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解析几何是每年高考的重点与难点,学生对解析几何题“望而生畏”的原因,在于解析几何具备了双重身份及代数身份与几何身份.代数身份要求学生有较强的运算能力与处理多元变量的能力,几何身份要求学生对曲线、图形有较强的几何条件与分析能力,所以提高学生解决解析题的能力是一项艰巨及深远的任务.点差法,设而不求是解析几何的基本方法,能运用这些基本方法的关键是必须有一定数学思想的积淀,而解析几何中常用的数学思想较多有数形结合思想,函数与方程思想,分类讨论思想,等价化归思想,整体思想等.数学思想是数学的精髓,学生只有理解了数学思想,才能有效地运用数学理论解决问题,进行数学思维.如何在平时教学中渗透数学思想?
一、思想引领方法,燃起学习数学思想的欲望
学习了解析几何的第一章直线以后,高二学生对待定系数法有了进一步的认识,在第二章圆的学习中,应该说是“顺水推舟”了.
例1 求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被直线x-y=0所截弦长为2的圆的方程
分析 待定系数法运用的过程,即是方程思想的运用过程.有几个“等待”确定的未知量,即需由题设条件列几个方程.在圆的方程中有三个量a,b,r只需由题设条件列出有关a,b,r的三个方程.在方程思想的引领下,待定系数法的运用就非常自如.数学思想是对数学理论的本质的认识,而数学方法则是其数学理论的具体化.
二、在碰壁中归纳,竟显数学思想的身价
数形结合思想,方程思想的学习对高二学生来说并不是很困难,但在选修2-1的圆锥曲线中,对学生的数学思想,数学能力的要求就有了进一步提高.如在求解离心率,渐近线时,学生觉得有困难,这时在例题讲解时,归纳数学思想方法就很有必要.以不变的数学思想方法解决形形色色的各种题,让他们胸有成竹,信心倍增.
例2 设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的一个交点为p,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 .
分析 求离心率即求的是a,c两量的关系,这个目标先应让学生清楚.把求离心率的问题转化成求a,c两量关系问题,而从题设中得到的可能是a,b,c三量之间的关系,此时只需要把b用a,c表示即可.
解一 利用椭圆定义直接找a,c关系.
∵△F1PF2为等腰三角形.
∴|PF2|=2C,|PF1|=2 2 C.
∵|PF1| |PF2|=2a, 即 2 2 C 2C=2a,∴( 2 1)C=a,∴e= c a = 1 2 1 = 2 -1.
解二 P c, b2 a ,∵△F1PF2为等腰三角形,∴|PF2|= F1F2 ,∴ b2 a =2C∴b2=2ac.∴a2-c2=2ac.∴e2 2e-1=0∴e= 2 -1.
例3 (2010浙江理科高考第8题)设F1,F2分别为双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1(a.>0,b>0)的左右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|= F1F2 且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则双曲线的渐近线方程为( ).
A.3x±4y=0 B.3x±5y=0
C.4x±3y=0 D.5x±4y=0
分析 求渐近线方程y=± b a x,即找a,b两量关系,与离心率一样转化成求a,b,c三量之间的关系.过F2作PO⊥PF1,O为PF1中点F2又到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a∴ F2O =2a,∴ PO = 4c2-4a2 =2b.∴|PF1|=4b.再利用双曲线定义即找到了a,b,c三量关系,∴|PF1|-|PF2|=2a.∴4b-2c=2a∴c2=(2b-a)2.
∴a2 b2=4b2 a2-4ab.∴3b2=4ab.∴ b a = 4 3 .
归纳:(1)题中运用了数形结合思想,转化思想,求离心率,渐近线问题转化成求a,b,c三量关系.
(2)寻找a,b,c关系,通常从两个方向进行“几何与代数”,分析题设条件,充分挖掘几何条件.
通过实例归纳,体会数学思想,让学生从心底感受到在不变的数学思想下,方法才得到实现,实实在在感受到数学思想力量的强大.
三、在反思中巩固,体会数学思想的力量
1.多法并举,不断深化
方程的方法和数形结合的方法是解决解析几何问题的两大方向,这两种方法都要求学生在平时训练中,尝试,比较.在练习,比较中让他们体会利用方程解决问题时必须注重严密性,利用数形结合时要充分利用几何性质,体会它的优越性.通过一题多解,一题多变,拓展延伸的训练,引导学生多方位,多视角思考问题,发现问题.教会学生如何进行多角度转化,如何获得解题思路,掌握数学思想.
例4 如图,M是抛物线y2=4x上一点,F是抛物线的焦点,以Fx为始边,FM为终边的角∠xFM=60°,求 FM .
解一 过M作MN⊥准线,垂足为N,记准线与x轴交点为T
∵∠xFM=60°,
∴∠NMF=60°, MN = MF .
∴△MNF为正三角形.∴∠NFT=60°.
在Rt△NTF中 TF =2,∴ NF = MF =4.
解二(方程思想) 过M作MS⊥x轴于S
令 MF =t,则 MN =t,△MSF中∠MFS=60°.∴ FS = t 2 . TS = TF FS ,得 t 2 2=t,解得t=4.
解三 直线MF方程为:y= 3 (x-1)设M(x1,y1).∴y= 3 (x-1).
y2=4x,消y得:3x2-10x 3=0.解得x1=3,x2= 1 3 (舍).∴ MF =3 1=4.
2.纠错反思,及时巩固
“失败是成功之母”,错了以后要让学生反思此题考查了什么思想方法,以后会运用这种思想方法的时候要注意什么?解题后反思能够培养学生良好的思维品质,既可促进“双基”的掌握,又能加强知识的有效迁移,是提高解题能力的重要途径,有了良好的思维品质,就有了良好的思维习惯,通过反思让学生在不断的知识联系和整合中,丰富认知结构中的内容.通过不断地反思总结,才能及时巩固并运用数学思想,才能在解题时做到有的放矢,思维优化.
四、在运用中提升,感受数学思想方法的强大
例5 设二次函数f(x)=ax2 (2b 1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在 3,4 上至少有一个零点,求 a2 b2的最小值.
解 把等式看成关于a,b的直线: (x2-1)a 2xb x-2=0利用直线上的一点到原点的距离大于原点到直线的距离,即 a2 b2 ≥ |x-2|[] (x2-1)2 (2x)2 .
∴ a2 b2≥ (x-2)2 (x2-1)2 (2x)2 = 1 (x-2) 5 x-2 4 2 ≥ 1 100 ,∵x-2 5 x-2 ,x∈ 3,4 是减函数,∴当且仅当x=3时取最小值 1 100
此题巧用了a2 b2的几何意义.把看似函数零点的问题,从几何角度,转化成求点到直线的距离问题,利用转化思想使题目焕然一新,当然还可用函数,方程求解.让学生在运用中感受数学思想的强大,感受成功的喜悦.
兴趣是最好的老师.在教学过程中,根据学情设计教学思想的教学目标,结合教学内容适时渗透,及时总结,反复强化,激发学生学习数学的兴趣,提高学习数学的热情.用数学思想武装学生,使学生真正成为数学的主人.
一、思想引领方法,燃起学习数学思想的欲望
学习了解析几何的第一章直线以后,高二学生对待定系数法有了进一步的认识,在第二章圆的学习中,应该说是“顺水推舟”了.
例1 求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上,且被直线x-y=0所截弦长为2的圆的方程
分析 待定系数法运用的过程,即是方程思想的运用过程.有几个“等待”确定的未知量,即需由题设条件列几个方程.在圆的方程中有三个量a,b,r只需由题设条件列出有关a,b,r的三个方程.在方程思想的引领下,待定系数法的运用就非常自如.数学思想是对数学理论的本质的认识,而数学方法则是其数学理论的具体化.
二、在碰壁中归纳,竟显数学思想的身价
数形结合思想,方程思想的学习对高二学生来说并不是很困难,但在选修2-1的圆锥曲线中,对学生的数学思想,数学能力的要求就有了进一步提高.如在求解离心率,渐近线时,学生觉得有困难,这时在例题讲解时,归纳数学思想方法就很有必要.以不变的数学思想方法解决形形色色的各种题,让他们胸有成竹,信心倍增.
例2 设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交,其中的一个交点为p,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 .
分析 求离心率即求的是a,c两量的关系,这个目标先应让学生清楚.把求离心率的问题转化成求a,c两量关系问题,而从题设中得到的可能是a,b,c三量之间的关系,此时只需要把b用a,c表示即可.
解一 利用椭圆定义直接找a,c关系.
∵△F1PF2为等腰三角形.
∴|PF2|=2C,|PF1|=2 2 C.
∵|PF1| |PF2|=2a, 即 2 2 C 2C=2a,∴( 2 1)C=a,∴e= c a = 1 2 1 = 2 -1.
解二 P c, b2 a ,∵△F1PF2为等腰三角形,∴|PF2|= F1F2 ,∴ b2 a =2C∴b2=2ac.∴a2-c2=2ac.∴e2 2e-1=0∴e= 2 -1.
例3 (2010浙江理科高考第8题)设F1,F2分别为双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1(a.>0,b>0)的左右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|= F1F2 且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则双曲线的渐近线方程为( ).
A.3x±4y=0 B.3x±5y=0
C.4x±3y=0 D.5x±4y=0
分析 求渐近线方程y=± b a x,即找a,b两量关系,与离心率一样转化成求a,b,c三量之间的关系.过F2作PO⊥PF1,O为PF1中点F2又到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a∴ F2O =2a,∴ PO = 4c2-4a2 =2b.∴|PF1|=4b.再利用双曲线定义即找到了a,b,c三量关系,∴|PF1|-|PF2|=2a.∴4b-2c=2a∴c2=(2b-a)2.
∴a2 b2=4b2 a2-4ab.∴3b2=4ab.∴ b a = 4 3 .
归纳:(1)题中运用了数形结合思想,转化思想,求离心率,渐近线问题转化成求a,b,c三量关系.
(2)寻找a,b,c关系,通常从两个方向进行“几何与代数”,分析题设条件,充分挖掘几何条件.
通过实例归纳,体会数学思想,让学生从心底感受到在不变的数学思想下,方法才得到实现,实实在在感受到数学思想力量的强大.
三、在反思中巩固,体会数学思想的力量
1.多法并举,不断深化
方程的方法和数形结合的方法是解决解析几何问题的两大方向,这两种方法都要求学生在平时训练中,尝试,比较.在练习,比较中让他们体会利用方程解决问题时必须注重严密性,利用数形结合时要充分利用几何性质,体会它的优越性.通过一题多解,一题多变,拓展延伸的训练,引导学生多方位,多视角思考问题,发现问题.教会学生如何进行多角度转化,如何获得解题思路,掌握数学思想.
例4 如图,M是抛物线y2=4x上一点,F是抛物线的焦点,以Fx为始边,FM为终边的角∠xFM=60°,求 FM .
解一 过M作MN⊥准线,垂足为N,记准线与x轴交点为T
∵∠xFM=60°,
∴∠NMF=60°, MN = MF .
∴△MNF为正三角形.∴∠NFT=60°.
在Rt△NTF中 TF =2,∴ NF = MF =4.
解二(方程思想) 过M作MS⊥x轴于S
令 MF =t,则 MN =t,△MSF中∠MFS=60°.∴ FS = t 2 . TS = TF FS ,得 t 2 2=t,解得t=4.
解三 直线MF方程为:y= 3 (x-1)设M(x1,y1).∴y= 3 (x-1).
y2=4x,消y得:3x2-10x 3=0.解得x1=3,x2= 1 3 (舍).∴ MF =3 1=4.
2.纠错反思,及时巩固
“失败是成功之母”,错了以后要让学生反思此题考查了什么思想方法,以后会运用这种思想方法的时候要注意什么?解题后反思能够培养学生良好的思维品质,既可促进“双基”的掌握,又能加强知识的有效迁移,是提高解题能力的重要途径,有了良好的思维品质,就有了良好的思维习惯,通过反思让学生在不断的知识联系和整合中,丰富认知结构中的内容.通过不断地反思总结,才能及时巩固并运用数学思想,才能在解题时做到有的放矢,思维优化.
四、在运用中提升,感受数学思想方法的强大
例5 设二次函数f(x)=ax2 (2b 1)x-a-2(a,b∈R,a≠0)在 3,4 上至少有一个零点,求 a2 b2的最小值.
解 把等式看成关于a,b的直线: (x2-1)a 2xb x-2=0利用直线上的一点到原点的距离大于原点到直线的距离,即 a2 b2 ≥ |x-2|[] (x2-1)2 (2x)2 .
∴ a2 b2≥ (x-2)2 (x2-1)2 (2x)2 = 1 (x-2) 5 x-2 4 2 ≥ 1 100 ,∵x-2 5 x-2 ,x∈ 3,4 是减函数,∴当且仅当x=3时取最小值 1 100
此题巧用了a2 b2的几何意义.把看似函数零点的问题,从几何角度,转化成求点到直线的距离问题,利用转化思想使题目焕然一新,当然还可用函数,方程求解.让学生在运用中感受数学思想的强大,感受成功的喜悦.
兴趣是最好的老师.在教学过程中,根据学情设计教学思想的教学目标,结合教学内容适时渗透,及时总结,反复强化,激发学生学习数学的兴趣,提高学习数学的热情.用数学思想武装学生,使学生真正成为数学的主人.