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摘 要：文章介绍二次有限元法分析波导本征值问题的基本原理和计算过程，建立相应的仿真模型，实例仿真计算了双脊圆波导的截止波长、单模带宽，仿真出了波导的场结构。并与已有的国外权威刊物上发表的数据资料进行了对比，数据误差较小，表明该方法的有效性和仿真模型的正确性。这些结果和计算数据将为曲边波导器件的小型化提供指导，对工程设计具有一定的实用价值。
关键词：有限元法;仿真;曲边波导;传输特性
1 有限元法变分原理的应用
有限元以变分原理为基础，把所要求的微分方程型数学模型—边值问题，首先，转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题。其次，利用剖分插值，离散化变分问题为普通多元函数的极值问题。最后，归结为一组多元的代数方程组，解之即得待求边值问题的数值解。有限元法已经成为各类电磁场、电磁波工程问题定量分析于优化设计的主导数值计算方法[1]。
利用有限元法计算电磁场的过程，通常步骤如下：
（1）简化求解物理模型，导出求解的微分方程。
（2）根据微分方程及边界条件，求出对应定解的泛函及其等价的变分问题。
（3）对求解区域进行剖分，确定相应的插值函数。
（4）对多元函数的泛函求极值，导出有限元方程组。
（5）求解有限元方程组，得到节点上的位函数。
在实际工作中，一般都应用在基模，所以在这里只讨论横电（Transverse Electric，TE）的计算。
2 计算实例
根据有限元方法求解本征值原理及有限元方程的求解过程，用Matlab的PDE工具箱仿真求解双脊圆波导的传输特性。双脊圆波导如图1所示，d是圆波导的直径，w是脊的宽度，h是脊的高度。如图2所示，脊的中心关于圆波导的中心轴对称，主要研究随着脊的宽度和高度变化时，双脊圆波导的传输特性的变化。設脊波导内介质为空气，波沿纵向传播。
2.1 仿真结果分析
（1）主模的电场集中在脊所在的条形区域，而第一高次模的电场则被劈为对称的两部分，在脊的上部出现了断裂。
（2）当w/d固定不变时，归一化截止波长λc/d随着h/d从0.05～0.45变化逐渐增大。
（3）当h/d固定不变时，截止波长随着w/d从0.1～0.9变化先增大后减小。
（4）截止波长λc/d大小的变化范围是1.7～4.6，当w/d=0.3，h/d=0.45时，双脊圆波导的归一化截止波长达到最大，比同等尺寸下的单脊圆波导的截止波长。
（5）w/d固定不变时，单模带宽λc/λc1随着h/d从0.05～0.45变化逐渐增大。
（6）当h/d固定不变时，单模带宽随着w/d从0.1～0.9变化先增大后减小。
（7）单模带宽λc/λc1大小的变化范围是1～3.3。
2.2 方法验证
为了验证本方法的正确性，将本文所得的结果和Rong等[2]的研究结果相比较[3-5]，比较结果如图3—6所示。
3 结语
用PDE工具箱求解双脊圆波导的特征值与同尺寸下的编程计算得到的特征值误差几乎小于0.05，计算结果精度相比较于数值解精度高。但是用PDE工具箱在求解波导的电磁场数值时，只能产生准确的主模的特征值，高次模的特征值求解不太准确，甚至会产生伪解现象，这是在使用PDE工具箱时，需要注意的地方。
[参考文献]
[1]许福永，赵克玉.电磁场与电磁波[M].北京：科学出版社，2005.
[2]RONG Y，ZAKI K A.Characteristics of generalized rectangular and circular ridge waveguides[J].IEEE Transactions on Microwave Theory&Techniques，2002（2）：258-265.
[3]SAAD A M K，MILLER J D，MITHA A，et al.Analysis of antipodal ridge waveguide structure and application on extremely wide stopband low-pass filter[C].Toronto：Microwave Symposium Digest，1986.
[4]LU M，LEONARD P J.Design of trapezoidal-ridge waveguide by finite-element method[J].IEEE Proceedings-Microwaves Antennas and Propagation，2004（3）：205-211.
[5]NANAN J C，TAO J W，BAUDRAND H，et al.A two-step synthesis of broadband ridged waveguide bandpass filters with improved performances[J].Microwave Theory&Techniques IEEE Transactions on，1991（12）：2192-2197.
关键词：有限元法;仿真;曲边波导;传输特性
1 有限元法变分原理的应用
有限元以变分原理为基础，把所要求的微分方程型数学模型—边值问题，首先，转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题。其次，利用剖分插值，离散化变分问题为普通多元函数的极值问题。最后，归结为一组多元的代数方程组，解之即得待求边值问题的数值解。有限元法已经成为各类电磁场、电磁波工程问题定量分析于优化设计的主导数值计算方法[1]。
利用有限元法计算电磁场的过程，通常步骤如下：
（1）简化求解物理模型，导出求解的微分方程。
（2）根据微分方程及边界条件，求出对应定解的泛函及其等价的变分问题。
（3）对求解区域进行剖分，确定相应的插值函数。
（4）对多元函数的泛函求极值，导出有限元方程组。
（5）求解有限元方程组，得到节点上的位函数。
在实际工作中，一般都应用在基模，所以在这里只讨论横电（Transverse Electric，TE）的计算。
2 计算实例
根据有限元方法求解本征值原理及有限元方程的求解过程，用Matlab的PDE工具箱仿真求解双脊圆波导的传输特性。双脊圆波导如图1所示，d是圆波导的直径，w是脊的宽度，h是脊的高度。如图2所示，脊的中心关于圆波导的中心轴对称，主要研究随着脊的宽度和高度变化时，双脊圆波导的传输特性的变化。設脊波导内介质为空气，波沿纵向传播。
2.1 仿真结果分析
（1）主模的电场集中在脊所在的条形区域，而第一高次模的电场则被劈为对称的两部分，在脊的上部出现了断裂。
（2）当w/d固定不变时，归一化截止波长λc/d随着h/d从0.05～0.45变化逐渐增大。
（3）当h/d固定不变时，截止波长随着w/d从0.1～0.9变化先增大后减小。
（4）截止波长λc/d大小的变化范围是1.7～4.6，当w/d=0.3，h/d=0.45时，双脊圆波导的归一化截止波长达到最大，比同等尺寸下的单脊圆波导的截止波长。
（5）w/d固定不变时，单模带宽λc/λc1随着h/d从0.05～0.45变化逐渐增大。
（6）当h/d固定不变时，单模带宽随着w/d从0.1～0.9变化先增大后减小。
（7）单模带宽λc/λc1大小的变化范围是1～3.3。
2.2 方法验证
为了验证本方法的正确性，将本文所得的结果和Rong等[2]的研究结果相比较[3-5]，比较结果如图3—6所示。
3 结语
用PDE工具箱求解双脊圆波导的特征值与同尺寸下的编程计算得到的特征值误差几乎小于0.05，计算结果精度相比较于数值解精度高。但是用PDE工具箱在求解波导的电磁场数值时，只能产生准确的主模的特征值，高次模的特征值求解不太准确，甚至会产生伪解现象，这是在使用PDE工具箱时，需要注意的地方。
[参考文献]
[1]许福永，赵克玉.电磁场与电磁波[M].北京：科学出版社，2005.
[2]RONG Y，ZAKI K A.Characteristics of generalized rectangular and circular ridge waveguides[J].IEEE Transactions on Microwave Theory&Techniques，2002（2）：258-265.
[3]SAAD A M K，MILLER J D，MITHA A，et al.Analysis of antipodal ridge waveguide structure and application on extremely wide stopband low-pass filter[C].Toronto：Microwave Symposium Digest，1986.
[4]LU M，LEONARD P J.Design of trapezoidal-ridge waveguide by finite-element method[J].IEEE Proceedings-Microwaves Antennas and Propagation，2004（3）：205-211.
[5]NANAN J C，TAO J W，BAUDRAND H，et al.A two-step synthesis of broadband ridged waveguide bandpass filters with improved performances[J].Microwave Theory&Techniques IEEE Transactions on，1991（12）：2192-2197.