在数列学习中,数列的通项公式常常是由其递推关系确定的,根据递推关系求解通项,除用计算—猜想—证明的思路外,通常还可以对某些递推关系进行变换,转化成学生熟知的等差数列、等比数列或易于求出通项表达式的数列问题来解决,下面举例说明集中常见的转化思路。
　　类型1 a=a+f(n)。
　　解法:把原递推公式转化为a-a=f(n),利用累加法(逐差相加法)求解。
　　例1 已知a=2,a=a+3n+2,求a。
　　解:∵ a=a+3n+2∴a= a+3(n-1)+2, a=a+3(n-2)+2
　　∴ a- a=3(n-1)+2………………(1)
　　a- a=3(n-2)+2………………(2)
　　 ……
　　a- a=3•1+2………………(n-1)。
　　由(1)+(2)+…+(n-1)得a-a=3•+2•(n-1),
　　∴ a=+2n-2+2=(3n-3+4)。∴a=(3n+1)。
　　类型2a=f(n)a。
　　解法:迭乘法 即:a=f(n)a=f(n)•f(n-1)•f(n-2)…f(3)•f(2)a。
　　例2 已知数列a满足a=,a=a,求a。
　　解:由条件知=,分别令n=1,2,3,…(n-1),代入上式得(n-1)个等式累乘之,即•••…=×××…×,即=。又∵a=,∴a=。
　　类型3 a=pa+q,其中p,q均为常数,(pq(p-1)≠0)。
　　解法:①递推两式相减,转化成类型1。②用待定系数法。
　　例3 已知:a=2a+1,a=1。求a。
　　解法①:∵a=2a+1, a=2a+1。两式相减得:
　　 a-a=2(a-a),化为=2。
　　令:b=a-a ,且b=a-a=2。
　　∴ b=b•q=2•2=2 ,即:a-a=2 。 (同类型1)
　　解法②:设a+p=2(a+p) a=2a+p。
　　令p=1,则a+1=2(a+1)。令b=a+1,则b=2b且b=2,∴ b=2 。∴ a=2-1。
　　类型4 a=pa+q,其中p,q均为常数,(pq(p-1)(q-1)≠0)。
　　解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以q,得:
　　=•+引入辅助数列b(其中b=),得:b=b+,再用待定系数法解决。
　　例4 已知数列a中,a=,a=a+(),求a。
　　解:在a=a+()两边乘以2得:2•a=(2•a)+1
　　令b=2•a,则b=b+1,解之得:b=3-2()。所以a==3()-2()。
　　类型5 a=pa+qb,b=ra+sb。
　　解法:联立递推式。
　　例5 已知数列{a},{b}满足a=2,b=1,
　　且a=a+b+1,b=a+b+1, (n≥2)
　　(Ⅰ)令c=a+b,求数列{c}的通项公式;(Ⅱ)求数列{a}的通项公式及前n项和公式S。
　　解:(Ⅰ)由题设得a+b=(a+b)+2(n≥2),即
　　c=c+2(n≥2)。易知{c}是首项为a+b=3,公差为2的等差数列,通项公式为c=2n+1。
　　(Ⅱ)由题设得a-b=(a-b)(n≥2),令d=a-b,则
　　d=d(n≥2)。易知{d}是首项为a-b=1,公比为的等比数列,通项公式为d=。
　　由a+b=2n+1,a-b=, 解得 a=+n+,求和得S=-++n+1。
　　从上述各题构建新数列的过程中,可以看出对题设中递推式的观察、分析,并据其结构特点进行合理变形,是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉,这也是解答数学问题的共性之所在。◆(作者单位:江西省南昌市第十中学 江西省南昌市第三中学)
　　□责任编辑:周瑜芽