论文部分内容阅读
解析几何是每年高考的重点与难点，学生对解析几何题“望而生畏”的原因，在于解析几何具备了双重身份及代数身份与几何身份.代数身份要求学生有较强的运算能力与处理多元变量的能力，几何身份要求学生对曲线、图形有较强的几何条件与分析能力，所以提高学生解决解析题的能力是一项艰巨及深远的任务.点差法，设而不求是解析几何的基本方法，能运用这些基本方法的关键是必须有一定数学思想的积淀，而解析几何中常用的数学思想较多有数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想，等价化归思想，整体思想等.数学思想是数学的精髓，学生只有理解了数学思想，才能有效地运用数学理论解决问题，进行数学思维.如何在平时教学中渗透数学思想？
一、思想引领方法，燃起学习数学思想的欲望
学习了解析几何的第一章直线以后，高二学生对待定系数法有了进一步的认识，在第二章圆的学习中，应该说是“顺水推舟”了.
例1 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0所截弦长为2的圆的方程
分析 待定系数法运用的过程，即是方程思想的运用过程.有几个“等待”确定的未知量，即需由题设条件列几个方程.在圆的方程中有三个量a，b，r只需由题设条件列出有关a，b，r的三个方程.在方程思想的引领下，待定系数法的运用就非常自如.数学思想是对数学理论的本质的认识，而数学方法则是其数学理论的具体化.
二、在碰壁中归纳，竟显数学思想的身价
数形结合思想，方程思想的学习对高二学生来说并不是很困难，但在选修2-1的圆锥曲线中，对学生的数学思想，数学能力的要求就有了进一步提高.如在求解离心率，渐近线时，学生觉得有困难，这时在例题讲解时，归纳数学思想方法就很有必要.以不变的数学思想方法解决形形色色的各种题，让他们胸有成竹，信心倍增.
例2 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为p，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 .
分析 求离心率即求的是a，c两量的关系，这个目标先应让学生清楚.把求离心率的问题转化成求a，c两量关系问题，而从题设中得到的可能是a，b，c三量之间的关系，此时只需要把b用a，c表示即可.
解一 利用椭圆定义直接找a，c关系.
∵△F1PF2为等腰三角形.
∴|PF2|=2C，|PF1|=2 2 C.
∵|PF1| |PF2|=2a， 即 2 2 C 2C=2a，∴（ 2 1）C=a，∴e= c a = 1 2 1 = 2 -1.
解二 P c， b2 a ，∵△F1PF2为等腰三角形，∴|PF2|= F1F2 ，∴ b2 a =2C∴b2=2ac.∴a2-c2=2ac.∴e2 2e-1=0∴e= 2 -1.
例3 （2010浙江理科高考第8题）设F1，F2分别为双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1（a.>0，b>0）的左右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|= F1F2 且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线的渐近线方程为（ ）.
A.3x±4y=0 B.3x±5y=0
C.4x±3y=0 D.5x±4y=0
分析 求渐近线方程y=± b a x，即找a，b两量关系，与离心率一样转化成求a，b，c三量之间的关系.过F2作PO⊥PF1，O为PF1中点F2又到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a∴ F2O =2a，∴ PO = 4c2-4a2 =2b.∴|PF1|=4b.再利用双曲线定义即找到了a，b，c三量关系，∴|PF1|-|PF2|=2a.∴4b-2c=2a∴c2=（2b-a）2.
∴a2 b2=4b2 a2-4ab.∴3b2=4ab.∴ b a = 4 3 .
归纳：（1）题中运用了数形结合思想，转化思想，求离心率，渐近线问题转化成求a，b，c三量关系.
（2）寻找a，b，c关系，通常从两个方向进行“几何与代数”，分析题设条件，充分挖掘几何条件.
通过实例归纳，体会数学思想，让学生从心底感受到在不变的数学思想下，方法才得到实现，实实在在感受到数学思想力量的强大.
三、在反思中巩固，体会数学思想的力量
1.多法并举，不断深化
方程的方法和数形结合的方法是解决解析几何问题的两大方向，这两种方法都要求学生在平时训练中，尝试，比较.在练习，比较中让他们体会利用方程解决问题时必须注重严密性，利用数形结合时要充分利用几何性质，体会它的优越性.通过一题多解，一题多变，拓展延伸的训练，引导学生多方位，多视角思考问题，发现问题.教会学生如何进行多角度转化，如何获得解题思路，掌握数学思想.
例4 如图，M是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角∠xFM=60°，求 FM .
解一 过M作MN⊥准线，垂足为N，记准线与x轴交点为T
∵∠xFM=60°，
∴∠NMF=60°， MN = MF .
∴△MNF为正三角形.∴∠NFT=60°.
在Rt△NTF中 TF =2，∴ NF = MF =4.
解二（方程思想） 过M作MS⊥x轴于S
令 MF =t，则 MN =t，△MSF中∠MFS=60°.∴ FS = t 2 . TS = TF FS ，得 t 2 2=t，解得t=4.
解三 直线MF方程为：y= 3 （x-1）设M（x1，y1）.∴y= 3 （x-1）.
y2=4x，消y得：3x2-10x 3=0.解得x1=3，x2= 1 3 （舍）.∴ MF =3 1=4.
2.纠错反思，及时巩固
“失败是成功之母”，错了以后要让学生反思此题考查了什么思想方法，以后会运用这种思想方法的时候要注意什么？解题后反思能够培养学生良好的思维品质，既可促进“双基”的掌握，又能加强知识的有效迁移，是提高解题能力的重要途径，有了良好的思维品质，就有了良好的思维习惯，通过反思让学生在不断的知识联系和整合中，丰富认知结构中的内容.通过不断地反思总结，才能及时巩固并运用数学思想，才能在解题时做到有的放矢，思维优化.
四、在运用中提升，感受数学思想方法的强大
例5 设二次函数f（x）=ax2 （2b 1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在 3，4 上至少有一个零点，求 a2 b2的最小值.
解 把等式看成关于a，b的直线： （x2-1）a 2xb x-2=0利用直线上的一点到原点的距离大于原点到直线的距离，即 a2 b2 ≥ |x-2|[] （x2-1）2 （2x）2 .
∴ a2 b2≥ （x-2）2 （x2-1）2 （2x）2 = 1 （x-2） 5 x-2 4 2 ≥ 1 100 ，∵x-2 5 x-2 ，x∈ 3，4 是减函数，∴当且仅当x=3时取最小值 1 100
此题巧用了a2 b2的几何意义.把看似函数零点的问题，从几何角度，转化成求点到直线的距离问题，利用转化思想使题目焕然一新，当然还可用函数，方程求解.让学生在运用中感受数学思想的强大，感受成功的喜悦.
兴趣是最好的老师.在教学过程中，根据学情设计教学思想的教学目标，结合教学内容适时渗透，及时总结，反复强化，激发学生学习数学的兴趣，提高学习数学的热情.用数学思想武装学生，使学生真正成为数学的主人.
一、思想引领方法，燃起学习数学思想的欲望
学习了解析几何的第一章直线以后，高二学生对待定系数法有了进一步的认识，在第二章圆的学习中，应该说是“顺水推舟”了.
例1 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0所截弦长为2的圆的方程
分析 待定系数法运用的过程，即是方程思想的运用过程.有几个“等待”确定的未知量，即需由题设条件列几个方程.在圆的方程中有三个量a，b，r只需由题设条件列出有关a，b，r的三个方程.在方程思想的引领下，待定系数法的运用就非常自如.数学思想是对数学理论的本质的认识，而数学方法则是其数学理论的具体化.
二、在碰壁中归纳，竟显数学思想的身价
数形结合思想，方程思想的学习对高二学生来说并不是很困难，但在选修2-1的圆锥曲线中，对学生的数学思想，数学能力的要求就有了进一步提高.如在求解离心率，渐近线时，学生觉得有困难，这时在例题讲解时，归纳数学思想方法就很有必要.以不变的数学思想方法解决形形色色的各种题，让他们胸有成竹，信心倍增.
例2 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为p，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 .
分析 求离心率即求的是a，c两量的关系，这个目标先应让学生清楚.把求离心率的问题转化成求a，c两量关系问题，而从题设中得到的可能是a，b，c三量之间的关系，此时只需要把b用a，c表示即可.
解一 利用椭圆定义直接找a，c关系.
∵△F1PF2为等腰三角形.
∴|PF2|=2C，|PF1|=2 2 C.
∵|PF1| |PF2|=2a， 即 2 2 C 2C=2a，∴（ 2 1）C=a，∴e= c a = 1 2 1 = 2 -1.
解二 P c， b2 a ，∵△F1PF2为等腰三角形，∴|PF2|= F1F2 ，∴ b2 a =2C∴b2=2ac.∴a2-c2=2ac.∴e2 2e-1=0∴e= 2 -1.
例3 （2010浙江理科高考第8题）设F1，F2分别为双曲线 x2 a2 - y2 b2 =1（a.>0，b>0）的左右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|= F1F2 且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则双曲线的渐近线方程为（ ）.
A.3x±4y=0 B.3x±5y=0
C.4x±3y=0 D.5x±4y=0
分析 求渐近线方程y=± b a x，即找a，b两量关系，与离心率一样转化成求a，b，c三量之间的关系.过F2作PO⊥PF1，O为PF1中点F2又到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a∴ F2O =2a，∴ PO = 4c2-4a2 =2b.∴|PF1|=4b.再利用双曲线定义即找到了a，b，c三量关系，∴|PF1|-|PF2|=2a.∴4b-2c=2a∴c2=（2b-a）2.
∴a2 b2=4b2 a2-4ab.∴3b2=4ab.∴ b a = 4 3 .
归纳：（1）题中运用了数形结合思想，转化思想，求离心率，渐近线问题转化成求a，b，c三量关系.
（2）寻找a，b，c关系，通常从两个方向进行“几何与代数”，分析题设条件，充分挖掘几何条件.
通过实例归纳，体会数学思想，让学生从心底感受到在不变的数学思想下，方法才得到实现，实实在在感受到数学思想力量的强大.
三、在反思中巩固，体会数学思想的力量
1.多法并举，不断深化
方程的方法和数形结合的方法是解决解析几何问题的两大方向，这两种方法都要求学生在平时训练中，尝试，比较.在练习，比较中让他们体会利用方程解决问题时必须注重严密性，利用数形结合时要充分利用几何性质，体会它的优越性.通过一题多解，一题多变，拓展延伸的训练，引导学生多方位，多视角思考问题，发现问题.教会学生如何进行多角度转化，如何获得解题思路，掌握数学思想.
例4 如图，M是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角∠xFM=60°，求 FM .
解一 过M作MN⊥准线，垂足为N，记准线与x轴交点为T
∵∠xFM=60°，
∴∠NMF=60°， MN = MF .
∴△MNF为正三角形.∴∠NFT=60°.
在Rt△NTF中 TF =2，∴ NF = MF =4.
解二（方程思想） 过M作MS⊥x轴于S
令 MF =t，则 MN =t，△MSF中∠MFS=60°.∴ FS = t 2 . TS = TF FS ，得 t 2 2=t，解得t=4.
解三 直线MF方程为：y= 3 （x-1）设M（x1，y1）.∴y= 3 （x-1）.
y2=4x，消y得：3x2-10x 3=0.解得x1=3，x2= 1 3 （舍）.∴ MF =3 1=4.
2.纠错反思，及时巩固
“失败是成功之母”，错了以后要让学生反思此题考查了什么思想方法，以后会运用这种思想方法的时候要注意什么？解题后反思能够培养学生良好的思维品质，既可促进“双基”的掌握，又能加强知识的有效迁移，是提高解题能力的重要途径，有了良好的思维品质，就有了良好的思维习惯，通过反思让学生在不断的知识联系和整合中，丰富认知结构中的内容.通过不断地反思总结，才能及时巩固并运用数学思想，才能在解题时做到有的放矢，思维优化.
四、在运用中提升，感受数学思想方法的强大
例5 设二次函数f（x）=ax2 （2b 1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在 3，4 上至少有一个零点，求 a2 b2的最小值.
解 把等式看成关于a，b的直线： （x2-1）a 2xb x-2=0利用直线上的一点到原点的距离大于原点到直线的距离，即 a2 b2 ≥ |x-2|[] （x2-1）2 （2x）2 .
∴ a2 b2≥ （x-2）2 （x2-1）2 （2x）2 = 1 （x-2） 5 x-2 4 2 ≥ 1 100 ，∵x-2 5 x-2 ，x∈ 3，4 是减函数，∴当且仅当x=3时取最小值 1 100
此题巧用了a2 b2的几何意义.把看似函数零点的问题，从几何角度，转化成求点到直线的距离问题，利用转化思想使题目焕然一新，当然还可用函数，方程求解.让学生在运用中感受数学思想的强大，感受成功的喜悦.
兴趣是最好的老师.在教学过程中，根据学情设计教学思想的教学目标，结合教学内容适时渗透，及时总结，反复强化，激发学生学习数学的兴趣，提高学习数学的热情.用数学思想武装学生，使学生真正成为数学的主人.