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摘 要：南开大学的顾沛教授曾说过：“数学思想的渗透，应该是长期的，应该从小学一年级开始。” 修订人教版在低年级的教材编排上是处处体现画图策略，让抽象的难以理解的数学问题转化成直观画图呈现，为上课教师在课堂中渗透数形结合思想提供了很好的教学素材，让老师们轻松找到解决方案。
关键词：画图;数形结合;数量关系
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这道出数形結合思想在数学科目中的重要地位。小学低年级学生识字量比较少，理解能力弱，具体形象思维为主导，抽象思维未发展完善。这些因素都影响着学生对数学问题的有效解决。而画图这一操作活动，就是把抽象、复杂的文字转化为直观、形象的图画，在图中整合各种信息，理解题意，分析数量关系，以最终达到解题的目的。[1]特别地，低年级学生的逻辑思维能力还比较弱。针对这一点，修订人教版教材的编排上处处体现结合画图策略，让抽象的难解的数学问题都一一用直观画图呈现。这种编排给上课教师在课堂中渗透数形结合思想提供很好的教学素材，让老师们轻松找到解决方案。作为低年级老师不妨好好地挖掘教材，让孩子从一年级开始在画图的助力下感受数学思想的魅力。
一、数形结合懂算理
在小学低年级的数学教学中，计算比重大，学生计算的速度、准确率是判断学生学习好环的重要因素。在计算教学中教师要善于引导学生理解算理，在明确算理的同时重点掌握计算方法，最后形成属于自己的计算技能。
一年级数学是小学学习数学的基础阶段。在图片、学具的助力下将数形结合的思想完全融入教学中，在帮助学生明确算理、提高抽象思维、解决实际问题等方面起到了很大的作用。如一年级上册第91页和一年级下册的第10页，都是通过画小圆片让学生跟着画一画、圈一圈，从而理解“凑十法”和“破十法”。“凑十法”从画图上理解先把较少的5个圆形分成2和3，把8个圆形加上分出来的2个凑合成10个，10个圆形再加上剩下的3个是13个，即8+5=13;“破十法”是把15个圆片拆分为10和5，从10中划掉9个，剩下1个再加上5个得6个，即15-9=6. 这样学生从圆片图上就很容易理解和掌握“凑十法”和“破十法”的原理，同时能正确地运用“凑十法”和“破十法”进行计算。这样不仅让学生经历尝试探索的过程，更重要的是通过操作、数形结合理解明确算理。
又如二年级上册P12两位数加一位数，通过画小棒图（先摆3捆和5根小棒表示35，再在5根小棒下摆2根小棒表示2）明白了35+2是35的个位上5个一加2个一即7个一，再加3个十，合起来是37，再结合竖式让学生说算理。教材P13两位数加两位数不进位加法，根据小棒图（先摆3捆和5根小棒表示35，再在下面摆3捆小棒和2根小棒表示32）结合竖式，让学生懂得不进位加法的算理：5个一加2个一是7个一，3个十加3个十是6个十合起来是67，从小棒图上还很容易看出加法的计算法则：相同数位要对齐，从个位加起。在这个画图说算理的过程中，学生不仅理解算理，同时掌握了计算法则。在学习完例题后，我安排了与例题相类似的练习，让学生先独立完成摆小棒说算理，再全班汇报演示讲算理的过程，更进一步加深学生对算理的理解。
又例如二年级上册P52、P54、P55乘法口诀，修订教材上安排了由实物图到点子图再到数字的过渡，教材给学生呈现并经历“具体事物 符号（点子图）表示 学会抽象思维用数学表示”这一逐步符号化的过程，在这个过程中理解乘法口诀算理的同时让学生的直观形象思维往抽象逻辑思维发展。
二、数形结合懂题意
小学低年级学生年龄小识字量比较少，读题理解能力弱，尤其分析能力更加弱，修订版教材的编排上很多例题利用画图帮助孩子读懂题意，从中寻找到解题方法，提高分析问题的能力。[2]这些编排处处体现数形结合思想，让抽象的数学问题通过画图直观化，让学生一看画图就马上可以理解题意并找到解题方法。如二年级上册第63页例7两道题：（1）课室中有4排桌子，每排5张，一共有多少张？（2）有两排桌子，一排5张，另一排4张，一共有多少张？这两题对于二年级的学生来说是很容易混淆的，两道题都有4和5两个数，而且问题也相同;只是两题中的4和5表示的意思不一样。第（1）题4表示桌子的数量有4排，5表示每排桌子数量有5张;第（2）题4表示另一排的桌子数量，5代表一排桌子数量。通过学生自己画图表示，从图中可以看出：要求一共有多少张桌子，都可以用加法解答。但第1题加数相同，所以可以更简洁地列乘法算式4×5解答。第2题因为加数不同，不能用乘法直接解答，所以只能用加法4+5解答。
例如一年级上册P79例6，小丽排第10，小宇排第15，小丽和小宇之间有几人？要求两人之间有几人，像这样的题目，由于一年级学生的理解能力、分析能力还没有形成，学生觉得题目难以理解，用画图联系题意能很快地找出解决方法。在画图过程中孩子更直观地更快地读懂题意理解题意。又例如一年级上册P100思考题：我前面有9人，在我的后面有5人，我们一共有多少人？另外补充练习：从前面往后面数，我排第9个，从后面往前面数，我排第5个，我们一共有几人？这两题都在问一共有几人。不少孩子认为问题一样列式方法也一样，导致这样的原因是孩子们经常会混淆“第几个”和“几个”这两个概念，对于这两题引导学生用画图方法能更容易理解和掌握“第几个”和“几个”，在画图过程中，先确定题目中的我：第一题用圆表示出我，前面的9人和后面的5人用三角形表示;第二题也用圆表示出我，用三角形表示前面的8人，我是从前往后数第9个，用三角形表示后面的4人，我是从后往前数的第5个。通过画图学生马上明白了第一题应列式为：9+5+1=15，第二题列式为：9+5-1=13，这样的数学问题如果让学生单凭阅读题目恐怕很难，但通过画图，学生自己就能够明白其中的道理，同时在题目中他们无法理解的一些数据都能很好的在图中得到分析，从而很容易地列出算式。此外，通过两幅图的对比分析中，学生还发现了其中关键之处：第一题9+5是没有算上自己所以要再加1把自己也算上，而第二题9+5则是把自己数了2次，所以减1减掉一次，这样自己才只算1次。学生在两幅图的对比中体会到画图解题的优越性。 三、数形结合懂数量关系
小学低年级的孩子年龄小，抽象思维还未发展完善，还以具体形象思维为主导。当他们遇到了较为复杂的问题时，往往是束手无策。修订教材在低年级就有它的用心之处，从低年级开始对学生进行线段图的必要渗透教学，给题目配上图，让学生自己在纸上涂一涂、画一画，让画各种各样的图帮助学生理解题意找到数量关系，迅速找到解题方法，从而提高解题能力。如二年级下册第53页的例4，教材呈现“烤面包”的场境，让学生学会用色条图（线段图的雏形）来分析数量关系：已经烤好的面包数+剩下的面包数=一共要烤的面包数，对照色条图分析出第一步要先求出剩下的面包有多少个，第二步才是求剩下的面包还要烤几次，在画色条图中让学生掌握解题步骤和策略，在比较不同解法中理解小括号的用法，在这个过程中不仅渗透数形结合思想，还理解解题的多样策略。
例如一年级上册P98，结合现阶段的疫情情况，可把例题更换为学校为老师配置口罩的场景：莫老师领走了7个口罩，还剩下5个口罩，原来有多少个口罩？“求原來有多少个口罩”实际上就是“求被减数”的问题，但题目中条件和问题的叙述顺序是逆向思维，等量关系也更加隐蔽，要很快地确立等量关系确定解题方法这对于低年级小学生来说都有一定的难度。考虑到这些因素，修订教材运用画图，让学生在画图中充分理解这类题的数量关系：用领走的数量+剩下的数量=原来的数量，从而突破了本节课的难点，并加深了对加法含义的理解，提高孩子们的解题能力，学生在画图过程中更进一步认识疫情和加强自我防控能力。
四、数形结合懂规律
在有余数除法中，教材第61页例2通过画小棒拼正方形这一直观手段，让学生发现余数的规律，从中理解为何余数比除数小。教材第68页例6，找图形的排列规律，引导学生发现以3面旗子为一个循环单位的图形排列问题，可以用有余数的除法来解决，体会以数解形的方法。
五、数形结合懂概念
学习数学不光要掌握知识基础概念，还要理解概念及概念之间的关系，才能很好学习数学、解决问题。修订人教版教材在低年级中对知识的呈现就很好地利用画图策略，体现了知识的形成过程。比如通过二年级下册第8页例1的“把6块糖分成3份”理解平均分配;通过第9页例2的“把18个橙子平均分成6份，每份几个？”第10页例3的“8个果冻，每2个一份，能分成几份？”体验平均分配的两种情况;再通过第13页例4的“把12个竹笋平均放在4个盘里，每盘放3个”引出除法、除号这两个概念;最后通过第11页例5的“有20个竹笋每4个竹笋放一盘可以放几盘”理解被除数、除数和商这三个概念。教材让学生在这5个例题中经历除法概念的形成过程，教师在课堂上引导学生齐动手画图，并从中理解除法、除号、被除数、除数、商等概念，体会用除法符号表达的简洁性和优越性，更重要的是利用画图、列式等数形结合方式，加深对除法各概念的掌握。
通过画图，让学生将题中的数学信息在图中表达出来，在图中寻找正确的解题方法，让解决数学问题的能力在画图中不知不觉地提高。[3]通过画图，将数与形紧密地结合起来，让低年级学生更易于理解复杂的数学问题。当然，在教学的过程中我们低年级老师不仅要挖掘教材中渗透画图教学素材，还要引导学生掌握“画图”技能，让学生从一年级开始逐渐学会用画图独立解决问题，同时借着画图这座“桥”，使所有的孩子都感受到数形结合的魅力所在，感受到顺利解决问题的喜悦所在。
参考文献：
[1]《义务教育数学课程标准》（2011版）.北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]杨豫晖.《义务教育课程标准（2011年版）案例式解读小学数学》.北京：教育科学出版社，2012.
[3]教育部审定.义务教育教科书《数学》（1-4册）及相应的教参.北京：人民教育出版社，2013.
关键词：画图;数形结合;数量关系
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这道出数形結合思想在数学科目中的重要地位。小学低年级学生识字量比较少，理解能力弱，具体形象思维为主导，抽象思维未发展完善。这些因素都影响着学生对数学问题的有效解决。而画图这一操作活动，就是把抽象、复杂的文字转化为直观、形象的图画，在图中整合各种信息，理解题意，分析数量关系，以最终达到解题的目的。[1]特别地，低年级学生的逻辑思维能力还比较弱。针对这一点，修订人教版教材的编排上处处体现结合画图策略，让抽象的难解的数学问题都一一用直观画图呈现。这种编排给上课教师在课堂中渗透数形结合思想提供很好的教学素材，让老师们轻松找到解决方案。作为低年级老师不妨好好地挖掘教材，让孩子从一年级开始在画图的助力下感受数学思想的魅力。
一、数形结合懂算理
在小学低年级的数学教学中，计算比重大，学生计算的速度、准确率是判断学生学习好环的重要因素。在计算教学中教师要善于引导学生理解算理，在明确算理的同时重点掌握计算方法，最后形成属于自己的计算技能。
一年级数学是小学学习数学的基础阶段。在图片、学具的助力下将数形结合的思想完全融入教学中，在帮助学生明确算理、提高抽象思维、解决实际问题等方面起到了很大的作用。如一年级上册第91页和一年级下册的第10页，都是通过画小圆片让学生跟着画一画、圈一圈，从而理解“凑十法”和“破十法”。“凑十法”从画图上理解先把较少的5个圆形分成2和3，把8个圆形加上分出来的2个凑合成10个，10个圆形再加上剩下的3个是13个，即8+5=13;“破十法”是把15个圆片拆分为10和5，从10中划掉9个，剩下1个再加上5个得6个，即15-9=6. 这样学生从圆片图上就很容易理解和掌握“凑十法”和“破十法”的原理，同时能正确地运用“凑十法”和“破十法”进行计算。这样不仅让学生经历尝试探索的过程，更重要的是通过操作、数形结合理解明确算理。
又如二年级上册P12两位数加一位数，通过画小棒图（先摆3捆和5根小棒表示35，再在5根小棒下摆2根小棒表示2）明白了35+2是35的个位上5个一加2个一即7个一，再加3个十，合起来是37，再结合竖式让学生说算理。教材P13两位数加两位数不进位加法，根据小棒图（先摆3捆和5根小棒表示35，再在下面摆3捆小棒和2根小棒表示32）结合竖式，让学生懂得不进位加法的算理：5个一加2个一是7个一，3个十加3个十是6个十合起来是67，从小棒图上还很容易看出加法的计算法则：相同数位要对齐，从个位加起。在这个画图说算理的过程中，学生不仅理解算理，同时掌握了计算法则。在学习完例题后，我安排了与例题相类似的练习，让学生先独立完成摆小棒说算理，再全班汇报演示讲算理的过程，更进一步加深学生对算理的理解。
又例如二年级上册P52、P54、P55乘法口诀，修订教材上安排了由实物图到点子图再到数字的过渡，教材给学生呈现并经历“具体事物 符号（点子图）表示 学会抽象思维用数学表示”这一逐步符号化的过程，在这个过程中理解乘法口诀算理的同时让学生的直观形象思维往抽象逻辑思维发展。
二、数形结合懂题意
小学低年级学生年龄小识字量比较少，读题理解能力弱，尤其分析能力更加弱，修订版教材的编排上很多例题利用画图帮助孩子读懂题意，从中寻找到解题方法，提高分析问题的能力。[2]这些编排处处体现数形结合思想，让抽象的数学问题通过画图直观化，让学生一看画图就马上可以理解题意并找到解题方法。如二年级上册第63页例7两道题：（1）课室中有4排桌子，每排5张，一共有多少张？（2）有两排桌子，一排5张，另一排4张，一共有多少张？这两题对于二年级的学生来说是很容易混淆的，两道题都有4和5两个数，而且问题也相同;只是两题中的4和5表示的意思不一样。第（1）题4表示桌子的数量有4排，5表示每排桌子数量有5张;第（2）题4表示另一排的桌子数量，5代表一排桌子数量。通过学生自己画图表示，从图中可以看出：要求一共有多少张桌子，都可以用加法解答。但第1题加数相同，所以可以更简洁地列乘法算式4×5解答。第2题因为加数不同，不能用乘法直接解答，所以只能用加法4+5解答。
例如一年级上册P79例6，小丽排第10，小宇排第15，小丽和小宇之间有几人？要求两人之间有几人，像这样的题目，由于一年级学生的理解能力、分析能力还没有形成，学生觉得题目难以理解，用画图联系题意能很快地找出解决方法。在画图过程中孩子更直观地更快地读懂题意理解题意。又例如一年级上册P100思考题：我前面有9人，在我的后面有5人，我们一共有多少人？另外补充练习：从前面往后面数，我排第9个，从后面往前面数，我排第5个，我们一共有几人？这两题都在问一共有几人。不少孩子认为问题一样列式方法也一样，导致这样的原因是孩子们经常会混淆“第几个”和“几个”这两个概念，对于这两题引导学生用画图方法能更容易理解和掌握“第几个”和“几个”，在画图过程中，先确定题目中的我：第一题用圆表示出我，前面的9人和后面的5人用三角形表示;第二题也用圆表示出我，用三角形表示前面的8人，我是从前往后数第9个，用三角形表示后面的4人，我是从后往前数的第5个。通过画图学生马上明白了第一题应列式为：9+5+1=15，第二题列式为：9+5-1=13，这样的数学问题如果让学生单凭阅读题目恐怕很难，但通过画图，学生自己就能够明白其中的道理，同时在题目中他们无法理解的一些数据都能很好的在图中得到分析，从而很容易地列出算式。此外，通过两幅图的对比分析中，学生还发现了其中关键之处：第一题9+5是没有算上自己所以要再加1把自己也算上，而第二题9+5则是把自己数了2次，所以减1减掉一次，这样自己才只算1次。学生在两幅图的对比中体会到画图解题的优越性。 三、数形结合懂数量关系
小学低年级的孩子年龄小，抽象思维还未发展完善，还以具体形象思维为主导。当他们遇到了较为复杂的问题时，往往是束手无策。修订教材在低年级就有它的用心之处，从低年级开始对学生进行线段图的必要渗透教学，给题目配上图，让学生自己在纸上涂一涂、画一画，让画各种各样的图帮助学生理解题意找到数量关系，迅速找到解题方法，从而提高解题能力。如二年级下册第53页的例4，教材呈现“烤面包”的场境，让学生学会用色条图（线段图的雏形）来分析数量关系：已经烤好的面包数+剩下的面包数=一共要烤的面包数，对照色条图分析出第一步要先求出剩下的面包有多少个，第二步才是求剩下的面包还要烤几次，在画色条图中让学生掌握解题步骤和策略，在比较不同解法中理解小括号的用法，在这个过程中不仅渗透数形结合思想，还理解解题的多样策略。
例如一年级上册P98，结合现阶段的疫情情况，可把例题更换为学校为老师配置口罩的场景：莫老师领走了7个口罩，还剩下5个口罩，原来有多少个口罩？“求原來有多少个口罩”实际上就是“求被减数”的问题，但题目中条件和问题的叙述顺序是逆向思维，等量关系也更加隐蔽，要很快地确立等量关系确定解题方法这对于低年级小学生来说都有一定的难度。考虑到这些因素，修订教材运用画图，让学生在画图中充分理解这类题的数量关系：用领走的数量+剩下的数量=原来的数量，从而突破了本节课的难点，并加深了对加法含义的理解，提高孩子们的解题能力，学生在画图过程中更进一步认识疫情和加强自我防控能力。
四、数形结合懂规律
在有余数除法中，教材第61页例2通过画小棒拼正方形这一直观手段，让学生发现余数的规律，从中理解为何余数比除数小。教材第68页例6，找图形的排列规律，引导学生发现以3面旗子为一个循环单位的图形排列问题，可以用有余数的除法来解决，体会以数解形的方法。
五、数形结合懂概念
学习数学不光要掌握知识基础概念，还要理解概念及概念之间的关系，才能很好学习数学、解决问题。修订人教版教材在低年级中对知识的呈现就很好地利用画图策略，体现了知识的形成过程。比如通过二年级下册第8页例1的“把6块糖分成3份”理解平均分配;通过第9页例2的“把18个橙子平均分成6份，每份几个？”第10页例3的“8个果冻，每2个一份，能分成几份？”体验平均分配的两种情况;再通过第13页例4的“把12个竹笋平均放在4个盘里，每盘放3个”引出除法、除号这两个概念;最后通过第11页例5的“有20个竹笋每4个竹笋放一盘可以放几盘”理解被除数、除数和商这三个概念。教材让学生在这5个例题中经历除法概念的形成过程，教师在课堂上引导学生齐动手画图，并从中理解除法、除号、被除数、除数、商等概念，体会用除法符号表达的简洁性和优越性，更重要的是利用画图、列式等数形结合方式，加深对除法各概念的掌握。
通过画图，让学生将题中的数学信息在图中表达出来，在图中寻找正确的解题方法，让解决数学问题的能力在画图中不知不觉地提高。[3]通过画图，将数与形紧密地结合起来，让低年级学生更易于理解复杂的数学问题。当然，在教学的过程中我们低年级老师不仅要挖掘教材中渗透画图教学素材，还要引导学生掌握“画图”技能，让学生从一年级开始逐渐学会用画图独立解决问题，同时借着画图这座“桥”，使所有的孩子都感受到数形结合的魅力所在，感受到顺利解决问题的喜悦所在。
参考文献：
[1]《义务教育数学课程标准》（2011版）.北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]杨豫晖.《义务教育课程标准（2011年版）案例式解读小学数学》.北京：教育科学出版社，2012.
[3]教育部审定.义务教育教科书《数学》（1-4册）及相应的教参.北京：人民教育出版社，2013.