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【摘 要】以苏教版六年级下册第二单元圆柱体积的教学为例，从学生学习和理解的角度，探索信息技术与数学学习相互融合的教学方式。通过操作展示再现认知起点，动画演示中感悟数学思想方法，质疑反思中发展高阶思维。
【关键词】动态演示;数学思想;高阶思维
《义务教育数学课程标准（2011 年版）》指出 ：“信息技术能向学生提供并展示多种类型的资料，包括文字、声音、图像等，并能灵活选择与呈现;可以创设、模拟多种与教学内容适应的情境;能为学生从事数学探究提供重要的工具;可以使得相距千里的个体展开面对面交流。信息技术是从根本上改变数学学习方式的重要途径之一，必须充分加以应用。”
数学课堂中经常采用“自主探究—小组交流—汇报展示”的学习方式，但在汇报环节有一些操作性的展示，让全班同学能够看得见，才能引起共鸣和思考;也有一部分学生对数学的思想方法理解总是有困难，比如极限思想，总是难以想像出越来越多，无限逼近会怎么样;也有一些数学操作需要的切、分、拼等过程很难实现精细化地平均分，更难实现对一个实物进行几十份、上百份的切分操作……建立起“信息技术—数学知识—学习方法”之间的联系显得尤为重要。变不可见为可见，变可见为精细化呈现，实现无障碍交流，化解数学学习难度，实现教有思想，学有深度的目的。
一、操作展示再现认知起点
数学学习的起点是学生已有的经验，包括已有的知识和生活的经验。找准了学习的起点，可以在学生学习遇到困难的时候“搭台阶”，帮助学生一级一级往上走;在学生有能力的时候“撤台阶”，让学生直面具有挑战性的问题。
我首次执教《圆柱的体积》是按照例题思路，直接切入思考等底等高的长方体、正方体和圆柱体积相等吗？学生很难想到把圆柱转化成长方体来计算。因此在另一个班再上时，我思考：圆柱的体积公式推导的认知起点是把圆形转化成长方形探究圆面积公式。所以课初始安排了转化的思想回顾复习，为本课迁移类推到圆柱体转化成长方体打好基础。学生在快拍仪投影下边演示圆平均分成16份，拼成近似的长方形，边讲述圆面积公式推导过程，唤醒已有的学习经验，为转化方法的迁移打好基础。
二、动态演示感知数学思想
小学阶段数学思想方法的渗透越来越受重视，但学生对数形结合思想、转化思想的学习和运用较多，极限思想还处于初步感知和体会阶段，理解有困难。极限思想是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。由于小学生年龄特点的限制，它们对抽象的、数量无限的事物难以把握，更容易把极限与无限混淆。在预习中学生就提出了如下的问题，根本原因是极限思想的缺乏。
学生的疑问通过学具演示平均分成16份，拼成近似的长方体是无法完全释疑的，而用圆柱体实物切分成更多的份数，操作的安全性和精确性都存在困难。此时借助动画演示平均分成16份、32份、64份……让学生充分感知平均分的份数越多时就越接近长方体，在比较中感悟什么是无限地逼近。释疑之后，才能认识到近似的长方体和圆柱的关系：1.拼成近似的长方体底面积等于圆柱底面积，高等于圆柱的高，体积等于圆柱的体积。2.长方体的长等于圆柱底面周长的一半，宽等于圆柱的半径。3.表面积变了，体积没变。4.圆柱体积等于底面积乘高。
在感知极限思想的基础上，经过观察、比较、分析抽象得出圆柱体体积=底面积×高，建立新的数学模型。数学模型是用数学的语言和方法对各种实际对象做出抽象或模仿而形成的一种数学结构。圆柱的体积公式也是一种数学模型，在模型建立的过程中，运用了转化思想、极限思想。
数学思想方法是以隐蔽的形式存在于知识学习中，圆柱体积公式的推导中动态展示了操作过程，在递增式平均分和拼的过程中引发对比思考，直观显示释疑解惑，发挥了信息技术变不可见为可见，变可见为精细化呈现的优势。
三、动态演示发展高阶思维
数学高阶思维的发展是学生数学核心素养生成的重要标志。知识的深度理解与批判建构都是高阶思维能力的一种表现，一个好的练习通过对多个问题的研究，让学生在质疑反思中发掘潜能，主动进行思考，直达问题的核心本质。在释疑解惑时常可以借助动态演示，加强对问题的理解。
复习课中我设计了如下的练习环节：
计算下面圆柱的体积（自主选择难度为★和★★题）后两题为长方形旋转形成的圆柱。
后面两个图形的理解学生还是遇到了困难，主要有两种情况：1.空间思维缺乏，难以想象形成的图形是立体图形，是什么立体图形;2.长方形的哪条边是旋转后的高、哪条边是旋转后的底面半径易混淆。需要通过动手操作初步感知长方形旋转一圈的过程，再以动画演示旋转过程、记录并显示长方形旋转经过的轨迹，观察图形可知以哪条边为轴旋转，哪条边的长度就是圆柱的高，另一条就是底面半径。对比分析，归纳出这三个不同图形都是已知半径和高求圆柱的体积。
计算后再次遇到困难，有学生根据旋转后的圆柱体积计算结果：
3.14×12×2=6.28（cm3）
3.14×22×1=12.56（cm3）
产生质疑：同样的长方形旋转形成的圓柱难道不一样大吗？为了解决这个问题，在交流的基础上，通过动画演示把圆柱沿着高和半径切开，拼成一个近似的长方体，长方体的横截面面积就是长方形面积（r×h），长是圆柱底面周长的一半（πr），长方体体积也可用横截面积乘长来计算。切分成的两个长方体横截面积相等，体积之比就等于长的比，也是半径的比。
通过信息技术手段与数学学科的融合，借助动态演示，以反思和批判性思维路径，引导学生深入思考，发展高阶思维。
【参考文献】
[1]王佳蕾.从分析学习起点做起[J].小学数学教育，2017，（6）：1
[2]张春莉等.数学模型思想与小学数学教学[J].小学教学，2016，（3）：14.
【关键词】动态演示;数学思想;高阶思维
《义务教育数学课程标准（2011 年版）》指出 ：“信息技术能向学生提供并展示多种类型的资料，包括文字、声音、图像等，并能灵活选择与呈现;可以创设、模拟多种与教学内容适应的情境;能为学生从事数学探究提供重要的工具;可以使得相距千里的个体展开面对面交流。信息技术是从根本上改变数学学习方式的重要途径之一，必须充分加以应用。”
数学课堂中经常采用“自主探究—小组交流—汇报展示”的学习方式，但在汇报环节有一些操作性的展示，让全班同学能够看得见，才能引起共鸣和思考;也有一部分学生对数学的思想方法理解总是有困难，比如极限思想，总是难以想像出越来越多，无限逼近会怎么样;也有一些数学操作需要的切、分、拼等过程很难实现精细化地平均分，更难实现对一个实物进行几十份、上百份的切分操作……建立起“信息技术—数学知识—学习方法”之间的联系显得尤为重要。变不可见为可见，变可见为精细化呈现，实现无障碍交流，化解数学学习难度，实现教有思想，学有深度的目的。
一、操作展示再现认知起点
数学学习的起点是学生已有的经验，包括已有的知识和生活的经验。找准了学习的起点，可以在学生学习遇到困难的时候“搭台阶”，帮助学生一级一级往上走;在学生有能力的时候“撤台阶”，让学生直面具有挑战性的问题。
我首次执教《圆柱的体积》是按照例题思路，直接切入思考等底等高的长方体、正方体和圆柱体积相等吗？学生很难想到把圆柱转化成长方体来计算。因此在另一个班再上时，我思考：圆柱的体积公式推导的认知起点是把圆形转化成长方形探究圆面积公式。所以课初始安排了转化的思想回顾复习，为本课迁移类推到圆柱体转化成长方体打好基础。学生在快拍仪投影下边演示圆平均分成16份，拼成近似的长方形，边讲述圆面积公式推导过程，唤醒已有的学习经验，为转化方法的迁移打好基础。
二、动态演示感知数学思想
小学阶段数学思想方法的渗透越来越受重视，但学生对数形结合思想、转化思想的学习和运用较多，极限思想还处于初步感知和体会阶段，理解有困难。极限思想是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。由于小学生年龄特点的限制，它们对抽象的、数量无限的事物难以把握，更容易把极限与无限混淆。在预习中学生就提出了如下的问题，根本原因是极限思想的缺乏。
学生的疑问通过学具演示平均分成16份，拼成近似的长方体是无法完全释疑的，而用圆柱体实物切分成更多的份数，操作的安全性和精确性都存在困难。此时借助动画演示平均分成16份、32份、64份……让学生充分感知平均分的份数越多时就越接近长方体，在比较中感悟什么是无限地逼近。释疑之后，才能认识到近似的长方体和圆柱的关系：1.拼成近似的长方体底面积等于圆柱底面积，高等于圆柱的高，体积等于圆柱的体积。2.长方体的长等于圆柱底面周长的一半，宽等于圆柱的半径。3.表面积变了，体积没变。4.圆柱体积等于底面积乘高。
在感知极限思想的基础上，经过观察、比较、分析抽象得出圆柱体体积=底面积×高，建立新的数学模型。数学模型是用数学的语言和方法对各种实际对象做出抽象或模仿而形成的一种数学结构。圆柱的体积公式也是一种数学模型，在模型建立的过程中，运用了转化思想、极限思想。
数学思想方法是以隐蔽的形式存在于知识学习中，圆柱体积公式的推导中动态展示了操作过程，在递增式平均分和拼的过程中引发对比思考，直观显示释疑解惑，发挥了信息技术变不可见为可见，变可见为精细化呈现的优势。
三、动态演示发展高阶思维
数学高阶思维的发展是学生数学核心素养生成的重要标志。知识的深度理解与批判建构都是高阶思维能力的一种表现，一个好的练习通过对多个问题的研究，让学生在质疑反思中发掘潜能，主动进行思考，直达问题的核心本质。在释疑解惑时常可以借助动态演示，加强对问题的理解。
复习课中我设计了如下的练习环节：
计算下面圆柱的体积（自主选择难度为★和★★题）后两题为长方形旋转形成的圆柱。
后面两个图形的理解学生还是遇到了困难，主要有两种情况：1.空间思维缺乏，难以想象形成的图形是立体图形，是什么立体图形;2.长方形的哪条边是旋转后的高、哪条边是旋转后的底面半径易混淆。需要通过动手操作初步感知长方形旋转一圈的过程，再以动画演示旋转过程、记录并显示长方形旋转经过的轨迹，观察图形可知以哪条边为轴旋转，哪条边的长度就是圆柱的高，另一条就是底面半径。对比分析，归纳出这三个不同图形都是已知半径和高求圆柱的体积。
计算后再次遇到困难，有学生根据旋转后的圆柱体积计算结果：
3.14×12×2=6.28（cm3）
3.14×22×1=12.56（cm3）
产生质疑：同样的长方形旋转形成的圓柱难道不一样大吗？为了解决这个问题，在交流的基础上，通过动画演示把圆柱沿着高和半径切开，拼成一个近似的长方体，长方体的横截面面积就是长方形面积（r×h），长是圆柱底面周长的一半（πr），长方体体积也可用横截面积乘长来计算。切分成的两个长方体横截面积相等，体积之比就等于长的比，也是半径的比。
通过信息技术手段与数学学科的融合，借助动态演示，以反思和批判性思维路径，引导学生深入思考，发展高阶思维。
【参考文献】
[1]王佳蕾.从分析学习起点做起[J].小学数学教育，2017，（6）：1
[2]张春莉等.数学模型思想与小学数学教学[J].小学教学，2016，（3）：14.