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将我国的战国时期与古希腊作比较研究是一件很有意义的事,那个时期的中西方在很多方面是很相像的。以古代哲学为例,古希腊哲学中有“四元素说”,认为天下万物由水、火、土、气四大基本元素构成。在中国,八卦中的四个正卦是天、地、水、火,恰好与四元素相对应。对古希腊哲学的进一步考察可以发现,这一派哲学思想与阴阳八卦说其实颇为相似。古代数学的中西方比较则更加有趣,与《墨子》、《九章算术》等传世文献相参证,近些年重见天日的岳麓书院藏秦简《数》、张家山汉简《算数书》等秦至汉初的竹简数学书证明:战国时期我国的数学与古希腊数学在知识范围、证明方式及具体结果方面,都几乎完全一致。大体上说,双方都以整数的比例为主要代数工具,以割补法为几何证明的主要手法,得到了关于自然数及分数的主要古典成果,三角形及圆的主要公式,以及关于锥、柱、台的体积公式。
更有意思的是,中西方的不足之处也一样:在欧几里得所处的时代,双方都没有办法得到球的体积公式,也没有能够求得圆周率的高精度近似值。也正是由于这个原因,推求球体的体积公式与求圆周率的高精度近似值一样,成为此后数百年里中西方古代数学领域的重要问题。
在确立球体积公式方面,中西方都做出了很有意思的工作。西方的球体积公式由阿基米德于公元前200余年率先得到,而据唐初李淳风的记述,祖冲之的儿子祖暅之(后文依学界习惯称为祖暅)用刘徽提出的方法第1个推导出了正确的球体积公式。这个问题的解决,虽然中国比西方迟了六七百年,但中西方2个证明都非常非常精彩。因此,我们将在下文具体介绍这2个证明。需要在这里说明的是,阿基米德原本用“物理”的方式来阐述他的证明,我们改用意思等价的“数学”方式来表述。
阿基米德证明球体积公式的做法
祖暅的证明
但是,这个公式是由错误的理论推导出来的错误结果。据记载,这个公式具体的推导过程是:“因为正方形与内切圆的面积比为4/3,而球横竖都是圆形的,所以正方体与内切球的体积比为4/3的平方,因而球体积等于以其直径为边长之正方体体积的9/16。”
东汉的张衡认为这个原始公式是错误的,因此他应用阴阳五行、天圆地方等古代哲学,推导出球体积等于以其直径为边长之正方体体积的5/8。刘徽明确提出“幂势既同,则积不容异”的原理,指出4/3这一比值应该明确修正为4:π。更重要的是,刘徽构造合盖,并应用合盖证明原始公式的推导错误,为祖暅后来的证明提供了思路。此外,刘徽还证明张衡所推导出的公式实际上比原始公式的误差更大,并对张衡不顾事实、一味迷信哲学的伪科学方法进行了严肃的批评。
从以上我们可以看到,阿基米德的证明,以及我国那个错误的推导,都已经事实上应用了所谓的“祖暅原理”。阿基米德原始的“物理”证明只是含蓄地包含这个原理,并没有对该原理的明确表达;而我国那个错误的推导则出自刘徽的阐释,其本来是否应用此原理并没有切实的证据。与之不同地,《九章算术》清楚地表明,刘徽明确提出了比所谓“祖暅原理”更一般化的原理。正因为这个原因,现在有些数学史专家认为,“祖暅原理”应该改称为“刘徽原理”或“刘祖原理”。然而,无论这个原理如何命名,我们都很有理由认为:无论在古代中国或者古希腊,它都很早就被认为是正确的了。
更有意思的是,中西方的不足之处也一样:在欧几里得所处的时代,双方都没有办法得到球的体积公式,也没有能够求得圆周率的高精度近似值。也正是由于这个原因,推求球体的体积公式与求圆周率的高精度近似值一样,成为此后数百年里中西方古代数学领域的重要问题。
在确立球体积公式方面,中西方都做出了很有意思的工作。西方的球体积公式由阿基米德于公元前200余年率先得到,而据唐初李淳风的记述,祖冲之的儿子祖暅之(后文依学界习惯称为祖暅)用刘徽提出的方法第1个推导出了正确的球体积公式。这个问题的解决,虽然中国比西方迟了六七百年,但中西方2个证明都非常非常精彩。因此,我们将在下文具体介绍这2个证明。需要在这里说明的是,阿基米德原本用“物理”的方式来阐述他的证明,我们改用意思等价的“数学”方式来表述。
阿基米德证明球体积公式的做法
祖暅的证明
但是,这个公式是由错误的理论推导出来的错误结果。据记载,这个公式具体的推导过程是:“因为正方形与内切圆的面积比为4/3,而球横竖都是圆形的,所以正方体与内切球的体积比为4/3的平方,因而球体积等于以其直径为边长之正方体体积的9/16。”
东汉的张衡认为这个原始公式是错误的,因此他应用阴阳五行、天圆地方等古代哲学,推导出球体积等于以其直径为边长之正方体体积的5/8。刘徽明确提出“幂势既同,则积不容异”的原理,指出4/3这一比值应该明确修正为4:π。更重要的是,刘徽构造合盖,并应用合盖证明原始公式的推导错误,为祖暅后来的证明提供了思路。此外,刘徽还证明张衡所推导出的公式实际上比原始公式的误差更大,并对张衡不顾事实、一味迷信哲学的伪科学方法进行了严肃的批评。
从以上我们可以看到,阿基米德的证明,以及我国那个错误的推导,都已经事实上应用了所谓的“祖暅原理”。阿基米德原始的“物理”证明只是含蓄地包含这个原理,并没有对该原理的明确表达;而我国那个错误的推导则出自刘徽的阐释,其本来是否应用此原理并没有切实的证据。与之不同地,《九章算术》清楚地表明,刘徽明确提出了比所谓“祖暅原理”更一般化的原理。正因为这个原因,现在有些数学史专家认为,“祖暅原理”应该改称为“刘徽原理”或“刘祖原理”。然而,无论这个原理如何命名,我们都很有理由认为:无论在古代中国或者古希腊,它都很早就被认为是正确的了。