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【摘要】一题多解不仅能揭示不同解题方法之间的内在联系与区别，还可以启发和引导学生发散思维，培养学生对数学的兴趣和欣赏能力，最终提高学生的数学能力.本文给出了一道三角函数有理式不定积分的几种解法：万能代换法t=tanx2、万能代换变形法t=cotx2、三角代换法（t=cos x或t=2 cos x或t=1 cos x）、将被积函数部分分式分解法、使用数学软件Matlab直接积分法，从而展示一题多解在不定积分求解中的应用.
【关键词】一题多解;不定积分;三角函数有理式
不定积分是数学分析课程的核心内容之一.求解不定积分的方法有很多，如基本积分公式表、第一换元积分法（凑微分法）、第二换元积分法（变量代换法）、分部积分法、有理函数的不定积分法（将有理函数进行部分分式分解，然后求各个部分分式的不定积分）等.但有一类函数的不定积分（三角函数有理式的不定积分）求解方法比较灵活多变，初学者难以掌握.本文以几种方法（万能代换法t=tanx2、万能代换变形法t=cotx2、三角代换法（t=cos x或t=2 cos x或t=1 cos x）、将被积函数部分分式分解法、使用数学软件Matlab直接积分法）求解同一道三角函数有理式的不定积分为例，展示一题多解在不定积分求解中的应用.其目的：一是启发、引导学生发散思考，二是培养学生自主探究问题的能力，从而使学生能够感悟数学的魅力，培养学生对数学的兴趣和欣赏能力，最终提高学生的数学能力.
例 求不定积分∫dx（2 cos x）sin x.
分析 不同类型的不定积分一般都有基本的积分方法.对于三角函数有理式的不定积分，基本的积分方法是万能代换公式法.下面的解法1利用万能代换公式t=tanx2求解.
解法1 令t=tanx2，则sin x=2t1 t2，cos x=1-t21 t2，dx=21 t2dt.
∫dx（2 cos x）sin x
=∫21 t2dt2 1-t21 t22t1 t2
=∫1 t2t（3 t2）dt
=∫13·1t 23·13 t2dt
=13lnt 239arctant3 C
=13lntanx2 239arctantanx23 C.
分析 因为正切（tan）和余切（cot）互为倒数，解法1令t=tanx2，所以可以考虑令t=cotx2.下面给出解法2.
解法2 令t=cotx2，则sin x=2t1 t2，cos x=t2-1t2 1，dx=-21 t2dt.
∫dx（2 cos x）sin x
=∫-21 t2dt2 t2-1t2 12t1 t2
=-∫1 t2t（3t2 1）dt
=-∫1t -2t3t2 1dt
=-∫1tdt 13∫13t2 1d（3t2 1）
=-lnt 13ln3t2 1 C
=-lncotx2 13ln3cot2x2 1 C.
注 解法1、解法2分别使用代换公式t=tan x2与t=cot x2，将三角有理函数的不定积分问题转化为普通有理函数的不定积分问题，再使用待定系数法，将普通有理函数的不定积分问题转化为能直接套积分公式或可以使用换元积分法、分部积分法求解的不定积分问题.但此过程烦杂，计算量大，容易出现错误.
分析 因为sin x和cos x在微积分的运算中具有比较好的互逆性，且sin2x cos2x=1， 所以下面的解法3、解法4、解法5采用了第二换元积分法中的三角代换法（t=cos x或t=2 cos x或t=1 cos x）及公式sin2x cos2x=1，巧妙地达到了化简被积表达式的目的.
解法3 令t=cos x，则dt=-sin xdx.
∫dx（2 cos x）sin x=∫1（2 t）sin x·dt-sin x
=-∫1（2 t）（1-t2）dt
=∫13·12 t-12·11 t-16·11-tdt
=13ln2 t-12ln1 t 16ln1-t C
=13ln2 cos x-12ln1 cos x
16ln1-cos x C.
解法4 令t=2 cos x，则dt=-sin xdx.
∫1（2 cos x）sin xdx
=∫1tsin x-dtsin x
=-∫1t[1-（t-2）2]dt=∫1t（t2-4t 3）dt
=∫13·1t-12·1t-1 16·1t-3dt
=13lnt-12lnt-1 16lnt-3 C
=13ln2 cos x-12ln1 cos x
16lncos x-1 C.
解法5 令t=a cos x（a∈R），则dt=-sin xdx.
∫1（2 cos x）sin xdx
=∫1（t-a 2）sin x-dtsin x
=-∫1（t-a 2）[1-（t-a）2]dt
=∫1（t-a 2）（t-a-1）（t-a 1）dt
=∫13·1t-a 2 16·1t-a-1-12·1t-a 1dt
=13lnt-a 2 16lnt-a-1-12lnt-a 1 C
=13ln2 cos x-12ln1 cos x
16lncos x-1 C.
注 解法3、解法4、解法5直接使用了第二換元积分法，并巧妙地使用了sin2x cos2x=1，将被积表达式进行了化简，将三角有理函数的不定积分问题转化为普通有理函数的不定积分问题，再使用待定系数法，将普通有理函数的不定积分问题转化为能直接套积分公式或可以使用换元积分法、分部积分法求解的不定积分问题. 分析 在积分学中，有理函数的不定积分最基本的解法是：将有理函数进行部分分式分解，然后求各个分式的不定积分.下面的解法6就直接想方设法把被积函数进行部分分式分解，然后求解各个分式的不定积分.
解法6 因为1（2 cos x）sin x=13-sin x2 cos x 2-cos xsin x=13-sin x2 cos x 2sin x-cos xsin x，
所以
∫dx（2 cos x）sin x
=13∫-sin x2 cos x 2sin x-cos xsin xdx
=13∫12 cos xd（2 cos x） 2∫csc xd x-∫1sin xdsin x
=13ln2 cos x 2lncsc x-cot x-lnsin x C.
分析 三角函数有理式不定积分的求解方法灵活多样，Matlab软件在求解积分方面有很大的优势.下面利用Matlab求解本题.
解法7
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【关键词】一题多解;不定积分;三角函数有理式
不定积分是数学分析课程的核心内容之一.求解不定积分的方法有很多，如基本积分公式表、第一换元积分法（凑微分法）、第二换元积分法（变量代换法）、分部积分法、有理函数的不定积分法（将有理函数进行部分分式分解，然后求各个部分分式的不定积分）等.但有一类函数的不定积分（三角函数有理式的不定积分）求解方法比较灵活多变，初学者难以掌握.本文以几种方法（万能代换法t=tanx2、万能代换变形法t=cotx2、三角代换法（t=cos x或t=2 cos x或t=1 cos x）、将被积函数部分分式分解法、使用数学软件Matlab直接积分法）求解同一道三角函数有理式的不定积分为例，展示一题多解在不定积分求解中的应用.其目的：一是启发、引导学生发散思考，二是培养学生自主探究问题的能力，从而使学生能够感悟数学的魅力，培养学生对数学的兴趣和欣赏能力，最终提高学生的数学能力.
例 求不定积分∫dx（2 cos x）sin x.
分析 不同类型的不定积分一般都有基本的积分方法.对于三角函数有理式的不定积分，基本的积分方法是万能代换公式法.下面的解法1利用万能代换公式t=tanx2求解.
解法1 令t=tanx2，则sin x=2t1 t2，cos x=1-t21 t2，dx=21 t2dt.
∫dx（2 cos x）sin x
=∫21 t2dt2 1-t21 t22t1 t2
=∫1 t2t（3 t2）dt
=∫13·1t 23·13 t2dt
=13lnt 239arctant3 C
=13lntanx2 239arctantanx23 C.
分析 因为正切（tan）和余切（cot）互为倒数，解法1令t=tanx2，所以可以考虑令t=cotx2.下面给出解法2.
解法2 令t=cotx2，则sin x=2t1 t2，cos x=t2-1t2 1，dx=-21 t2dt.
∫dx（2 cos x）sin x
=∫-21 t2dt2 t2-1t2 12t1 t2
=-∫1 t2t（3t2 1）dt
=-∫1t -2t3t2 1dt
=-∫1tdt 13∫13t2 1d（3t2 1）
=-lnt 13ln3t2 1 C
=-lncotx2 13ln3cot2x2 1 C.
注 解法1、解法2分别使用代换公式t=tan x2与t=cot x2，将三角有理函数的不定积分问题转化为普通有理函数的不定积分问题，再使用待定系数法，将普通有理函数的不定积分问题转化为能直接套积分公式或可以使用换元积分法、分部积分法求解的不定积分问题.但此过程烦杂，计算量大，容易出现错误.
分析 因为sin x和cos x在微积分的运算中具有比较好的互逆性，且sin2x cos2x=1， 所以下面的解法3、解法4、解法5采用了第二换元积分法中的三角代换法（t=cos x或t=2 cos x或t=1 cos x）及公式sin2x cos2x=1，巧妙地达到了化简被积表达式的目的.
解法3 令t=cos x，则dt=-sin xdx.
∫dx（2 cos x）sin x=∫1（2 t）sin x·dt-sin x
=-∫1（2 t）（1-t2）dt
=∫13·12 t-12·11 t-16·11-tdt
=13ln2 t-12ln1 t 16ln1-t C
=13ln2 cos x-12ln1 cos x
16ln1-cos x C.
解法4 令t=2 cos x，则dt=-sin xdx.
∫1（2 cos x）sin xdx
=∫1tsin x-dtsin x
=-∫1t[1-（t-2）2]dt=∫1t（t2-4t 3）dt
=∫13·1t-12·1t-1 16·1t-3dt
=13lnt-12lnt-1 16lnt-3 C
=13ln2 cos x-12ln1 cos x
16lncos x-1 C.
解法5 令t=a cos x（a∈R），则dt=-sin xdx.
∫1（2 cos x）sin xdx
=∫1（t-a 2）sin x-dtsin x
=-∫1（t-a 2）[1-（t-a）2]dt
=∫1（t-a 2）（t-a-1）（t-a 1）dt
=∫13·1t-a 2 16·1t-a-1-12·1t-a 1dt
=13lnt-a 2 16lnt-a-1-12lnt-a 1 C
=13ln2 cos x-12ln1 cos x
16lncos x-1 C.
注 解法3、解法4、解法5直接使用了第二換元积分法，并巧妙地使用了sin2x cos2x=1，将被积表达式进行了化简，将三角有理函数的不定积分问题转化为普通有理函数的不定积分问题，再使用待定系数法，将普通有理函数的不定积分问题转化为能直接套积分公式或可以使用换元积分法、分部积分法求解的不定积分问题. 分析 在积分学中，有理函数的不定积分最基本的解法是：将有理函数进行部分分式分解，然后求各个分式的不定积分.下面的解法6就直接想方设法把被积函数进行部分分式分解，然后求解各个分式的不定积分.
解法6 因为1（2 cos x）sin x=13-sin x2 cos x 2-cos xsin x=13-sin x2 cos x 2sin x-cos xsin x，
所以
∫dx（2 cos x）sin x
=13∫-sin x2 cos x 2sin x-cos xsin xdx
=13∫12 cos xd（2 cos x） 2∫csc xd x-∫1sin xdsin x
=13ln2 cos x 2lncsc x-cot x-lnsin x C.
分析 三角函数有理式不定积分的求解方法灵活多样，Matlab软件在求解积分方面有很大的优势.下面利用Matlab求解本题.
解法7
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