统计与概率”部分的要求是以理解、会求、能或体验（体会）为主.从这一点我们可以发现，在某些相同的知识点上，上教版教材比人教版要求高.如条形图、折线图、扇形图等知识，在人教版中理解、会求等目标要求，而在上教版中是掌握、灵活运用等要求.
（四）课程难度
研究根据史宁中教授提出的课程难度模型，计算结果见表4.
表4 两版本7～9年级统计与概率课程难度
根据公式N=+，再代入相应数据，就可以得到两个版本教科书中“统计与概率”知识的课程难度.其中，人教版“统计与概率”课程难度为：
N1=+，取α=0.5，代入数据计算得N1=0.0235+0.324=0.3475.
同理，可计算上教版“统计与概率”的课程难度：N2=0.6520.
四、结论和讨论
（一）上教版“统计与概率”内容的课程难度高于人教版，但课程难度可以通过学习方式的改变进行合理削减
由表4可知，两种不同的课标教材“统计与概率”的课程难度方面，“上教版”的课程难度几乎是人教版的2倍，远高于“人教版”教材.可能的原因在于人教版教材分三章讲解了“统计与概率”的知识，而上教版用两章讲述了这部分知识.在课时设置上，人教版要远远多于上教版（人教版37课时，上教版23课时）.另一方面，《义务教育数学课程标准（2011版）》要求7～9年级学习的“统计与概率”内容比《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》少（人教版要求学习的知识点24个，上教版是28个），并且要求相对要低（见表3）.但课程难度并非完全决定学生的学习效果，“只要利用必要的工具和信息资源，创设有利于学生主动建构的环境，即可帮助学生顺利完成知识建构”[3].因此，课程广度、课程深度和课程时间也可以通过合理的学习方式来进行适宜的变通，从而使得学生乐学、好学，学习效果也更有效率.
为此，两种课标教材都注重教学的实践环节，在实践中都强调直观、操作和实验，重视调查研究，以及观察、实验和操作等寓教于乐的学习方式，让学生通过动手、动脑相结合，感受数学“再创造”的过程，进而“激发起学生的自主学习的积极性和潜力”以及“让传统课堂不断向日常生活和社会延伸，为培养学生创新思维和实践能力提供广阔空间”[4].
（二）人教版和上教版“统计与概率”内容各有特色，体现在课程广度和课程深度上要求的侧重点不尽相同
两种不同版本的课标教材在“统计与概率”内容上，共同的知识点有20个，合计学习的知识并集有32个知识点.这表明两种不同的课标教材在对该内容的学习要求上，既具有同质化倾向，也具有个性化特征.
另一方面，上教版“统计与概率”课程难度总体水平远高于人教版，但人教版课程难度并没有完全“镶嵌”于上教版.在具体内容学习上，两种版本的教材知识点处理上侧重点却各有千秋.如上教版统计方面没有关于简单随机抽样的要求，对于样本和总体的关系及通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差的要求也没有相关说明.而人教版在此基础上还多了推断的过程.但上教版教材要求对概率知识的高度理解，即要在具体情境或实例中体验等可能事件的概率或古典概型，而人教版教材没有.相对于人教版而言，上教版对概率知识的应用要求较高，诸如能按照指定概率大小的要求，找到相应的等可能事件或能设计符合要求的方案等等，但对统计内容的要求强调基础，注重实际应用.
当然，研究仅仅是对两种不同版本的课标教材进行文本静态的课程难度比较，在具体学习的过程中，学生的学习效果还受教室环境、班级文化、教学方式及人数多少等多种因素的影响，课程难度只是这些影响因素之一.如帮助学生“获得知识经验，推动思考以及获得肯定和表扬”[5]，也许可以有效削减课程难度对学生学习的不利影响.但需要进一步思考的是，课程难度是如何影响学生的学业负担的？影响的程度如何？如何刻画这两者关系？
参考文献：
[1] 史宁中，孔凡哲，李淑文.课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比[J].东北师范大学学报（哲学社会科学版），2005（6）：151-155.
[2] 李高峰.课程难度模型运用中的偏差及其修正——与史宁中教授等商榷[J].上海教育科研，2010（3）：46-49.
[3] 宁连华，涂荣豹.利用数学是常识的精微化指导数学教与学[J].数学教育学报，200110（1）：25.
[4] 朱龙，胡典顺，汪钰雯.中美数学基础教育的比较及启示[J].数学教育学报，2013，22（6）：52-57.
[5] 邝孔秀，刘芳.初中数学课堂有效教学的认知差异与实践策略——基于个案的研究[J].数学教育学报，2013，22（6）：12-15.
由于“统计与概率”的广泛应用，导致当今各国都非常关注对教学内容“统计与概率”的改革.为了认识世界、理解世界，形成正确的世界观和方法论，学生必须学会处理各种信息，尤其是数据信息，这其中涉及的正是大量的与统计、概率有关的数学知识.因此，掌握基本的统计与概率知识已经成为信息时代每个公民的基本素养.
新课改实施以来，全国各地不同版本的数学教材相继问世，这其中大多数都是紧扣《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写的，但上海市根据城市发展需要和时代特点，独立制定课标、编写教材，由上海课程改革委员会制定了《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》.两种课标中有相同之处，也有不同之处，根据这两种课标编写的教材在内容、方式、顺序和素材选取方面也形成了自己的风格.另外，初中数学“统计与概率”部分内容虽然在初中数学中所占比例不重，但却颇受重视，这部分内容的学习目的是为学生后续学习以及今后的发展打下基础.
20世纪中期“新数学运动”之后，一些发达国家开始把包括“统计与概率”纳入到中小学教材中.20世纪70年代以来，西方教育家对统计与概率的研究成为热点问题. 从20世纪80年代开始，全球范围把“统计与概率”的初步知识作为数学素养的一部分引入小学到高中的课程中.其中澳大利亚、美国、新西兰等国家的课程改革建议：应该在学校教育的早期就让学生开始学习统计与概率.
从我国的数学教育历史来看，“统计与概率”纳入基础教育的过程是曲折的.从20世纪30年代的把“统计与概率”内容单独成章，作为必修内容，到50年代把中学教材中“统计与概率”相关内容删除，再到60年代的重回又退出教育舞台.1978年，教育部颁布的《全日制中学数学教学大纲（试行草案）》增加了“统计与概率”内容，但由于现实的种种困难因素以及应试教育的影响，一直没有引起人们真正的重视.直到教育部2001年3月颁布《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，才明确规定把“统计与概率”归入九年义务教育，让它成为和“数与代数”、“图形与几何”并列的三大数学模块.
国内的教材比较研究，多是选择按《义务教育数学课程标准》要求编写的两种教材进行比较，鲜有对这两种不同课程标准下编写的课标教材进行比较研究.基于此，研究选用人民教育出版社编写的教材（以下简称“人教版”）和上海教育出版社出版的教材（以下简称“上教版”）7～9年级数学教材中“统计与概率”部分内容的难度进行比较研究，以期为教材研究和教材编写提供参考.
二、研究过程
（一）课程难度的刻画
研究采用了史宁中教授建立的课程难度模型[1]，对两版本教材统计与概率课程难度进行比较.该模型认为，影响课程难度的诸多因素中，至少应该包含课程广度、课程深度、课程时间等三个基本要素.
课程广度，研究以该内容学习的知识点数量来衡量课程广度.
课程时间，研究以课标要求的时间来衡量.
课程深度，研究以目标要求的程度来刻画课程深度，见表1.
通过给目标动词赋值的办法，研究按表1规则，进行两种课标教材的课程深度计算.
表1 课程深度赋值
研究用N来表示课程难度，用S表示课程深度，用G表示课程广度，用T表示课程时间，课程难度用关系式：N=+（0<α<1，一般情况下取α=0.5）来刻画课程的难度.其中α被称为加权系数，满足单位时间的课程深度和单位时间的课程广度分别称之为“可比深度”和“可比广度”.那么，课程难度N就可以用可比深度和可比广度的加权平均值来衡量.虽然有学者对策提出异议[2]，如不应以知识点来确定课程的广度，而应代之以“三维目标”，但由于过程与方法，情感、态度和价值观不利于量化，而且“三维目标”本身也包含对知识的要求，故研究仍采用知识点的数量来刻画课程的广度.
（二）研究对象
研究对象选择按照两种不同课标编写的教材，其中，按《义务教育数学课程标准》编写的教材选择人民教育出版社的初中数学教材，按《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》编写的教材上海教育出版社出版的7～9年级数学教材.人教版7～9年级“统计与概率”内容出现在三本教科书中，七年级上册、八年级下册和九年级上册;上教版7～9年级“统计与概率”内容仅出现在两本教材中，包括八年级下册、九年义九年级下册.
两种不同版本的课标教材分别在以上每册教材中均出现一章“统计与概率”内容.
（三）研究方法
研究分别对人教版和上教版两种不同课标教材的课程广度、课程深度、课程时间等三个基本要素进行定量统计分析，统计相关数据，再根据史宁中教授等提出的课程难度模型，计算出两种不同课标教材的统计与概率内容的课程难度.
三、研究结果
（一）课程时间
人教版在课程时间安排上：“数据的搜集和描述”为9课时，“数据的分析”为14课时，“概率初步”设置为14课时，即统计部分的课时总设置为23课时.概率部分的总课时设置为14课时，“统计与概率”部分总课时为37课时，因此取T1=37;上教版在“概率初步”安排8课时，“统计初步”设置为15课时，“统计与概率”总课时为23课时，因此T2=23.
（二）课程广度
表2 知识点比较
从表2可以看出，人教版中“统计与概率”部分合计24个知识点，即课程广度G1=24.上教版中“统计与概率”部分合计28个知识点，即课程广度G2=28.
从表2也可看出，人教版知识学习的数量相对少些，其中四个知识点在上教版教材中没有出现;而上教版教材中有8个知识点在人教版教材中没有出现.两种不同的课标教材共有的知识点有20个.这表明两种不同的课标教材的课程内容在聚合化趋向下又各有特色. （三）课程深度
基于表1标准，两种版本中相应知识点的课程深度值分别如表3.
表3 两种版本中知识点难度
根据表3，可以看出人教版教材对7～9年级“统计与概率”部分的要求相对不高.人教版“统计与概率”内容总计有24个知识点，赋值为1的知识点有3个，赋值为2的知识点有21个.由此，可计算出该版本教材的课程深度：S1==1.75.
同理，可计算上教版“统计与概率”部分的课程深度为S2==2.
从课程深度来看，研究发现人教版7～9年级数学教材对“统计与概率”部分的要求一般都是了解、知道、认识、经历（感受）和理解、会求、能、体验（体会），没有要求掌握、灵活应用或探索的知识.而上教版7～9年级数学教材对“统计与概率”部分的要求是以理解、会求、能或体验（体会）为主.从这一点我们可以发现，在某些相同的知识点上，上教版教材比人教版要求高.如条形图、折线图、扇形图等知识，在人教版中理解、会求等目标要求，而在上教版中是掌握、灵活运用等要求.
（四）课程难度
研究根据史宁中教授提出的课程难度模型，计算结果见表4.
表4 两版本7～9年级统计与概率课程难度
根据公式N=+，再代入相应数据，就可以得到两个版本教科书中“统计与概率”知识的课程难度.其中，人教版“统计与概率”课程难度为：
N1=+，取α=0.5，代入数据计算得N1=0.0235+0.324=0.3475.
同理，可计算上教版“统计与概率”的课程难度：N2=0.6520.
四、结论和讨论
（一）上教版“统计与概率”内容的课程难度高于人教版，但课程难度可以通过学习方式的改变进行合理削减
由表4可知，两种不同的课标教材“统计与概率”的课程难度方面，“上教版”的课程难度几乎是人教版的2倍，远高于“人教版”教材.可能的原因在于人教版教材分三章讲解了“统计与概率”的知识，而上教版用两章讲述了这部分知识.在课时设置上，人教版要远远多于上教版（人教版37课时，上教版23课时）.另一方面，《义务教育数学课程标准（2011版）》要求7～9年级学习的“统计与概率”内容比《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》少（人教版要求学习的知识点24个，上教版是28个），并且要求相对要低（见表3）.但课程难度并非完全决定学生的学习效果，“只要利用必要的工具和信息资源，创设有利于学生主动建构的环境，即可帮助学生顺利完成知识建构”[3].因此，课程广度、课程深度和课程时间也可以通过合理的学习方式来进行适宜的变通，从而使得学生乐学、好学，学习效果也更有效率.
为此，两种课标教材都注重教学的实践环节，在实践中都强调直观、操作和实验，重视调查研究，以及观察、实验和操作等寓教于乐的学习方式，让学生通过动手、动脑相结合，感受数学“再创造”的过程，进而“激发起学生的自主学习的积极性和潜力”以及“让传统课堂不断向日常生活和社会延伸，为培养学生创新思维和实践能力提供广阔空间”[4].
（二）人教版和上教版“统计与概率”内容各有特色，体现在课程广度和课程深度上要求的侧重点不尽相同
两种不同版本的课标教材在“统计与概率”内容上，共同的知识点有20个，合计学习的知识并集有32个知识点.这表明两种不同的课标教材在对该内容的学习要求上，既具有同质化倾向，也具有个性化特征.
另一方面，上教版“统计与概率”课程难度总体水平远高于人教版，但人教版课程难度并没有完全“镶嵌”于上教版.在具体内容学习上，两种版本的教材知识点处理上侧重点却各有千秋.如上教版统计方面没有关于简单随机抽样的要求，对于样本和总体的关系及通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差的要求也没有相关说明.而人教版在此基础上还多了推断的过程.但上教版教材要求对概率知识的高度理解，即要在具体情境或实例中体验等可能事件的概率或古典概型，而人教版教材没有.相对于人教版而言，上教版对概率知识的应用要求较高，诸如能按照指定概率大小的要求，找到相应的等可能事件或能设计符合要求的方案等等，但对统计内容的要求强调基础，注重实际应用.
当然，研究仅仅是对两种不同版本的课标教材进行文本静态的课程难度比较，在具体学习的过程中，学生的学习效果还受教室环境、班级文化、教学方式及人数多少等多种因素的影响，课程难度只是这些影响因素之一.如帮助学生“获得知识经验，推动思考以及获得肯定和表扬”[5]，也许可以有效削减课程难度对学生学习的不利影响.但需要进一步思考的是，课程难度是如何影响学生的学业负担的？影响的程度如何？如何刻画这两者关系？
参考文献：
[1] 史宁中，孔凡哲，李淑文.课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比[J].东北师范大学学报（哲学社会科学版），2005（6）：151-155.
[2] 李高峰.课程难度模型运用中的偏差及其修正——与史宁中教授等商榷[J].上海教育科研，2010（3）：46-49.
[3] 宁连华，涂荣豹.利用数学是常识的精微化指导数学教与学[J].数学教育学报，200110（1）：25.
[4] 朱龙，胡典顺，汪钰雯.中美数学基础教育的比较及启示[J].数学教育学报，2013，22（6）：52-57.
[5] 邝孔秀，刘芳.初中数学课堂有效教学的认知差异与实践策略——基于个案的研究[J].数学教育学报，2013，22（6）：12-15.