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摘要:本文针对一位作者对另一位作者公开发表的一道题的解法的评议,指出这位作者的评议将一个正确的解法纠为错误的解法,分析其纠错而产生的错误的原因并给出反例,提出对于结论正确而解法错误的解题过程要仔细推敲,严防“重结果轻过程”带来的负面效应.
关键词:纠正为错;正确的差错
问题提出
?摇石亮发表在《数学通报》上的文章《一个学习疑难问题的成因分析》,以问题“已知x∈[-1,1]时,f(x)=x2-ax+>0恒成立,求实数a的取值范围”为例,采取数形结合和分类讨论的解题教学方法,阐述“处理问题时切不可‘滑过’,而要‘循序渐进’”. 杨飞在人大复印报刊资料《高中数学教与学》上发表的文章《改进解题教学 减少学习疑难》一文中,对石亮的文章进行了尖刻的评议:“这样的文章给教学一线的数学教师感受是‘荒唐可笑’的.”并进一步质问“此问题一定要分类讨论吗?一定要数形结合吗?按二次函数对称轴与区间的位置关系进行分类,学困生能做到吗?”他认为“此题本是一个简单问题,由于教师落后的解题教学,…,是教师人为制造的困难.” 他之后,给出该题的一种简单解答:
当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,等价于f(x)>0.
又f(x)min=minf(1),f(-1),f,所以f(1)>0,f(-1)>0,f>0,解得0 对此,笔者对上述的评议有异议.
问题解析
1. 该“简单解答”存在问题
问题出在f(x)min=minf(1),f(-1),f.
若f(1)>0,f(-1)>0,f>0, 则必有f(x)>0在x∈[-1,1]时恒成立;
反之,f(x)>0在x∈[-1,1]时恒成立,并非一定要f>0.
石亮对该题的处理并无不妥.
2. “结论正确,解法错误 ”的原因
实际上,由f(x)=x2-ax+>0(x∈[-1,1])恒成立的必要条件f(1)>0,f(-1)>0, 得- 3. 按“简单解答”得出的错误结论的例子
结合上述分析,只要使由f(1)>0且f(-1)>0所限定的抛物线对称轴不在区间[-1,1]内可举出反例,就能说明杨飞的解法确实是错误的. 如将函数改为f(x)=x2-ax++8. 按照杨飞的方法,由f>0,且f(1)>0,f(-1)>0,解得1- 由f(1)>0且f(-1)>0,得-6 当-60,所以f(x)>0在x∈[-1,1]时恒成立;
当2≤a<18,即1≤<9时,又f(1)>0,所以f(x)>0在x∈[-1,1]时恒成立;
当-20,得1-0在x∈[-1,1]时恒成立;
?摇综上可知,当-60在x∈[-1,1]时恒成立.
?摇这个问题中a的取值范围又是由f(1)>0,且f(-1)>0得到,能不能把它作为“简单解答”?显然也不能.
思考
对待数学解题中的差错可以包容些,但我们应指出来. 华罗庚先生曾通俗地说“数学工作者,从来没有不算错题的,…,错误是难免要发生的,但不能因此降低要求,既然出现了错误,就应该引以为教训.” 杨飞一文的 “纠正为错”,其“简单解答”能被n次“认可”,一个十分重要的原因是其“结论正确”. 有人认为杨飞一文的质量太低,不值得反驳,但鉴于该文被反复转载,笔者认为有必要提醒. 当前,各方都强调重教育要从“重结果轻过程”中走出来,我们能否从小事做起,从解一个具体的数学习题这个“渺小”的事做起?就数学教学而言,数学教学过程中“谨防结论正确的差错”要贯穿于课堂教学、作业批改、阅卷等全过程. 这既是数学理解的需要,同时教师也必须认识到,如果处理不当,它会强化学生所犯的错误. 教师应该在平实中反思,不断积累经验和教训,踏实落实新课程的教学理念.
关键词:纠正为错;正确的差错
问题提出
?摇石亮发表在《数学通报》上的文章《一个学习疑难问题的成因分析》,以问题“已知x∈[-1,1]时,f(x)=x2-ax+>0恒成立,求实数a的取值范围”为例,采取数形结合和分类讨论的解题教学方法,阐述“处理问题时切不可‘滑过’,而要‘循序渐进’”. 杨飞在人大复印报刊资料《高中数学教与学》上发表的文章《改进解题教学 减少学习疑难》一文中,对石亮的文章进行了尖刻的评议:“这样的文章给教学一线的数学教师感受是‘荒唐可笑’的.”并进一步质问“此问题一定要分类讨论吗?一定要数形结合吗?按二次函数对称轴与区间的位置关系进行分类,学困生能做到吗?”他认为“此题本是一个简单问题,由于教师落后的解题教学,…,是教师人为制造的困难.” 他之后,给出该题的一种简单解答:
当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,等价于f(x)>0.
又f(x)min=minf(1),f(-1),f,所以f(1)>0,f(-1)>0,f>0,解得0 对此,笔者对上述的评议有异议.
问题解析
1. 该“简单解答”存在问题
问题出在f(x)min=minf(1),f(-1),f.
若f(1)>0,f(-1)>0,f>0, 则必有f(x)>0在x∈[-1,1]时恒成立;
反之,f(x)>0在x∈[-1,1]时恒成立,并非一定要f>0.
石亮对该题的处理并无不妥.
2. “结论正确,解法错误 ”的原因
实际上,由f(x)=x2-ax+>0(x∈[-1,1])恒成立的必要条件f(1)>0,f(-1)>0, 得- 3. 按“简单解答”得出的错误结论的例子
结合上述分析,只要使由f(1)>0且f(-1)>0所限定的抛物线对称轴不在区间[-1,1]内可举出反例,就能说明杨飞的解法确实是错误的. 如将函数改为f(x)=x2-ax++8. 按照杨飞的方法,由f>0,且f(1)>0,f(-1)>0,解得1- 由f(1)>0且f(-1)>0,得-6 当-60,所以f(x)>0在x∈[-1,1]时恒成立;
当2≤a<18,即1≤<9时,又f(1)>0,所以f(x)>0在x∈[-1,1]时恒成立;
当-20,得1-0在x∈[-1,1]时恒成立;
?摇综上可知,当-60在x∈[-1,1]时恒成立.
?摇这个问题中a的取值范围又是由f(1)>0,且f(-1)>0得到,能不能把它作为“简单解答”?显然也不能.
思考
对待数学解题中的差错可以包容些,但我们应指出来. 华罗庚先生曾通俗地说“数学工作者,从来没有不算错题的,…,错误是难免要发生的,但不能因此降低要求,既然出现了错误,就应该引以为教训.” 杨飞一文的 “纠正为错”,其“简单解答”能被n次“认可”,一个十分重要的原因是其“结论正确”. 有人认为杨飞一文的质量太低,不值得反驳,但鉴于该文被反复转载,笔者认为有必要提醒. 当前,各方都强调重教育要从“重结果轻过程”中走出来,我们能否从小事做起,从解一个具体的数学习题这个“渺小”的事做起?就数学教学而言,数学教学过程中“谨防结论正确的差错”要贯穿于课堂教学、作业批改、阅卷等全过程. 这既是数学理解的需要,同时教师也必须认识到,如果处理不当,它会强化学生所犯的错误. 教师应该在平实中反思,不断积累经验和教训,踏实落实新课程的教学理念.