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【摘要】本文结合一堂教学示范课《圆和圆的位置关系》，分析怎样巧用“布白”和“变式”来优化初中数学课堂教学，真正体现课堂教学效果的实效性，为学生提供更多的主动参与学习的时间、空间，促进学生学习知识的内化机会，提高学生的思维能力。
【关键词】课堂教学布白变式
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）05-0134-02
在当前的中小学数学教学中，不少老师抱怨自己教得很辛苦，学生学得很痛苦，可是学生的学习能力却没有得到应有的发展。笔者认为：人本缺失的课堂是低层次的课堂，结构失衡的课堂是低效率的课堂，教师只有精心设计课堂教学过程，将多种教学方法优化组合、灵活地运用于一节课中，才能让学生真正参与教学活动，收到良好的课堂效果。笔者在多年的初中数学教学中，常用“布白”和“变式”来优化初中数学课堂教学，正是这样的科学教学方法，给学生提供了更多的独立思考问题和自我发展的机会，收到很好的教学效果。下面就以人教版九年级上册《圆和圆的位置关系》一课为例，与同行们一起探讨。
一、布白
“空白”艺术是“接受美学”理论体系中关于文学艺术作品审美欣赏的一个概念。画家画画总要留点空白，“空平难图，实景淡而空景观”，一幅画涂绘满纸，未必尽善尽美，如果适当留下空白反而会收到“恰是未曾着墨处，烟波浩渺满目前”的艺术效果。音乐家演奏更注重无声胜有声，时而“咆哮”，时而“万马齐喑”，目的是让听众于无声处想音乐。教师讲授知识也应如此，在细针密线鞭辟入理的同时，给学生留有一点回味思考的余地，这就是课堂教学中巧置空白，即“布白”。“布白”是一种以逸待劳的教学艺术，在课堂教学中会产生“无声胜有声”的效应，因此应注意优化课堂教学结构的同时巧置空白，即“布白”艺术。
在数学课堂教学中该如何“布白”呢？数学课堂教学的空白点，主要体现在两个方面：时间和内容。时间上的“空白点”是指课堂上教师要留给学生思考研究的时间，内容上的“空白点”是指教师在引导学生研究知识后，还留下一些伏笔或提供一些悬念，让学生去想象。我在教学《圆和圆的位置关系》一课中从以下三方面进行“布白”的。
（1）课前导入时的“布白”。课间十分钟，既是让学生大脑积极休息，又使学生受到不同干扰，铃声响了，很多学生还没进入上课状态，因此在铃声响后，教师留出短暂的空白，播放课件，像欣赏几幅反映“圆和圆的位置关系”的一些生活图片，如：轮滑鞋，传送带，齿轮，奥运五环，自行车内的滚珠等，吸引学生的注意力，使他们回到上课状态。这样既开门见山地揭示课题，调动了学生的思维积极性，又激发了学生的学习兴趣。
（2）课堂讲授中的“布白”。在课堂讲授中，为了体现教学的节奏，也为了使课堂教学张驰有道，波澜起伏，教师要留出一定的“空白”，让学生积极思考。如在引出圆和圆五种位置关系前，可先创设如下情境：1、用课件演示篮球投框可能出现的几种“中或不中”现象；2、动画演示“日环食”过程的天文现象。此时停下来，不急给出结论，而是留下“空白”，让他们去想象、回味、思考、动手操作探究，然后讨论，可以收到良好的课堂教学效果。很多同学都亲手自制一大一小的圆，动手演示“日食”现象；还有的同学两两配合，一人用双手围成圆当作篮球框，另一人用自带的乒乓球作投篮实验。大家情绪高涨，此时师生双方的积极性达到最佳配合状态。都说“智慧出于指尖，思维源于动作”，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，为此，采用“布白”艺术，让学生有机会去探究、有时间去亲历知识的获取过程，学生的思维活动有了一个积级的开端和持续的势头，从而体验到学数学的快乐和幸福。
（3）新课结束前的“布白”。在新课教学结束时，教师若马上布置作业，似乎总是缺少一种余蕴，收不到“课虽尽而意无穷”的教学效果，因此，教师可适当地留下与下节课相衔接的问题或留下一个或几个能使所学知识作进一步拓展延伸的悬念，让学生带着强烈的求知欲结束新课的学习。如在《直线和圆位置关系》一课教学结束前，我提出一个问题“若把‘直线’改成‘圆’，那在运动过程中，又会有怎样的情形出现呢？”为下一节的《圆和圆的位置关系》的教学埋下伏笔。再如在《圆和圆的位置关系》一课结束前5分钟我布置一道拓广探索题：已知⊙O1、⊙O2它们是相离的，作一个圆，使它与这两个圆都外切，能作多少个这样的圆呢？与同学交流一下。若使这个圆与一个圆内切，与另一个圆外切，又能作多少个圆呢？此时小组开始讨论起来了，下课铃响了，他们还意犹未尽，这在很大程度调动了学生学习的积极性与主动性，增强了学生的学习兴趣。
二、变式
有句口头禅：只相信学生的笔头，不相信学生的口头。不少教师都有这样的经历；一道题目刚在课堂上讲述不久，甚至还在讲评中特别给予强调，可是试卷中出现同样或类似的稍有“变脸”的问题，许多学生却无从入手，不会作答，教师也常常为此报怨，摇头叹息。其实，这都是符合记忆规律曲线的现象，很正常的。我近来参加了《变式教学在数学课堂中应用研究》（福州市科学研究“十五”规划课题）的课题研究，在对课题研究过程中，我感受颇深，认为要改变这种现状，应用数学 “变式教学”是十分有效的手段。变式教学法，它的核心是利用构造一系列变式的方法，来展示知识发生发展的过程、知识结构演变的过程、解决问题的逻辑思维过程，以及创设暴露思维障碍的情境过程，从而形成一种思维训练的有效模式。它的主要作用在于集中学生的注意力，培养学生在相同条件下迁移、发散知识的能力并激发学生的学习热情，达到举一反三，触类旁通的效果，使不同的学生得到了不同的发展，进而提高教学质量。变式有多种形式，如形式变式，方法变式、内容变式等，下面就《圆和圆的位置关系》一课中如何实施“变式”谈一些本人的做法和体会。
（1）类比变式，展示知识的发生过程，促进知识迁移。现代心理学家研究表明：学习的过程其实就是新旧知识同化的过程。因此教学的有效性依赖于新内容生长点的找寻与把握。而类比变式是精心设计铺垫性的变式，让学生找准生长点，用已有的知识结构同化新知识，实现知识的迁移，使原有的知识结构得以补充、改造和逐步完善，提高学生思维的创造性，实现知识的飞跃。如在《圆和圆的位置关系》教学中，我设计了如下变式：
①利用几何画板演示点和圆的位置关系，并得出其数量特征。
②利用几何画板把“点”变成“直线”，演示直线和圆的位置关系，并得出其公共点特征和数量特征。
③给出问题:若把“点”、”直线”变成“圆”，又是怎样的情形呢？再用几何画板演示动圆向定圆运动变化过程，类比得出其公共点特征和数量特征。
设计意图：通过由此及彼类比的推理过程，可以帮助学生贯通知识间的联系，使知识脉络纵横交融，形成系统的知识网络，避免了本质属性相近的数学知识孤立存在于学生的头脑中，使学生所学知识条理化，系统化。更重要的是通过对数学知识的探索，让学生掌握获得知识和运用知识的方法，并且理解这个过程中的数学思想。
（2）背景变式，沟通知识的内在联系，促进知识网络的形成。在解题教学的思维训练中，精心设计一些有坡度、有联系的题组，通过改变其问题背景进行变式训练是一种很有效的方法。它既沟通了知识间的联系，又通过解题后的反思，归纳出同一类问题的解题思维，扩展了学生原有的认知结构，形成知识网络，还培养学生思维的灵活性和严密性。
例如：已知两圆的半径分别为2、3，圆心距为5，则这两圆的位置关系是____。
变式1：若两圆半径分别为2、3，两圆内切，则圆的圆心距d值为____。
变式2：若两圆相切，且圆心距d=5，一个圆半径为2，则另一个圆半径为____。
变式3：已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ）
A．05C. 05D. 0≤d<1或d>5
变式4：若定圆O与动圆P相外切，定圆O的半径为3，动圆P的半径为2，那么点P与点O的距离是多少？点P可以在什么样的线上移动？若定圆O与动圆P相内切，情况又怎样呢？
变式1是在原问题的基础上训练学生的逆向思维能力；变式2必须进行分类讨论；变式3不但要分类讨论，还要考虑“内含”中的特例“同心圆”；而变式4必须用运动的观点去发现动圆的圆心P原来是在一个圆周上运动。通过这一系列问题的层层变式，使学生对“圆和圆的位置关系”的认识和理解更深一步，培养了学生思维的灵活性和严密性。
（3）递增变式，提高学生学习积极性，培养参与意识。递增变式是从一个基本问题出发，设计阶梯式的问题，同中求异引导学生的思维纵深拓展的变式方法，这种方法使学生学起来不觉得乏味而有新鲜感，又让他们懂得怎样从事物的千变万化的复杂现象中去抓住本质，触类旁通，从而培养思维的深刻性和灵活性，开阔学生的解题思路，提升解题能力。
例如：已知⊙O1、⊙O2半径为1 cm和2 cm，若O1O2=1 cm，则两圆位置关系为____。若⊙O1、⊙O2重合，则两圆位置关系为____。
变式1：已知两圆半径R、r,分别为方程x2-3x+2=0的两根，这两圆的圆心距d为3，则这两圆位置关系为____。
变式2：已知两圆半径分别为R、r（R>r）,圆心距为d且d2+R■r2=2dR，则两圆的位置关系如何？
变式3：已知在直角坐标系中，⊙A圆心坐标为(1，～ 2)，半径为1，⊙A向上平移的距离d满足什么条件时，⊙A与它关于x轴对称的图形相切。
变式1中的两半径要通过解一元二次方程得到；变式2要通过把式子的转化为(d-R)2=r2后分类讨论﹙d>R和d 总之，在课堂教学中进行“布白”和“变式”，能为学生提供更多的主动参与学习的时间和空间，促进学生学习的内化机会，确保学生参与教学活动热情的持续性，培养了学生思维的深刻性、灵活性、严密性和创造性，优化了整个数学课堂教学，是值得提倡的两种教学方法。
参考文献：
[1]《素质教育课堂优化策略》闫承利
[2]《变式教学研究》鲍建生，黄荣金，顾泠沅《数学教学》2003年第3期
【关键词】课堂教学布白变式
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）05-0134-02
在当前的中小学数学教学中，不少老师抱怨自己教得很辛苦，学生学得很痛苦，可是学生的学习能力却没有得到应有的发展。笔者认为：人本缺失的课堂是低层次的课堂，结构失衡的课堂是低效率的课堂，教师只有精心设计课堂教学过程，将多种教学方法优化组合、灵活地运用于一节课中，才能让学生真正参与教学活动，收到良好的课堂效果。笔者在多年的初中数学教学中，常用“布白”和“变式”来优化初中数学课堂教学，正是这样的科学教学方法，给学生提供了更多的独立思考问题和自我发展的机会，收到很好的教学效果。下面就以人教版九年级上册《圆和圆的位置关系》一课为例，与同行们一起探讨。
一、布白
“空白”艺术是“接受美学”理论体系中关于文学艺术作品审美欣赏的一个概念。画家画画总要留点空白，“空平难图，实景淡而空景观”，一幅画涂绘满纸，未必尽善尽美，如果适当留下空白反而会收到“恰是未曾着墨处，烟波浩渺满目前”的艺术效果。音乐家演奏更注重无声胜有声，时而“咆哮”，时而“万马齐喑”，目的是让听众于无声处想音乐。教师讲授知识也应如此，在细针密线鞭辟入理的同时，给学生留有一点回味思考的余地，这就是课堂教学中巧置空白，即“布白”。“布白”是一种以逸待劳的教学艺术，在课堂教学中会产生“无声胜有声”的效应，因此应注意优化课堂教学结构的同时巧置空白，即“布白”艺术。
在数学课堂教学中该如何“布白”呢？数学课堂教学的空白点，主要体现在两个方面：时间和内容。时间上的“空白点”是指课堂上教师要留给学生思考研究的时间，内容上的“空白点”是指教师在引导学生研究知识后，还留下一些伏笔或提供一些悬念，让学生去想象。我在教学《圆和圆的位置关系》一课中从以下三方面进行“布白”的。
（1）课前导入时的“布白”。课间十分钟，既是让学生大脑积极休息，又使学生受到不同干扰，铃声响了，很多学生还没进入上课状态，因此在铃声响后，教师留出短暂的空白，播放课件，像欣赏几幅反映“圆和圆的位置关系”的一些生活图片，如：轮滑鞋，传送带，齿轮，奥运五环，自行车内的滚珠等，吸引学生的注意力，使他们回到上课状态。这样既开门见山地揭示课题，调动了学生的思维积极性，又激发了学生的学习兴趣。
（2）课堂讲授中的“布白”。在课堂讲授中，为了体现教学的节奏，也为了使课堂教学张驰有道，波澜起伏，教师要留出一定的“空白”，让学生积极思考。如在引出圆和圆五种位置关系前，可先创设如下情境：1、用课件演示篮球投框可能出现的几种“中或不中”现象；2、动画演示“日环食”过程的天文现象。此时停下来，不急给出结论，而是留下“空白”，让他们去想象、回味、思考、动手操作探究，然后讨论，可以收到良好的课堂教学效果。很多同学都亲手自制一大一小的圆，动手演示“日食”现象；还有的同学两两配合，一人用双手围成圆当作篮球框，另一人用自带的乒乓球作投篮实验。大家情绪高涨，此时师生双方的积极性达到最佳配合状态。都说“智慧出于指尖，思维源于动作”，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，为此，采用“布白”艺术，让学生有机会去探究、有时间去亲历知识的获取过程，学生的思维活动有了一个积级的开端和持续的势头，从而体验到学数学的快乐和幸福。
（3）新课结束前的“布白”。在新课教学结束时，教师若马上布置作业，似乎总是缺少一种余蕴，收不到“课虽尽而意无穷”的教学效果，因此，教师可适当地留下与下节课相衔接的问题或留下一个或几个能使所学知识作进一步拓展延伸的悬念，让学生带着强烈的求知欲结束新课的学习。如在《直线和圆位置关系》一课教学结束前，我提出一个问题“若把‘直线’改成‘圆’，那在运动过程中，又会有怎样的情形出现呢？”为下一节的《圆和圆的位置关系》的教学埋下伏笔。再如在《圆和圆的位置关系》一课结束前5分钟我布置一道拓广探索题：已知⊙O1、⊙O2它们是相离的，作一个圆，使它与这两个圆都外切，能作多少个这样的圆呢？与同学交流一下。若使这个圆与一个圆内切，与另一个圆外切，又能作多少个圆呢？此时小组开始讨论起来了，下课铃响了，他们还意犹未尽，这在很大程度调动了学生学习的积极性与主动性，增强了学生的学习兴趣。
二、变式
有句口头禅：只相信学生的笔头，不相信学生的口头。不少教师都有这样的经历；一道题目刚在课堂上讲述不久，甚至还在讲评中特别给予强调，可是试卷中出现同样或类似的稍有“变脸”的问题，许多学生却无从入手，不会作答，教师也常常为此报怨，摇头叹息。其实，这都是符合记忆规律曲线的现象，很正常的。我近来参加了《变式教学在数学课堂中应用研究》（福州市科学研究“十五”规划课题）的课题研究，在对课题研究过程中，我感受颇深，认为要改变这种现状，应用数学 “变式教学”是十分有效的手段。变式教学法，它的核心是利用构造一系列变式的方法，来展示知识发生发展的过程、知识结构演变的过程、解决问题的逻辑思维过程，以及创设暴露思维障碍的情境过程，从而形成一种思维训练的有效模式。它的主要作用在于集中学生的注意力，培养学生在相同条件下迁移、发散知识的能力并激发学生的学习热情，达到举一反三，触类旁通的效果，使不同的学生得到了不同的发展，进而提高教学质量。变式有多种形式，如形式变式，方法变式、内容变式等，下面就《圆和圆的位置关系》一课中如何实施“变式”谈一些本人的做法和体会。
（1）类比变式，展示知识的发生过程，促进知识迁移。现代心理学家研究表明：学习的过程其实就是新旧知识同化的过程。因此教学的有效性依赖于新内容生长点的找寻与把握。而类比变式是精心设计铺垫性的变式，让学生找准生长点，用已有的知识结构同化新知识，实现知识的迁移，使原有的知识结构得以补充、改造和逐步完善，提高学生思维的创造性，实现知识的飞跃。如在《圆和圆的位置关系》教学中，我设计了如下变式：
①利用几何画板演示点和圆的位置关系，并得出其数量特征。
②利用几何画板把“点”变成“直线”，演示直线和圆的位置关系，并得出其公共点特征和数量特征。
③给出问题:若把“点”、”直线”变成“圆”，又是怎样的情形呢？再用几何画板演示动圆向定圆运动变化过程，类比得出其公共点特征和数量特征。
设计意图：通过由此及彼类比的推理过程，可以帮助学生贯通知识间的联系，使知识脉络纵横交融，形成系统的知识网络，避免了本质属性相近的数学知识孤立存在于学生的头脑中，使学生所学知识条理化，系统化。更重要的是通过对数学知识的探索，让学生掌握获得知识和运用知识的方法，并且理解这个过程中的数学思想。
（2）背景变式，沟通知识的内在联系，促进知识网络的形成。在解题教学的思维训练中，精心设计一些有坡度、有联系的题组，通过改变其问题背景进行变式训练是一种很有效的方法。它既沟通了知识间的联系，又通过解题后的反思，归纳出同一类问题的解题思维，扩展了学生原有的认知结构，形成知识网络，还培养学生思维的灵活性和严密性。
例如：已知两圆的半径分别为2、3，圆心距为5，则这两圆的位置关系是____。
变式1：若两圆半径分别为2、3，两圆内切，则圆的圆心距d值为____。
变式2：若两圆相切，且圆心距d=5，一个圆半径为2，则另一个圆半径为____。
变式3：已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ）
A．0
变式4：若定圆O与动圆P相外切，定圆O的半径为3，动圆P的半径为2，那么点P与点O的距离是多少？点P可以在什么样的线上移动？若定圆O与动圆P相内切，情况又怎样呢？
变式1是在原问题的基础上训练学生的逆向思维能力；变式2必须进行分类讨论；变式3不但要分类讨论，还要考虑“内含”中的特例“同心圆”；而变式4必须用运动的观点去发现动圆的圆心P原来是在一个圆周上运动。通过这一系列问题的层层变式，使学生对“圆和圆的位置关系”的认识和理解更深一步，培养了学生思维的灵活性和严密性。
（3）递增变式，提高学生学习积极性，培养参与意识。递增变式是从一个基本问题出发，设计阶梯式的问题，同中求异引导学生的思维纵深拓展的变式方法，这种方法使学生学起来不觉得乏味而有新鲜感，又让他们懂得怎样从事物的千变万化的复杂现象中去抓住本质，触类旁通，从而培养思维的深刻性和灵活性，开阔学生的解题思路，提升解题能力。
例如：已知⊙O1、⊙O2半径为1 cm和2 cm，若O1O2=1 cm，则两圆位置关系为____。若⊙O1、⊙O2重合，则两圆位置关系为____。
变式1：已知两圆半径R、r,分别为方程x2-3x+2=0的两根，这两圆的圆心距d为3，则这两圆位置关系为____。
变式2：已知两圆半径分别为R、r（R>r）,圆心距为d且d2+R■r2=2dR，则两圆的位置关系如何？
变式3：已知在直角坐标系中，⊙A圆心坐标为(1，～ 2)，半径为1，⊙A向上平移的距离d满足什么条件时，⊙A与它关于x轴对称的图形相切。
变式1中的两半径要通过解一元二次方程得到；变式2要通过把式子的转化为(d-R)2=r2后分类讨论﹙d>R和d
参考文献：
[1]《素质教育课堂优化策略》闫承利
[2]《变式教学研究》鲍建生，黄荣金，顾泠沅《数学教学》2003年第3期