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摘 要：数学知识是一个完整的体系，而学习过程实际上是学习者建立一个相应的认知结构。学习数学，没有活跃的思维是不行的。
关键词:分析问题 思维空间 延伸
提高课堂教学效率是每位数学老师孜孜以求的,但是,你有没有认识到,在数学课堂教学中,激发与引导学生的思维是提高课堂效率的有效手段呢。学生的思维是怎样发生的?怎样才能使它持续发展呢?显然,学生的思维不是自然发生的,亚里士多得曾精辟地指出:“思维从问题、惊讶开始。”为了培养学生的思维能力,古今中外的教育家无不注重问题的设计。
本课题的研究目的就在于教师如何在数学课堂教学中精心创设问题情境,诱发学生思维的积极性;如何卓有成效的启发引导,促使学生思维活动持续发展。
老师在评讲数学问题的时候是切忌以题论题的,笔者在自己的教学实践中,对这样一个作图题是这样处理的。
问题:将下列长方形从如图所示的方式分割,第一次连接一对对边中点,第二次连接刚分割出的一个长方形的一对对边的中点,如此重复下去,第n次剩下的图形的面积是多少?你有没有其余的分割方法?试计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128的值。
拿到问题以后,我觉得教师要从以下几个方面做起。
一、分析问题的题意和方法
这一题分割的本质就是将其面积一半一半的重复分割下去,分割的次数我所剩图形的面积之间的关系式是什么呢?通过分析发现是1/2n的关系,这里要注意的是很多同学容易分析出1/2n的结果。把每次分割出的图形的面积相加,即可得到式子:1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128,下面就是设计式子的计算问题了,怎样计算这个式子的值呢,我觉得老师不要急于表达自己的见解,让学生自己去想,去思考,适当的时候还可以讨论。
从我课堂教学的实际中,就出现了由学生想出的许许多多的方法。所以问题分析完以后,教师要做的第二件事就是:
二、把思维的空间留给学生
怎样求式子:1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128的值呢?
首先有同学发言了,
学生一:因为1/2+1/4=3/4;
1/2+1/4+1/8=7/8;
1/2+1/4+1/8+1/16=15/16;
所以1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=127/128。
学生二:因为1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128表示前面n次分割的图形的面积的和,而这个面积就等于整个面积去减去最后一次剩下的图形的面积,而第n次分割的图形的面积又是1/27,所以1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=1-1/128=127/128。
学生三:因为(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128)+1/128
=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+(1/128+1/128)
=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+(1/64+1/64)
=1/2+1/4+1/8+1/16+(1/32+1/32)
=1/2+1/4+1/8+(1/16+1/16)
=••••••
=1/2+1/2
=1
所以1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=1-1/128=1/127。
学生四:1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128
=(1-1/2)+(1/2-1/4)+(1/4-1/8)+••••••+(1/64-1/128)
=1-1/2+1/2-1/4+1/4-1/8+••••••-1/64+1/64-1/128
=1-1/128
=127/128
三、把学生的解题方法进行解题策略上的归纳和适当的延伸
方法一是从特殊到一般的方法,一般地,很多探索规律题我们都可以采用特殊到一般的方法,例如n边形的内角和是多少度,除了分割三角形的方法,也可以用特殊值法,因为从特例来思考,三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,n边形的内角和等于其边数与3的差再去乘以180°,所以n边形的内角和等于180°(n-2)。
方法二我们可以称作逆向思维法,从这题出发,整个图形的面积与最后一次剩下的图形面积的差就是我们前面分割多次的和。讲的更浅显一些也就是一瓶酒第一次喝掉一半,第二次喝掉剩下的一半,如此重复下去,第n次剩下的酒是多少?前面(n-1)次一共喝掉了多少?已喝的酒不就是一共的酒减去最后一次剩下的酒吗?
方法三和方法四我们称之为补项法和拆项法,例如对下列式子的计算,我们通常就称之为拆项法:1/1×2+1/2×3+1/3×4+••••••+1/99×100
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+••••••+(1/99-1/100)
=(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+••••••+1/99-1/100
=1-1/100
=99/100
这样的方法,我们称之为拆项法,讲完方法以后,教师还可适当补充类型相仿的习题,让学生得到适当的练习。
你能否用上面的方法计算下列式子的值。
1/1×3+1/3×5+1/5×7+••••••+1/97×99
四、对于某些问题,教师不要做太高的要求,例如补充的最后一问,教师并没有必要一定要评讲,从分层教学的角度出发,教师完全可以把它作为一个兴趣题,让学有余力的同学去思考。
从一道作图题出发,我们不是去以题论题的,我们通过学生自己的研究,竟然归纳出了如此多种的数学解题方法和数学思想方法。数学是一门具有严谨的逻辑体系和较高抽象思维的学科。要提高学生的数学能力,不是朝夕之间的事情,教师要利用好数学的课堂,利用好课堂的核心—数学问题,只有这样才能切实提高课堂效率,提高学生的思维能力。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
关键词:分析问题 思维空间 延伸
提高课堂教学效率是每位数学老师孜孜以求的,但是,你有没有认识到,在数学课堂教学中,激发与引导学生的思维是提高课堂效率的有效手段呢。学生的思维是怎样发生的?怎样才能使它持续发展呢?显然,学生的思维不是自然发生的,亚里士多得曾精辟地指出:“思维从问题、惊讶开始。”为了培养学生的思维能力,古今中外的教育家无不注重问题的设计。
本课题的研究目的就在于教师如何在数学课堂教学中精心创设问题情境,诱发学生思维的积极性;如何卓有成效的启发引导,促使学生思维活动持续发展。
老师在评讲数学问题的时候是切忌以题论题的,笔者在自己的教学实践中,对这样一个作图题是这样处理的。
问题:将下列长方形从如图所示的方式分割,第一次连接一对对边中点,第二次连接刚分割出的一个长方形的一对对边的中点,如此重复下去,第n次剩下的图形的面积是多少?你有没有其余的分割方法?试计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128的值。
拿到问题以后,我觉得教师要从以下几个方面做起。
一、分析问题的题意和方法
这一题分割的本质就是将其面积一半一半的重复分割下去,分割的次数我所剩图形的面积之间的关系式是什么呢?通过分析发现是1/2n的关系,这里要注意的是很多同学容易分析出1/2n的结果。把每次分割出的图形的面积相加,即可得到式子:1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128,下面就是设计式子的计算问题了,怎样计算这个式子的值呢,我觉得老师不要急于表达自己的见解,让学生自己去想,去思考,适当的时候还可以讨论。
从我课堂教学的实际中,就出现了由学生想出的许许多多的方法。所以问题分析完以后,教师要做的第二件事就是:
二、把思维的空间留给学生
怎样求式子:1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128的值呢?
首先有同学发言了,
学生一:因为1/2+1/4=3/4;
1/2+1/4+1/8=7/8;
1/2+1/4+1/8+1/16=15/16;
所以1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=127/128。
学生二:因为1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128表示前面n次分割的图形的面积的和,而这个面积就等于整个面积去减去最后一次剩下的图形的面积,而第n次分割的图形的面积又是1/27,所以1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=1-1/128=127/128。
学生三:因为(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128)+1/128
=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+(1/128+1/128)
=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+(1/64+1/64)
=1/2+1/4+1/8+1/16+(1/32+1/32)
=1/2+1/4+1/8+(1/16+1/16)
=••••••
=1/2+1/2
=1
所以1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=1-1/128=1/127。
学生四:1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128
=(1-1/2)+(1/2-1/4)+(1/4-1/8)+••••••+(1/64-1/128)
=1-1/2+1/2-1/4+1/4-1/8+••••••-1/64+1/64-1/128
=1-1/128
=127/128
三、把学生的解题方法进行解题策略上的归纳和适当的延伸
方法一是从特殊到一般的方法,一般地,很多探索规律题我们都可以采用特殊到一般的方法,例如n边形的内角和是多少度,除了分割三角形的方法,也可以用特殊值法,因为从特例来思考,三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,n边形的内角和等于其边数与3的差再去乘以180°,所以n边形的内角和等于180°(n-2)。
方法二我们可以称作逆向思维法,从这题出发,整个图形的面积与最后一次剩下的图形面积的差就是我们前面分割多次的和。讲的更浅显一些也就是一瓶酒第一次喝掉一半,第二次喝掉剩下的一半,如此重复下去,第n次剩下的酒是多少?前面(n-1)次一共喝掉了多少?已喝的酒不就是一共的酒减去最后一次剩下的酒吗?
方法三和方法四我们称之为补项法和拆项法,例如对下列式子的计算,我们通常就称之为拆项法:1/1×2+1/2×3+1/3×4+••••••+1/99×100
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+••••••+(1/99-1/100)
=(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+••••••+1/99-1/100
=1-1/100
=99/100
这样的方法,我们称之为拆项法,讲完方法以后,教师还可适当补充类型相仿的习题,让学生得到适当的练习。
你能否用上面的方法计算下列式子的值。
1/1×3+1/3×5+1/5×7+••••••+1/97×99
四、对于某些问题,教师不要做太高的要求,例如补充的最后一问,教师并没有必要一定要评讲,从分层教学的角度出发,教师完全可以把它作为一个兴趣题,让学有余力的同学去思考。
从一道作图题出发,我们不是去以题论题的,我们通过学生自己的研究,竟然归纳出了如此多种的数学解题方法和数学思想方法。数学是一门具有严谨的逻辑体系和较高抽象思维的学科。要提高学生的数学能力,不是朝夕之间的事情,教师要利用好数学的课堂,利用好课堂的核心—数学问题,只有这样才能切实提高课堂效率,提高学生的思维能力。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文